ЗАДАЧА ГИДРОУПРУГОСТИ ДЛЯ ТРУБЫ КОЛЬЦЕВОГО ПРОФИЛЯ С РЕБРАМИ ЖЕСТКОСТИ ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ

Кондратов Дмитрий Вячеславович

д-р физ.-мат. наук, профессор Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А., г. Саратов

E-mail: KondratovDV@yandex.ru

Калинина Анна Владимировна

аспирант Поволжского института управления имени П.А. Столыпина, г. Саратов

Плаксина Ирина Владимировна

аспирант Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А., г. Саратов

Выполнено при поддержке гранта Президента МД-1025.2012.8 и грантов РФФИ 10-01-00177-а, 12-01-31154-мол_а.

В различных отраслях техники широко применяются механические системы, состоящие из двух цилиндрических оболочек, вложенных друг в друга, между которыми расположена жидкость. Примерами использования модели с двумя цилиндрическими оболочками можно считать двигатели внутреннего сгорания, поплавковые приборы навигации, жидкостные ракетные двигатели, телескопические шасси, силовые цилиндры с полым плунжером [1—4]. Применение такого подхода не только позволяет уменьшить вес конструкции, но и обеспечивает устойчивость к различным вибрационным воздействиям.

Рассмотрим механическую систему, представленную на рис. 1.

Рисунок 1 Физическая модель

Рассматривается ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в круглой трубе кольцевого сечения, образованного поверхностями соосных цилиндрических оболочек, причем внешняя оболочка является упругой геометрически нерегулярной, а внутренняя оболочка является абсолютно жестким цилиндром. Внутренний  и срединной поверхности  радиусы внешней оболочки, а также внешний радиус  внутренней оболочки значительно больше ширины  цилиндрической щели кольцевого сечения. Толщина внешней  оболочки значительно меньше радиуса срединной поверхности . Длины оболочек  — одинаковы, а упругие перемещения внешней оболочки значительно меньше ширины  цилиндрической щели. Течение происходит под действием переменного по времени перепада давления. Перемещение внутренней оболочки относительно внешней на защемленных торцах отсутствует. Механическая система считается термостабилизированной

Рисунок 2 Оси координат

Систему координат  свяжем с основанием, к которому крепиться рассматриваемая механическая система. Ее центр  расположен в геометрическом центре соосных оболочек в невозмущенном состоянии. Положим, что перемещения вдоль оси  отсутствуют. Введем в рассмотрение необходимую далее цилиндрическую систему координат  ( — орты цилиндрической системы), полюс которой совпадает с началом координат , направления осей ,  цилиндрической и декартовой систем координат совпадают (Рис. 2)

Течение жидкости между оболочками осесимметричное и описывается уравнениями Навье-Стокса, которые в цилиндрической системе координат имеют вид:

,        (1)

.

Здесь  или ;  при ,  при ;  — компоненты вектора скорости жидкости в цилиндрической системе координат , начало О которой находится в центре внутренней оболочки; p — давление жидкости;  — плотность жидкости;  — кинематический коэффициент вязкости; у — координата вдоль оси симметрии ; r — расстояние от оси ; t — время.

Граничные условия представляют собой условия прилипания жидкости к поверхностям оболочек и условия для давления на концах механической системы:

,  при ;

,  при ;

 при ,  при ,                                    (2)

где  — прогиб внешней оболочки, положительный в сторону противоположную центру кривизны;  — продольное перемещение оболочек, положительное в сторону противоположную оси .

В случае осесимметричной деформации ребристой оболочки уравнения динамики для введенной в рассмотрение цилиндрической системы координат, полученной исходя из вариационного интегрального принципа Гамильтона, имеют вид:

                  (3)

,

.

Здесь ,  — единичная функции Хевисайда по продольной координате y;  — точка появления ребра по продольной координате; μ₀ — коэффициент Пуассона материала оболочки; Е — модуль Юнга материала оболочки; ρ₀ — плотность материала оболочки.

Поверхностная нагрузка определяется напряжением со стороны жидкости

,                                               (4)

,

где  — единичный вектор нормали к срединной поверхности оболочки;  — единичный вектор в продольном направлении в срединной поверхности оболочки, противоположный единичному вектору ;  — единичные векторы введенной цилиндрической системы координат.

, ,

. ,

, , ,

, .

Граничные условия уравнений представляют собой условия свободного (шарнирного) опирания

 при ,  при ,  при .           (5)

Таким образом, получим связанную задачу гидроупругости для трубы кольцевого профиля с геометрически нерегулярной внешней оболочки свободно опираемой на концах трубы и абсолютно жестким внутренним цилиндром.

Список литературы:

1.Башта Т.М. Машиностроительная гидравлика. / Башта Т.М. — М.: Машгиз, 1963. — 696 с.

2.Кондратов Д.В., Могилевич Л.И. Математическое моделирование процессов взаимодействия двух цилиндрических оболочек со слоем жидкости между ними при свободном торцевом истечении в условия вибрации/ Д.В. Кондратов, Л.И. Могилевич// Вестник Саратовского государственного технического университета. — 2007 — № 3 (26). — Вып.1. — С. 22—31.

3.Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроении / Могилевич Л.И., Попов В.С. — Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. — 156 с

4.Симдянкин А.А. Контактно-силовое взаимодействие деталей цилиндро-поршневой группы/ Симдянкин А.А.— Саратов: ФГОУ ВПО «Саратовский ГАУ», 2003. — 144 с.