СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОПТИМАЛЬНОГО ВЫБОРА ОБЪЕМА ПОСТАВКИ

STOCHASTIC MODEL OF OPTIMUM SELECTION OF DELIVERY VOLUME

S. Maslov

АННОТАЦИЯ

В статье представлена модель управления запасами, а именно, определения оптимального объема поставки с учетом неопределенности спроса. В качестве критерия эффективности рассматривается критерий минимизация интегральных издержек, учитывающий издержки избыточных запасов и издержки отсутствия товара на складе. В качестве закона распределения случайного объема спроса рассматривается треугольное распределение, как одно из наиболее применимое в условиях недостаточности статистических данных. Модель позволяет при условии минимизации рисков оптимизировать объем поставки.

ABSTRACT

The article presents a model of inventory management, namely, determining the optimal delivery volume, taking into account the uncertainty of demand. As a criterion of efficiency, a criterion for minimizing integral costs is considered, taking into account the costs of surplus stocks and the costs of the lack of goods in the warehouse. As a law of distribution of a random volume of demand, a triangular distribution is considered, as one of the most applicable under conditions of insufficient statistical data. The considered model allows to optimize the volume of delivery provided that risks are minimized.

Ключевые слова: управление запасами, минимизация издержек, момент поставки, объем поставки, неопределенность спроса, треугольное распределение.

Keywords: inventory management, cost minimization, delivery time, delivery volume, uncertainty of demand, triangular distribution.

В большинстве моделей управления запасами в качестве входной информации используется средние ожидаемые величины спроса по некоторым периодам, либо прогноз спроса на некоторый период времени, рассматриваемые как детерминированные, но не являющиеся таковыми. Тоже самое происходит и с моментом поставки, который в большинстве случаев также не является детерминированным. Учет в моделях факторов неопределенности позволяет найти наиболее эффективную стратегию управления запасами в условиях таких неопределенностей. Различные модели, учитывающие неопределенность, были рассмотрены, в частности, в работах [1],[2],[3],[4],[5],[6] и во многих других научных публикациях, однако в постановке, приведенной в данной статье, задача ранее не рассматривалась.

Авторами исследовались модели минимизации рисков в системах управления запасами, в которых в качестве входных данных рассматривается спрос на товар и время поставки, как случайные величины с треугольным распределением вероятностей, а не как детерминированные.

В качестве оптимизационного параметра в рассматриваемой в статье модели будет рассмотрен объем поставки товара, который следует завозить в заданный момент времени, позволяющий минимизировать риски, снижением интегральных затрат на хранение товара на складе и потерь от упущенной выгоды.

В данной модели источником риска является отклонение реальных значений спроса на товар от ожидаемого. Кроме того, предположим, что вероятность задержки или преждевременного привоза заказанного товара отсутствует, т.е. если делается заказ на момент времени , то товар приходит именно в этот момент.

Неопределенность относительно момента времени окончания товара на складе , выражается формулой (1):

где  - ожидаемое время окончания товара;

 - случайная величина, описывающая отклонение реального времени окончания товара на складе от ожидаемого.

Будем считать, что случайная величина  распределена по треугольному закону распределения на отрезке . Параметры  – определяются из статистических данных, либо с помощью оценок экспертов, при соблюдение следующего условия: , где  - нижний предел,  - верхний предел,  - мода (значение, встречающиеся в распределении наиболее часто). В частном случае  или  треугольное распределение строится по двум точкам. Тогда время реального окончания товара α имеет также треугольное распределение случайной величины на отрезке .

Критерием оптимизации в данной модели возьмем совокупные средние ожидаемые издержки. В состав совокупных издержек, отражающих риски выбранной стратегии управления запасами, включим, во-первых, издержки на хранение товара на складе, возникающие, если завезенный товар реализуется дольше прогнозируемого срока, а, во-вторых, издержки, связанные с неполным удовлетворением спроса, возникающие, если завезенный товар реализуется ранее прогнозируемого срока.

Допустим объем партии товара, которая прибудет после реализации завезенного товара в объеме Q равен . Данный объем возможно точно не известен, поскольку, например, неизвестна дата следующей поставки. В этом случае используется прогнозное значение данного объема. Тогда издержки хранения объема  от момента поставки  и до реального обнуления товара α, в случае, когда реализация товара произошла позже прогнозируемого срока  , составят, согласно формуле (2):

где  - суточная стоимость хранения единицы продукции.

С другой стороны, из-за реализации товарной партии ранее прогнозируемого срока может возникнуть дефицит товара. Тогда издержки дефицита товара от момента реального обнуления товара  и до момента поставки  в объеме , в случае, когда поставка товара произошла позже срока  , составят, согласно формуле (3):

где  - прибыль от продажи единицы продукции, средний суточный объем продаваемого товара.

Общие издержки рассчитываются по формуле (4):

В качестве функции суммарных затрат, являющейся в стохастических моделях случайной величиной, рассматриваем её математическое ожидание.

В описываемой модели неопределенность спроса характеризуется непрерывной случайной величиной , имеющей треугольный закон распределения с плотностью, представленной в формуле (5):

Математическое ожидание суммарных издержек принимает вид, согласно формуле (6):

При условии, что первый из интегралов, рассматривается при условии , а второй при условии Поставленная задача минимизации рисков управления запасами, описанная выражением (7), состоит в отыскании такого объема поставки Q, при котором математическое ожидание суммарных издержек будет минимальным.

Рассмотрим выражение (6) по частям, согласно формуле (8):

Первое слагаемое выражения (8), имеет вид, представленный формулой (9):

Рассмотрим четыре возможных случая.

В первом случае, при , или c учетом неравенства , справедливо неравенство  следовательно,

Рассмотрим второй случай, когда  В этом случае получим:

Рассмотрим третий случай, когда , или  В этом случае получим:

 (12)

В четвертом случае, при , или неравенство  выполняется на всем отрезке , и, следовательно,

Теперь рассмотрим второе слагаемое выражения (8), которое выражается следующей формулой (14):

Рассмотрим четыре возможных случая.

В первом случае, при , или  неравенство  выполняется на всем отрезке , и следовательно,

Рассмотрим второй случай, когда ,  Тогда

(16)

Рассмотрим третий случай, когда , или  Тогда

В четвертом случае, при , или неравенство  не выполняется, и, следовательно,

Найдем математическое ожидание суммарных издержек в каждой из рассмотренных областей:

Найдем минимум ожидаемых издержек в каждой из областей.

- является линейной возрастающей функцией, а значит ее минимальное значение достигается на левом конце рассматриваемого множества, т.е. в точке  (23):

(23)

Чтобы найти минимум , вычислим производную функции (20) и приравняем ее к нулю, обозначив K₁=qz, K₂=pQ^*:

Приравняем выражение (24) к нулю и найдем корни:

Рассмотрим расположение точек Q₁ и Q₂ относительно рассматриваемого в случае 2 отрезка, а именно  Возможно всего 2 значимых случая, а именно:

Случай 2.1 .

Это неравенство равносильно  или . В этом случае

.             (25)

Случай 2.2 .

Это неравенство равносильно  или . В этом случае

                                     (26)

Чтобы найти минимум , возьмем производную функции (21) и приравняем ее к нулю. Опуская промежуточные вычисления, получим:

Рассмотрим расположение точек Q₁ и Q₂ относительно рассматриваемого в случае 3 отрезка. Возможно всего 2 значимых случая, а именно:

Случай 3.1  или  или . Тогда

Случай 3.2  или  или . Тогда

- линейная убывающая функция, значит, минимальное значение достигается на правом конце отрезка  и

Для получения итогового результата необходимо рассмотреть 4 случая соотношения параметров a, b, c, K₁, K₂. А именно:

Случай 1.

 и . В этом случае

Сравнивая первые два выражения в фигурных скобках, первое исключаем.

Сравним третье и четвертое выражения в фигурных скобках, исключаем четвертое. Таким, образом:  

.  (31)

Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества

Случай 2.

 и . В этом случае

.

Первое выражение можно исключить из рассмотрения. Таким образом:

  (32)

Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества

.

Случай 3.

 и . В этом случае

.

Четвертое выражение можно исключить из рассмотрения. Таким образом:

 (33)

Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества

Случай 4.

 и . В этом случае

Исключая одинаковые выражения, получаем:

Значение оптимальной точки буде соответственно выбираться из множества

.

Итак, описанная модель позволяет при случайном спросе определить объем поставки новой партии товара при известном времени поставки исходя из критерия минимизации интегральных издержек. В случае треугольного распределения данная оптимизационная задача имеет аналитическое решение, сводящиеся к вычислению формулам (3.31) – (3.34).

В работах [3], [6] рассматривалась задача в аналогичной постановке, но для случая, когда случайную величину, описывающую отклонение реального времени поставки товара на склад от ожидаемого, можно считать нормально распределенной. Во-первых, это не всегда верно, а во-вторых, зачастую компания не располагает достаточным объемом статистических данных для тестирования выборки реализаций случайной величины на ее соответствие нормальному закону распределения В этой связи, хотелось бы отметить практическую реализуемость полученных результатов, поскольку оценка параметров треугольного распределения в случае отсутствия достаточного объема статистических данных может быть произведена экспертным путем.

Список литературы:

1. Бродецкий, Г. Л. Системный анализ в л᠌о᠌г᠌и᠌с᠌т᠌и᠌к᠌е. В᠌ы᠌б᠌о᠌р в у᠌с᠌л᠌о᠌в᠌и᠌я᠌х н᠌е᠌о᠌п᠌р᠌е᠌д᠌е᠌л᠌е᠌н᠌н᠌о᠌с᠌т᠌и, – М.: А᠌к᠌а᠌д᠌е᠌м᠌и᠌я, 2010 – 336с.
2. Б᠌р᠌о᠌д᠌е᠌ц᠌к᠌и᠌й, Г. Л., Г᠌у᠌с᠌е᠌в, Д.А. Экономико-математические методы и модели в л᠌о᠌г᠌и᠌с᠌т᠌и᠌к᠌е. П᠌р᠌о᠌ц᠌е᠌д᠌у᠌р᠌ы о᠌п᠌т᠌и᠌м᠌и᠌з᠌а᠌ц᠌и᠌и, – М.: А᠌к᠌а᠌д᠌е᠌м᠌и᠌я, 2012 – 288с.
3. Косоруков, О.А. и Свиридова, О.А. Стохастическая непрерывная модель управления запасами // Вестник Российского экономического университета имени Г.В. Плеханова, 2012, № 4 (46), С. 91 – 95.
4. Косоруков, О.А., Маслов, С.Е. Модель определения времени поставки с учетом неопределенности спроса // – Логистика и управление цепями поставок, 2018, №4 (87), С. 45-52.
5. Р᠌у᠌б᠌а᠌л᠌ь᠌с᠌к᠌и᠌й, Г.Б. У᠌п᠌р᠌а᠌в᠌л᠌е᠌н᠌и᠌е з᠌а᠌п᠌а᠌с᠌а᠌м᠌и при с᠌л᠌у᠌ч᠌а᠌й᠌н᠌о᠌м с᠌п᠌р᠌о᠌с᠌е (модели с непрерывным временем), — М.: Сов. Р᠌а᠌д᠌и᠌о, 1977 — 160с.
6. Kosorukov, O.A., Sviridova, O.A. «Effective Strategy Formation Models for Inventory Management under the Conditions of Uncertainty», International Education Studies; 2015, Vol. 8, No. 5; doi: 10.5539/, URL: http://dx.doi.org/10.5539/, pp. 64 – 83.