ОБ ОСОБЕННОСТЯХ ПРИМЕНЕНИЯ ТЕХНОЛОГИИ ПОДМОДЕЛИРОВАНИЯ ДЛЯ РЕШЕНИЯ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ

ABOUT THE PECULIARITY OF APPLYING THE SUBMODELING TECHNOLOGY FOR SOLVING CONTACT PROBLEMS

Roman Lukin

senior Lecturer of Siberian Federal University,

Russia, Krasnoyarsk

Lydia Silkina

student of Siberian Federal University,

Russia, Krasnoyarsk

АННОТАЦИЯ

Цель исследования заключается в анализе особенностей подмоделирования контактной зоны при использовании метода конечных элементов. Рассмотрены результаты анализа контактного взаимодействия тела качения с внутренним кольцом шарикоподшипника. По результатам моделирования даны рекомендации по настройке свойств контакта и конечно-элементной сетки для основной модели.

ABSTRACT

The purpose of the article is to investigate the peculiarity of the contact zone submodeling using the finite element method. The results of contact interaction analysis of a ball and inner ring of bearing have been considered. Based on the results of the simulation the recommendations have been given for setting the contact and mesh properties for basic model

Ключевые слова: подмоделирование; метод конечных элементов; контактная задача; подшипник; ANSYS.

Keywords: submodeling; finite element method; contact problem; bearing; ANSYS.

Одной из актуальных задач при анализе современной техники является определение действительных контактных давлений в зоне контакта деталей со сложной геометрией. При этом в контакте могут находиться несколько тел, и нагрузка между ними может распределяться неравномерно. В том числе возможен и кромочный контакт, приводящий к возникновению больших контактных напряжений и, как следствие, к повышенному износу или поломке изделия. Наиболее ярким примером служит задача поиска контактных давлений для тел качения в подшипнике. Стоит отметить, что для данной задачи существует аналитическое решение [3], которое позволит сравнить полученные результаты конечно-элементного моделирования с аналитическими зависимостями. Однако также стоит отметить, что, когда наружное кольцо подшипника не установлено в корпус, оно испытывает достаточно большие упругие деформации, что приводит к перераспределению нагрузки между телами качения [2, 4], таким образом, стандартная аналитическая методика не применима. При этом, при решении контактной задачи сложно создать достаточно густую сетку, обеспечивающую приемлемое качество решения. Метод подмоделирования [1] позволяет находить реальные значения напряжений в локальной зоне их концентрации, однако применение данного метода обычно ограничено задачами, где отсутствуют различного рода нелинейности. Для контактных задач метод подмоделирования требует дополнительных исследований.

В качестве примера рассмотрим расчет контактных давлений в подшипнике 210. Контактные давления аналитическим методом определялись по методике [3, с 347]. При этом радиус шарика был принят r₁₁ = r₁₂ = 6.35 мм, радиусы дорожки качения  –  r₂₁ = 6.73 мм и r₂₂ = 28.65 мм (Рисунок 1). Нагрузка на верхний шарик определена из предварительного расчета подшипника и равна 3858.4 Н. Свойства материала шарика и кольца были приняты: модуль упругости E = 2·10⁵ МПа, коэффициент Пуассона ν = 0.3.  Значение контактного давления, определенного аналитически, равно 3085 МПа. Для конечно-элементного расчета в качестве расчетной модели была выбрана зона контакта «верхний шарик – внутреннее кольцо» (Рисунок 1) как место с наибольшими контактными напряжениями. Также показана область подмоделирования, на грани которой будет выполняться импорт перемещений из основной модели. Для основной модели было выполнено варьирование размера элемента в пределах от 0.1 до 0.5 мм, размер контактного элемента для подмодели был выбран 0.05 мм.

Рисунок 1. Расчетная модель: 1 – расчетная модель; 2 – подмодель области контакта; 3- схема приложения нагрузок и закреплений

Основным фактором, влияющим на контактные давления, является глубина проникновения, которая, в свою очередь, зависит от контактной жесткости (как показано на рисунке 2). На рисунке 2 также показана зависимость изменения контактной жесткости от размера элемента. На рисунке 3а видно, что в случае изменения значения контактной жесткости изменяется величина проникновения контактных элементов, как показано на рисунке 2, что приводит к изменению упругого сближения осей контактирующих тел (рисунок 3б). При этом, поскольку в подмодели принят одинаковый размер элемента для всех расчетных случаев, расчетная жесткость значительно больше чем в основной модели (Расчетное значение жесткости подмодели 5·10⁶ Н/мм³). Данное обстоятельство приводит к тому, что расчетное значение контактного давления в подмодели значительно больше полученного аналитически (Рисунок 5а).

Рисунок 2. Зависимость расчетной объемной жесткости от размера элемента в зоне контакта

Решением данной проблемы является использование одинакового значения контактной жесткости для основной модели и подмодели. В данном случае принята жесткость 5·10⁶ Н/мм³, автоматически рассчитанная для размера элемента, принятого в подмодели. Результатом является уменьшение глубины проникновения (Рисунок 3а) и, как следствие, постоянство значения сближения контактирующих тел при размере элемента менее 0.35 мм.

а)                                                     б)

Рисунок 3. Зависимость глубины контактного проникновения от размера элемента: а – контактное проникновение; б – сближение осей шарика и кольца

Завышение контактной жесткости в расчете может привести к плохой сходимости контактной задачи. В данном случае видно, что время расчета растет в степенной зависимости, что коррелирует с ростом количества узлов в модели (Рисунок 4а) и, как следствие, размера матрицы жесткости. Расчеты производились с настройкой решения задачи на одном ядре процессора с тактовой частотой 3.8 ГГц для уменьшения влияния такого фактора, как разбиения модели на расчетные домены. В среднем для решения задачи с переменной жесткостью требуется 23 итерации, для задачи с постоянной жесткостью – 27. В целом для контактного элемента CONTA174 наблюдается хорошая сходимость при повешенном значении жесткости.

Также видно, что в подмодели при постоянном значении жесткости контактные давления отличаются от аналитического решения менее чем на 1% при размере элемента менее 0.4 мм (Рисунок 5б).

а)                                                     б)

Рисунок 4. Зависимость объема задачи от размера элемента: а – контактное проникновение; б – сближение осей шарика и кольца

а)                                                     б)

Рисунок 5. Сравнение контактных давлений в основной модели и подмодели с аналитическим решением: а – при автоматическом расчете жесткости; б – при постоянном значении жесткости

Ниже представлена сводная таблица (Таблица 1) с результатами расчета контактных давлений для основной модели и подмодели. При этом видно, что при малом значении жесткости (переменная жесткость) и грубой сетке пятно контакта по форме соответствует эллипсу, характерному для формы пятна контакта подшипника. Однако, в случае моделирования контактного взаимодействия с постоянной жесткостью, с меньшим значением объемной контактной жесткости, наблюдается заниженное значение контактного давления, в среднем на 5-7% при объемной жесткости 1·10⁶ Н/мм³, в том числе и в подмодели.

Таблица 1.

Распределение контактных давлений, МПа

При использовании технологии подмоделирования для решения контактных задач существует ряд особенностей, позволяющих достичь приемлемого результата. В частности, обеспечение взаимодействия в зоне контакта вдоль меньшей оси эллипса пятна контакта как минимум 3-4 конечных элементов, позволяющих получить такое же значение деформации в модели, как и для модели с густой сеткой. Также необходима ручная настройка контактной жесткости, которая обеспечивает равенство глубины контактного проникновения для основной модели и подмодели. Показанный пример расчета подшипника показал высокую сходимость с аналитическим решением при соблюдении данных условий.

В дальнейшем планируется апробация данной методики в более сложных контактных задачах, например, при моделировании кромочного взаимодействия зубьев волновой зубчатой передачи, в которой из-за большого количества зубьев в зацеплении затруднительно создать густую сетку в зоне кромочного взаимодействия.

Список литературы:

1. Сызранцева К.В. Расчет подшипников качения, работающих без корпуса //   ANSYS Advantage Русская редакция №3. 2006. №2(3). С. 10-13 URL: http://www.ansysadvantage.ru/fileadmin/archive/ansys-advantage-rus-03.pdf (дата обращения: 10.08.2017).
2. Силкина Л.А., Лукин Р.С. Применение технологии подмоделирования к листовым металлоконструкциям подъемной техники. Наука сегодня: опыт, традиции, инновации [Текст]: материалы международной научно-практической конференции, г. Вологда, 26 июля 2017 г. – Вологда: ООО «Маркер», 2017. – С. 36-39.
3. Черменский О. Н. Подшипники качения: справочник-каталог/О. Н Черменский, Н. Н. Федотов. -М.: Машиностроение, 2003. -576 с.
4. Шевчугов М.В., Лукин Р.С. Определение основных критериев работоспособности волновых реечных передач. Решетневские чтения. 2013. Т. 1. № 17. С. 303-304.