МОДЕЛИРОВАНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УСТРОЙСТВ

Андросик Андрей Борисович

канд. техн. наук, доцент МГОУ, г.  Москва

Воробьев Сергей Андреевич

канд. техн. наук, доцент МГОУ, г.  Москва

Мировицкая Светлана Дмитриевна

канд. техн. наук, доцент МГОУ, г. Москва

E-mail: vorsa_57@mail.ru

Проведено исследование одиночной резонансной структуры, двойного кольцевого резонатора, а также тройного кольцевых резонаторов. В случае тройной резонансной структуры рассмотрено вертикальное и последовательное расположение колец. Рассмотрены результаты модельных исследований для этих типов резонаторов.

Ключевые слова: кольцевой микрорезонатор, интегральная фотоника, планарные структуры, спектр частот.

Важной разновидностью волноводных структур интегральной фотоники являются резонансные структуры – кольцевые микрорезонаторы [9]. В последние годы они представляют все больший интерес для исследователей в области волноводной и интегральной оптики. Резонансные структуры являются потенциальными кандидатами для использования в таких областях применения интегральной фотоники как фильтрация волн; маршрутизация; переключение; модуляция; конвертирование, мультиплексирование и демультиплексирование оптического излучения [8]. Для повышения качества выполняемых функций целесообразно использовать изготовление резонансных структур в виде множественных компонент. Множественные резонансные фотонные структуры обеспечивают улучшение основных оптических параметров, таких как свободный спектр частот, полную ширину половины максимума, добротность, чувствительность и др.

Множественные резонансные планарные структуры интегральной фотоники разработаны на базе нового перспективного явления, управления излучением, заключенного в микронные пленки прозрачного материала [10]. Правильный выбор подложки, пленки и конфигурации волновода позволяет выполнить широкий спектр оптических преобразований излучения. Благодаря миниатюрным размерам достигается высокая плотность оптических компонентов в определенном месте, в отличие от традиционной объемной оптики. Таким образом, множественные резонансные  структуры  являются представителями нового поколения оптико-электронных систем, в которых оптические волноводы и световодные системы заменены на волноводные оптические элементы. Компьютерное моделирование этой новой группы элементов позволяет создать и изготовить принципиально новый класс оптических фотонных изделий [1].

Все многообразие конфигураций кольцевых микрорезонаторов можно классифицировать по двум параметрам: по форме резонатора (диск, кольцо, трасса или эллипс); по схеме взаимосвязи т.е. по схеме передачи энергии между волноводом и резонатором (вертикальные и боковые). В схеме боковой связи резонатор и волновод изготавливаются на одном уровне из одинакового материала; при этом взаимосвязь контролируется только за счет расстояния между волноводом и резонатором. В вертикальных схемах взаимосвязь контролируется как в вертикальном, так и в боковом положении. Кроме того, вертикальные и боковые конфигурации отличаются технологиями изготовления (SW - одномодовый волновод, MR – микрорезонатор).

В кольцевых резонаторах возбуждается несколько мод, распространяющихся по кольцу. Дисковые резонаторы позволяют поддерживать одномодовый режим излучения; при этом облегчается контроль за поведением излучения и характеристиками резонатора. Важной характеристикой волноводов является коэффициент связи. В дисковых и кольцевых резонаторах область связи ограничена, а трековые являются альтернативой для увеличения этой области. Микрорезонаторы с двумя волноводами позволяет выполнять дополнительную селекцию излучения за счет второго резонанса. Основные типы резонансных планарных структур приведены на рис.1.

Синтез кольцевых резонаторных фильтров, соединённых в ряды или последовательные линии является актуальной задачей волноводной фотоники [2]. Его целью является получение оптимальных характеристик фильтрации, мультиплексирования, переключения и др. К основным характеристикам относятся свободный спектр частот (расстояние  между двумя последовательными резонансными пиками в порту понижения), полная ширина половины максимума (ширина сигнала в половине максимального значения пика нормированной интенсивности), добротность, чувствительность (однородная и поверхностная), предел чувствительности, отношение максимума/минимума сигнала.

Оптимальное взаимодействие между всеми связанными резонаторами позволяет обеспечить требуемый отклик фильтра [3]. Использование двойных и кратно соединенных кольцевых резонаторов дают возможность для реализации характеристик различных типов фильтров (рис.2).

Важным параметром при создании фильтров или датчиков на основе микрорезонаторных структур является свободный спектр частот (FSR) – расстояние между двумя последовательными пиками в порту понижения в масштабе длин волн. Этот параметр определяет селективность датчика. Таким образом, если две последовательные длины волны резонирования очень близки друг к другу, то становится затруднительно дифференцировать их между собой. Следовательно, чем больше свободный спектр частот, тем лучше рабочие характеристики микрорезонатора. Математически этот параметр выражается как:

где n_g - групповой индекс; n_g=n-l(dn/dl); l - длина волны; L=pR_T.

Использование группового коэффициента преломления позволяет повысить точность измерений. Как видно из формулы (1) свободный спектр частот обратно пропорционален размеру резонатора, т. е. для достижения большого значения  FSR следует минимизировать длину резонатора.

Максимальная передача t_max - величина отброшенного сигнала на резонансе. В асимметричном случае она имеет вид:

Для симметричного случая можно записать упрощенное выражение:

 Минимальное отражение является мощностью сигнала, оставленной во входном волноводе на резонансе.

Отношение исчезновения - отношение питания в порту передачи на резонансе и от резонанса. Например, если изогнутый волновод используется в качестве фильтра добавления-разложения, важно, чтобы сигнал на резонансе был извлечен полностью из входного волновода для минимизации перекрестных помех.

В асимметричном случае можно записать:

В симметричном случае имеет место следующее выражение:

Изящество, Q-фактор. Изящество, добротность (Q-фактор), резонансная ширина, пропускная способность – это условия, которые, главным образом, связаны с полной шириной в половине максимума (FWHM) передачи. При низких значениях FWHM величины чувствительности и добротности повышаются. Последнее особенно важно для датчиков. FWHM понижается при низких коэффициенте связи и длине волны, а также при увеличении длины резонатора L. Резонансная ширина, или пропускная способность определяются как FWHM резонанса изогнутого волновода.

Изящество - отношение FSR к пропускной способности, является безразмерной величиной. Формула для FWHM в угловом масштабе может быть записана следующим образом:

Полученная формула (6) справедлива для симметрично связанного изогнутого волновода. Преобразование уравнения  (6) с учетом длины волны позволяет записать:

Изящество F тесно связано с пропускной способностью и определено как отношение FSR и пропускной способности:

Очень важно соблюдать равновесие между FSR , который должен быть идеально высоким и FWHM, который должен быть идеально низким для обеспечения возможности дифференциации между смежным резонансным пиком и переходом на нижний уровень рабочего резонансного пика. Следовательно, чем выше значение F, тем лучше характеристики чувствительности и селективности. Из формулы (8) можно заметить, что F зависит от внутренних потерь и от связи, т.е. внешних потерь резонатора. Чем выше сумма общих потерь, тем ниже F резонатора. Почти всегда выгодно уменьшать и внутренние, и внешние потери для получения более высокого значения F. Однако, внешние потери, обусловленные связью, являются неизбежными и не могут быть слишком малы для резонатора, работающего как оптический фильтр. В случае, когда внешние потери меньше, чем внутренние, вся переходная мощность будет потеряна в резонаторе. Вследствие таких связей кольцевой резонатор должен использовать строго наведенный световод для минимизации радиусных потерь на изгибе волновода с очень малым радиусом.

Другой тесно связанный параметр – добротность (Q-фактор), определяемый как отношение длины волны резонанса (пика) к FWHM пика:

Значение добротности имеет большое значение для датчиков. Чем выше значение добротности, тем лучше сенсорные параметры датчиков, использующих резонансный метод сдвига длины волны. Низкие значения добротности необходимы при реализации метода изменения интенсивности. Для достижения высокого значения добротности, связь должна быть очень низкой, потери минимизированы, FWHM – низкий, а радиусы – большие. Добротность и изящество связаны между собой следующим образом:

С практической точки зрения Q-фактор интересен, поскольку он характеризует непосредственную абсолютную ширины пика. Добротность связана с физическим размером резонатора, поэтому при сравнении различных резонаторов удобнее использовать параметр изящества.

Усиление поля. Одна из интересных функций кольцевого резонатора - высокая полевая интенсивность, которая создана в кольцевом резонаторе на резонансе. Усиление поля FE, является отношением амплитуды поля в кольце к амплитуде в волноводе входной шины:

Так как поле в кольце не одинаковое, усиление поля обычно выбирается сразу после входного разветвителя. Для хорошего кольца потеря очень низка, и коэффициент связи обычно не столь высок, таким образом, поле в кольце  предполагается практически постоянным. 

Внутренне резонансные вносимые потери. Это потери, которые испытывает сигнал в порту при передаче в кольцо. Требуется, чтобы эти потери были как можно меньше, тогда передача от резонансного сигнала будет без помех.

Форма строки (форм-фактор). Форма импульса для одного микро кольцевого резонатора часто моделируется функцией Лоренца, имеющей вид:

Форма импульса Лоренца является приближением первого порядка, которое является достаточно удобным для резонаторов с малыми потерями.

Схема канала, используемого в качестве фильтра, приведена на рис.3. На первом этапе осуществляется исследование распределения электромагнитных полей и переходной характеристики системы оптической селекции, представляющей собой два планарных волновода, связанных через кольцевой резонатор [5]. Если входной сигнал содержит длину волны несущей, являющейся резонансной для кольцевого элемента, она ответвится в выходной волновод. Отношения интенсивностей прошедшего и ответвленного сигналов к входной интенсивности на разных длинах волн (коэффициент передачи) и зависимость этого отношения от времени определяют важнейшие свойства селектирующего элемента.

Расстояние между кольцевым резонатором и волноводами (оно принимается одинаковым для входного и выходного волноводов) должно быть достаточно мало, чтобы каждый из волноведущих элементов находился в поле вытекающей волны другого. Например, при распространении оптического сигнала по входному волноводу (если его вытекающие волны перекрываются с волнами кольцевого резонатора) часть энергии, переносимая вытекающей волной, переходит в волну, ограниченную резонатором. Количество энергии, ответвленной в резонатор, зависит от расстояния между волноведущими элементами и длины участка эффективного обмена электромагнитными полями. Константы распространения и показатели преломления материалов также влияют на степень их связанности.

Модель кругового микрорезонатора, локально увеличивающего мощность света для определенных длин волн, представлена на рис.4. Эта функциональная возможность объясняется следующим образом. Резонатор и волновод находятся в непосредственной близости друг от друга, при этом часть поступающей энергии переходит в резонатор. Такой переход известен как направленная связь [4, с. 11]. В микрорезонаторе часть этой энергии направляется вдоль окружности резонатора и после совершения полного витка интерферирует с входящим полем волновода. На резонансных частотах, когда оптическая длина пройденного пути многократна эффективной длине волны, интерференция в резонаторе конструктивна. Эта конструктивная интерференция может привести к усилению электромагнитного поля и соответственно к увеличению мощности в резонаторе. В этом одиночном круговом микрорезонаторе длина окружности кольца - L(L=2nR; радиус- R) ,коэффициент связи - k. Коэффициент интенсивности затухания кольца a. Волновое число равно k_n.

Исследование поведения мощности между резонатором и диэлектрическим волноводом приведено в [7, 6]. Предложенная модель показывает связь между полями резонатора и волновода. Электрическая и магнитная составляющая поля в резонаторе является суммой отдельных амплитуд полей распространяющихся мод.

Соотношения прошедшего и отклоненного электрических полей можно записать следующим образом:

где k_n=(2pn_eff)/l и g обозначает коэффициент потерь интенсивности направленного ответвителя и n_eff – эффективный показатель преломления.

Используя эти уравнения, можно вычислить отношение полей E_t/E_i:

Целесообразно ввести следующие параметры:

Соотношение интенсивности для выходного порта принимает вид:

Спектр передачи одиночного кольцевого резонатора представлен на рис.5; максимум и минимум передаточной характеристики вычислялся с использованием зависимостей:

Полная ширина на половине максимума (FWHM или 3 дБ ширина полосы)

и параметр изящества F резонатора имеют вид:

Параметр F является измерительной характеристикой фильтра. Точка резонанса T_min в уравнении (18) определяется следующим образом:

Амплитуда достигает максимума при

Одиночный круговой резонатор с двумя связанными волноводами для входа и выхода сигнала показан на рис.6.

В приведенных ниже расчетах не учитываются потери связи, т. е. рассматривается предположение (D²=1).

Отклик фильтра одиночного кольцевого резонатора с двумя связанными волноводами и коэффициентами связи k₁=k₂=0.2 в обоих симметричных связанных волноводах показан на рис.6.Предполагается, что потери внутри кольца полностью компенсированы (a=0).

Максимум и минимум передачи вычисляется  следующим образом. Для пропускного порта

Для результирующего порта

Результирующее отношение вход/выход имеет следующий вид

Интенсивность излучения на выходе I_t1  пропускного порта равна нулю в резонансе (k_nL=2mp); это показывает, что резонансная длина волны полностью выводится резонатором, для одинаковых симметричных сонаправленных ответвителей k₁=k₂ при a=0. Значение a=0 достижимо только внедрением селективного усилителя внутрь кольцевого резонатора, для компенсации волноводных потерь. Значение коэффициента затухания интенсивности a является постоянной величиной в полностью пассивном кольцевом резонаторе. Возможность достижения минимума интенсивности (I_t1/I_i1=0) при резонансе передаточной функции на выходе I_t1 пропускного порта осуществляется получением корректного отношения коэффициентов связи k₁, k₂ и коэффициента ослабления интенсивности a.

Рисунок 6. Одиночный и двойной кольцевые резонаторы

Двойной кольцевой резонатор. Схема двойного кольцевого резонатора показана на рис.6 Входное поле E_i1 связывается с портом 1. Выходное поле получено в пропускном E_t1 или в результирующем порте E_t2. Другое входное поле E_i2 можно внедрить в порт добавления устройства.

Вычислительные модели, описанные выше, хорошо подходят для устройств с однородным показателем преломления резонатора. При моделировании следует учесть условия формирования активных секций, изменения показателя преломления в одной части резонатора за счет локального нагрева, потери при переходе от активной зоны к пассивной, на границе прямого волновода и изогнутой части волновода, потери связи и материальные потери для каждого сегмента. Для выполнения расчетов этих специфических деталей, следует разделить всю конфигурацию кольцевого резонатора на разные сегменты (рис.6) для двойного кругового резонатора. Электрическое поле электромагнитной волны, распространяющейся в каждом сегменте, описывается следующим уравнением:

где Е_А - амплитуда электрического поля, a_segment - коэффициент затухания интенсивности.

Двойной кольцевой резонатор дает возможность распространения свободного спектра частот к меньшему общему таких частот одиночных кольцевых резонаторов. Это достигается путем выбора различных радиусов в двойном кольцевом резонаторе. В случае разных радиусов, излучение, проходящее через двойной кольцевой резонатор, запускается из порта убывания, в случае удовлетворения резонансных условий для двух одиночных кольцевых резонаторов. Свободный спектр частот двойного кольцевого резонатора с двумя различными радиусами можно записать следующим образом:

После преобразований получается:

где N и M-натуральные и взаимно простые числа. Передаточные функции существенно зависят от коэффициентов связи, которые характеризуют перекрёстные помехи между резонансными пиками и ложными резонансными пиками.

Использование двойного кольцевого резонатора с разными радиусами открывает возможность получения большего свободного спектра частот по сравнению со случаем одиночного кольцевого резонатора. Передаточная характеристика пропускного порта имеет, в основном, форму Лоренца. Отклик обобщенного фильтра можно реализовать путем использования двух параллельно связанных двойных кольцевых фильтров (R1≠R₂).

Для создания плоскости на верхней части отклика фильтра, предложено использовать [6] тройной кольцевой резонатор с целью увеличения фактора формы и коэффициента вкл\выкл пропускного и результирующего портов. Коэффициенты связи κ_0-3 можно подсчитать для определённого отношения вкл/выкл и для фактора формы, равного 0,6 для результирующего порта. В простейшем случае используются коэффициенты для случая симметричной связи, k₀=k₃ и k₁=k₂.

Передаточная характеристика конфигурации тройного кольцевого резонатора с коэффициентами связи k₀=k₃=0,7 для внешней связи и k₁=k₂=0,2 для внутренней связи в центре с компенсацией потерь (a_segment=0) показана на рис.6. Радиус кольца R=134 мкм был выбран для достижения разнесения каналов 100 ГГц; общий показатель преломления 3,46; отношение вкл/выкл 30 dB. Крутой спад и резкий подъем достигнут за пределами полосы режекции. Возможное решение для реализации такого фильтра и отношения вкл/выкл более 30 дБ достигается для резонаторов без потерь при коэффициентах связи в интервале k₀=k₃=0,65—0,7 для внешней связи и k₁=k₂=0,18—0,26 для связи в центральной зоне.

Вычислительная модель тройного кольцевого резонатора параллельного соединения показана на рис.6. Передаточная характеристика подсчитана для линейно расположенных одиночных кольцевых резонаторов. Основной составной элемент состоит из одиночного кольцевого резонатора с радиусом окружности R=117 мкм, и длиной 200 мкм для зоны связи и длиной 300 мкм для прямых зон 11 и 15. Сделано допущение об отсутствии потерь в тройном кольцевом резонаторе и постоянстве показателя преломления (который определяет физическую и волноводную дисперсии) для всех сегментов. Расстояние между резонаторами равно Ѕ9+10+11+12+ Ѕ13, что эквивалентно половине кольца окружности резонатора. Отклик пропускного и результирующего портов показана на рис.7. Кольцевые резонаторы синхронизированы по фазе.

Рисунок 7. Тройной кольцевой резонатор

Фактор формы для этой схемы равен 0,18. Плоская характеристика полосы пропускания может быть получена небольшим смещением резонансной частоты каждого одиночного кольцевого резонатора. Это управляемое отклонение от частоты резонанса позволяет реализовать оптические фильтры с полосами пропускания с плоскими вершинами, необходимые для оптических систем мультиплексирования каналов  длин волн.

Синтез оптических фильтров с использованием линейного ряда одиночных кольцевых резонаторов с двумя входными/выходными волноводами описан в [11]. Вычисленный спектр передачи ряда из 9 элементов кольцевых резонаторов, работающих без потерь, представлен в [8]. Расстояние между параллельно соединенными одиночными кольцевыми резонаторами и влияние на форму  фильтра теоретически исследовано в [10].

Для реализации амплитудно-частотного отклика фильтра, который подразумевает высокий фактор формы (0,5–0,6), наиболее удобна конфигурация серийно соединенного тройного кольцевого резонатора. Отклик фильтра в этом случае определяется, в основном, точным выбором коэффициентов связи. Фазу следует подбирать для  обеих  конфигураций. Преимуществом параллельно соединённого тройного кольцевого резонатора является возможность усиления FSR. Это достижимо только в случае серийно связанных конфигураций, путем выбора наименьшего радиуса кольца.

Был выведен математический инструмент для описания поведения конфигураций кольцевого резонатора. Реализация этих моделируемых структур, работающих без потерь, должна быть выполнена на основе  полупроводникового материала с прямой шириной запрещенной зоны для получения активных структур или интегрирования пассивных и активных  устройств.

Список литературы:

1.Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Основы волноводной фотоники.- М.: МГОУ, 2009.

2.Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Математические основы волноводной фотоники.- М.: МГОУ, 2010.

3.Андросик А.Б., Воробьев С.А., Мировицкая С.Д. Волноводная и интегральная фотоника.- М.: МГОУ, 2011.

4.Chew Y.H. et al. An Optical Filter of Adjustable Finesse Using an Amplified Fiber Ring Resonator. IEEE J. Lightwave Technol., vol. 15, no. 2, pp. 364-370, 1997.

5.Chin M.K. et al. GaAs Microcavity Channel-Dropping Filter Based on a Race-Track Resonator. IEEE Photon. Technol. Lett., vol. 11, no. 12, pp. 1620-1622, 1999.

6.Griffel G. Syntesis of Optical Filters Using Ring Resonator Arrays. IEEE Photon/ Technol.Lett. 12(7), 810-812, 2000.

7.Klunder D.J.W. et al. Experimental and numerical study of  microresonators with air and polymer cladding. Journal of Lightwave Technology, 21(4):1099–1110, 2003.

8.Madsen C.K. and Zhao J.H. A General Planar Waveguide Autoregressive Optical Filter. IEEE J. Lightwave Technol., vol. 14, no. 3, pp. 437-447,  1996.

9.Marcatili E.A.J. Dielectric Rectangular Waveguide and Directional Coupler for Integrated Optics, Bell Syst. Techn. J., vol. 48, pp. 2071-2101, 1969.

10.Weiershausen W. and Zengerle R. Photonic highway switches based on ring resonators used as frequency-selective components. Appl. Opt., vol. 35, no. 30, pp. 5967-5978, 1996.

11.Yariv A. Universal relations for coupling of optical power between microresonators and dielectric waveguides. Electronics Letters, 36:321–322, 2000.