МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ГИДРОГРАФИЧЕСКИХ СЕТЕЙ

MATHEMATICAL MODELS OF HYDROGRAPHIC NETWORKS

Valery Fedotov

International Academy of Information Technology,

Russia, Saint-Petersburg

АННОТАЦИЯ

Описаны пять типов вершин графа гидрографической сети. Понятие проиллюстрировано на примере Вуоксинской озёрно-речной системы.

ABSTRACT

Five types of vertices of a hydrographic network graph are described. The concept is illustrated by the example of the Vuoksin stream.

Ключевые слова: гидрография, ориентированный граф, Вуокса.

Keywords: hydrography, oriented graph, Vuoksa.

Основным средством визуального представления гидрографической информации служат географические карты. Кроме привычного стандарта, их важным достоинством является погружение гидрографии в окружающие контексты (прежде всего, рельеф местности).

Однако, какая-то часть информации при этом теряется. Прежде всего, масштаб отсекает всё «мелкое» (включая речные рукава и старицы). На ограниченных фрагментах карт часто даже невозможно понять, в какую сторону течёт река. А чтобы на современных интерактивных картах пройти по длинной незнакомой реке от устья к её истоку, приходится затратить слишком много времени.

Более удобными для решения конкретных задач могут оказаться иные средства представления. В частности, ниже речь пойдёт о маршрутах стока воды. Для их описания гораздо лучше подходят язык и средства теории ориентированных графов.

Графы можно определять по-разному. Но в любом случае их структура включает вершины (которые принято изображать точками) и рёбра (отрезки, дуги). Каждое ребро соединяет какие-то две вершины (в специальных случаях разрешено их совпадение, тогда такое ребро называют петлёй). Количество же рёбер, концом которых служит какая-то вершина, может быть любым неотрицательным целым числом. Если граф ориентирован, то на каждом его ребре задано направление, различающее начало и конец ребра. В случае смешанного графа ориентация может быть задана не на всех рёбрах.

Ясно, что участки рек (или проточных озёр) удобно задавать дугами, стрелка на которых указывает направление течения. Вершины же потребуются в четырёх содержательно разных случаях. Это могут быть:

1) площадные водоёмы (естественные моря и озёра; искусственные водохранилища и пруды);

2) пункты слияния рек или ручьёв;

3) их истоки и устья (когда они не попадут в п. 1 или 2);

4) пороги стока (перевалы). Здесь требуется пояснение. В текущий момент времени каждая такая вершина относится к какому-то из трёх предыдущих типов. Но в историческом контексте она могла менять свой статус. Это и служит мотивом их выделения в особый случай.

Четыре типа вершин различаются по количеству рёбер в них. У вершин первого типа число входящих дуг может быть любым, а исходящих либо нет вовсе (в случае моря или бессточного озера), либо только одна. В вершину, соответствующую пункту слияния, в норме входят две дуги, а из неё выходит одна. Более сложные случаи слияния всегда можно разделить на несколько простых. Из вершины, соответствующей истоку, выходит только одна дуга. Наконец, из порога стока, как правило, исходят две дуги. Граф бассейна «классической» реки оказывается деревом, все вершины которого имеют валентность 1 (устье и все истоки) или 3 (пункты слияния). От каждого истока до устья есть ровно один маршрут по дугам в направлении их стрелок (стока).

Каждое из этих правил допускает исключения (в том числе, абсолютно уникальные). Например, в центре Карельского перешейка есть общий исток 4 рек [1]. В редких случаях из озера может быть более одного стока. Ещё более редкими являются «невозвратные» разветвления крупных рек. Но разветвление реки на рукава, огибающие остров, или ответвление стариц — весьма массовое явление. Этот случай отличается от слияния только составом дуг: на одну входящую приходится две исходящих. Наличие разветвлений приводит к тому, что граф перестаёт быть деревом и может иметь гораздо более сложную структуру.

Ещё один (пятый) тип вершин связан не с их природой, а со способом представления. Важным для топографии является понятие генерализации, когда масштаб карты вынуждает к объединению нескольких однотипных объектов. Выразительным примером служит «озеро Сайма». На старых и грубых картах оно показано как единый водоём. Но на самом деле является весьма сложной системой из множества связанных между собой протоками плёсов с многочисленными островами [3]. В зависимости от интереса и имеющейся информации в одних случаях «озеро Сайма» будет изображаться единственной вершиной, а в ином масштабе само станет весьма сложным графом.

Генерализация используется и для рёбер. Длинный участок реки удобно изобразить единым ребром, не отвлекаясь на не представляющие интереса проточные плёсы, впадающие ручьи и острова внутри него. Чуть ниже единым ребром станет река Нева, имеющая весьма разветвлённую дельту.

Проиллюстрируем сказанное построением графа Вуоксинской озёрно-речной системы. Начнём с «внешних» объектов, подлежащих генерализации. Это три вершины: A) Ладожское озеро, B) Финский залив и C) озеро Сайма. Плюс одно ребро: AB) река Нева. Генерализация игнорирует все детали внутри них (острова, рукава и пр.).

Вершины A и B соединены дугой AB, направленной от A к B. Но связь вершин A и B с C гораздо более сложная. Построим сначала маршруты (цепочки рёбер и вершин между ними), связывающие C с A и B. Здесь тоже не обойтись без генерализации. Выборгский залив (в том числе, бухту Защитную) считаем частью Финского залива, чтобы проигнорировать проливы между многочисленными островами в них. Аналогично игнорируем острова и протоки в Ладожском озере и Сайма, Приозерском и других крупных «озёрных» плёсах Вуоксы. Кроме того, внутри речных рукавов и Сайменского канала наравне с островами игнорируем плёсы, в которых нет значимых разветвлений (в частности, Цветочные озёра).

Обе значимые вершины вдоль трассы Сайменского канала обозначим буквой D с индексами: D₁ — Нуйямаярви, D₂ — Новинский залив. Получаем маршрут CD₁D₂B.

Сайменский канал — искусственное сооружение, ставшее судоходной альтернативой древнему стоку Вуоксы из озера Сайма в Выборгский залив. Многоводное в давние времена русло сейчас сильно обмелело, став небольшой речкой. Три её участка названы по-разному: Соскуанйоки, Чёрная и Малиновка. В совокупности они образуют ещё одно ребро CD₂. Здесь нет цели вникать в тонкости, связанные с историей, разветвлениями и участками этой речки. Но заметим, что соединяющее Соскуанйоки с Малиновкой в обход Нуйямаярви современное русло Чёрной — тоже отчасти искусственное.

Маршрут из C в A на протяжении веков много раз радикально менялся. Начнём с современного стока Вуоксы через Суходольское озеро и реку Бурную. Вершины на этом маршруте обозначим буквой E с индексами: E₁ — порог Тайнионкоски, E₂ — водопад Иматра, E₃ — устье речки Сторожевой, E₄ — (Верхнее) озеро Вуокса, E₅ — порог Гремучий, E₆ — Колокольцевский порог, E₇ — ответвление «старой» Вуоксы (Вирта) у Мыса (Нойсниеми), E₈ — Лосевский порог, E₉ — порог в истоке реки Бурной из Суходольского озера.

Рёбрами между ними служат речные участки нынешнего главного стока Вуоксы CE₁, E₁E₂, E₂E₃, E₃E₄, E₄E₅ и E₉A (Бурная), Барышевский плёс E₅E₆, две части Лосевского плёса E₆E₇ и E₇E₈, Суходольское озеро E₈E₉. Весь маршрут: CE₁E₂E₃E₄E₅E₆E₇E₈E₉A.

До экологических катастроф 1818 и 1857 годов главный сток Вуоксы от Мыса (Нойсниеми) E₇ резко поворачивал на север к Кексгольму (Приозерску, Кореле). Вершины на этом маршруте обозначим буквой F с индексами: F₁ — Тростниковое озеро, F₂ — Любимовское озеро, F₃ — устье Синей протоки, F₄ — (Нижнее) озеро Вуокса (Приозерский плёс). Маршрут: E₇F₁F₂F₃F₄A.

Здесь важно уточнить, что из F₄ в A идут сразу три «параллельных» ребра. Кроме Вуоксы, воды которой плещутся у стен древней крепости Корела, альтернативными стоками служат река Тихая и Боровая протока. Ещё очень много рёбер вокруг островов «съела» генерализация: как во всех перечисленных в этом абзаце протоках, так и в Приозерском плёсе.

Ту же букву F используем, чтобы обозначить через F₅ разветвление Тиверской протоки на Беличью и Ряжельскую протоки. Рассматривать их во всех деталях здесь нет необходимости. С учётом генерализации, первая из них станет ребром F₁F₅, вторая — ребром F₅F₄, а третья — цепочкой рёбер F₅F₃F₄ (с участком F₃F₄ главного стока Вуоксы до 1818 года).

Более трёх тысяч лет назад главный сток Вуоксы направлялся через Хейнйоки в Выборгский залив [4]. Вершины на этом маршруте обозначим буквой G с индексами: G₁ — Макаровское озеро, G₂ — Хейнйокский порог, G₃ — Ламское озеро, G₄ — Градуевские и Сибирское озёра, G₅ — залив Метельный Губановского озера, G₆ — Соколиное и Кунье озёра, G₇ — группа озёр под общим названием Смирновское, G₈ — Краснохолмское и Синее озера, G₉ — Беличий залив. Весь маршрут: E₄G₁G₂G₃G₄G₅G₆G₇G₈G₉D₂. Уточним, что G₈G₉ называется рекой Тали, на протоке G₆G₇ есть порог Каванткоски, а два плёса Смирновского озера разделены порогом Рапукоски (он не обозначен).

Ещё раньше главный сток Вуоксы проходил почти вдоль нынешней российско-финляндской границы. Восстановить этот маршрут во всех деталях теперь невозможно, так как некоторые его участки теперь стали болотами. Достоверно можно сказать о двух вершинах: H₁ — порог в общем истоке речки Сторожевой и ручья Сааренойя, H₂ — озеро Суокумаанъярви. Сам маршрут (с учётом его вынужденной генерализации): E₃H₁H₂D₁.

Наконец, около пяти тысяч лет назад возник водопад Иматра. Пока его не было, воды Ладожского озера стекали в Выборгский залив через озера Сайма и Нуйямаярви [2]. Часть этого маршрута — уже названные протоки (но в противоположную сторону, так как уровень воды в Ладожском озере тогда был метров на двадцать выше современного). К ним нужно добавить ещё один рукав, вершины которого обозначим буквой I с индексами: I₁ — Михалёвское озеро, I₂ — Бородинское озеро, I₃ — Свободное озеро, I₄ — Пограничное озеро и озеро Иммоланъярви. Маршрут: F₂I₁I₂I₃I₄E₁. Уточним, что I₄E₁ — засыпанная в ходе строительства шоссе №6 Финляндии протока Салонъйоки, а F₂I₁I₂I₃I₄ — река Новосёловка и её приток, причём нумерация индексов направлена вверх по её течению (зато соответствует историческому направлению течения древней Вуоксы). Пограничное озеро и озеро Иммоланъярви прежде были единым водоёмом. Узкая перемычка между ними фактически является порогом стока.

Итоговый вывод представлен на следующем рисунке.

Рисунок 1. Граф Вуоксинской озёрно-речной системы

Список литературы:

1. Phedotov F. V. P. Evolution of the Land Section of the Russian-Swedish Border on the Karelian Isthmus in 1323-1518-1595. – 2022.
2. Федотов В. П. Динамика гидрографических изменений бассейна Ладожского озера за последние 25 веков //Международная конференция по мягким вычислениям и измерениям. – Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет ЛЭТИ им. ВИ Ульянова (Ленина), 2011. – Т. 2. – С. 144-147.
3. Федотов В.П. Маршруты стока из озера Сайма в Балтийское море. //Восточно-европейский научный журнал. #1(86), 2023, часть 1. С. 34-38.
4. Федотов В.П. Об ошибках в интерпретациях трансгрессии  Ладожского озера. — "Наукосфера", Смоленск, 2022, №12(1), с. 6-11.