СОПРЯЖЕННОЕ УРАВНЕНИЕ БОГОЛЮБОВА ДЛЯ КЛАССИЧЕСКИХ НЕПРЕРЫВНЫХ СИСТЕМ

Рассмотрим систему бесконечного числа одинаковых частиц классической статистической физики, которые двигаются в евклидовом пространстве  . Необходимость использования бесконечночастичной модели обусловлено тем, что появление нескольких предельных гиббсовских распределений, описывающие различные объемные фазы,  возможно только для бесконечной системы. Будем использовать для рассмотрения таких систем метод производящего функционала [5, с.112]. Производящий функционал ввел в статистическую физику Н.Н. Боголюбов в 1946 г. в работе [2, с.99].

Ограничимся для простоты бинарным взаимодействием частиц во внешнем поле. Система частиц находится в равновесии со средой и имеет с ней механический, тепловой и материальный контакты. Интенсивность теплового взаимодействия характеризуется величиной β, обратно пропорциональной температуре, а интенсивность материального взаимодействия характеризуется активностью z.  Потенциальная энергия взаимодействия N частиц имеет вид

                            (1)

где потенциал внешнего поля  удовлетворяет условию

                            (2)

а бинарный потенциал  – симметричная функция, удовлетворяющая условию регулярности

                 (3)

Центральным в методе производящего функционала является уравнение Боголюбова - основное уравнение равновесной статистической физики, которому удовлетворяют производящие функционалы   гиббсовских состояний системы:

                                         (4)

с условием нормировки:

                                                (5)

где  - функциональная производная производящего функционала, определенного на пространстве интегрируемых функций .Через потенциалы взаимодействия выражаются функция Майера (3)

функция

и функция

Свойства параметров  и  уравнения Боголюбова (4) обеспечивают существование первой функциональной производной у функционала  и, следовательно, решения уравнения Боголюбова лежат во множестве аналитических на функционалов.

Уравнение Боголюбова (4) допускает обобщение на случай многокомпонентных систем с многочастичным взаимодействием как для непрерывных, так и для решеточных систем [4, с.116].

Статистическим критерием фазовых переходов первого рода является наличие нескольких решений уравнения (4) с условием (5), являющихся производящими функционалами гиббсовских распределений при заданных термодинамических параметрах. Множество этих решений не пусто. Выяснена структура этого множества. Оно является выпуклым множеством, которое полностью характеризуется своими крайними точками. Эти точки интерпретируются в статистической физике как состояния, соответствующие чистым фазам. Поэтому понятна актуальность задачи по выделению тех параметров  с фиксированным взаимодействием, при которых уравнение Боголюбова имеет единственное нормированное решение (область однофазных состояний системы), и тех параметров , когда уравнение Боголюбова имеет несколько нормированных решений (область многофазных состояний системы). Несмотря на свою кажущуюся простоту, уравнение Боголюбова для бесконечных систем сложно для исследования. Поэтому при исследовании однозначной разрешимости желательно искать такие методы, которые не требуют явного построения решений или перехода к уравнениям для частичных функций распределения. Одним из таких методов является переход, как хорошо известно, к сопряженному уравнению.

Построение уравнения, сопряженного к уравнению Боголюбова, может быть проведено разными способами. Мы выбираем тот, который, по нашему мнению, является простейшим. Пространство, в котором лежат решения уравнения Боголюбова (4), это банахово пространство  аналитических на  функционалов

                     (6)

с конечной нормой

 ,                     (7)

где  – s-ая функциональная производная в нуле, удовлетворяющая оценкам

 .                                  (8)

В работе [3,с.245] установлено, что  изоморфно банахову пространству ограниченных функций , элементами которого являются наборы симметричных функций , удовлетворяющих оценкам (8), а норма этого пространства определяется формулой (7). Пространство  есть прямое произведение пространств .

Прямую сумму пространств  с нормой

                     (9)

обозначим через . Элемент этого пространства  , где    . Сопряженным к банахову пространству  является пространство линейных непрерывных на этом пространстве функционалов, которое изоморфно . Общий вид линейного непрерывного на  функционала дается формулой

                  (10)

где .  Так как оба пространства  и  банаховы, то билинейная форма (10) приводит эти пространства в двойственность. Двойственность этих пространств мы используем для получения сопряженного уравнения Боголюбова.

          В дальнейших рассуждениях важную роль будут играть тотальные множества пространств  и  относительно двойственности (10). Множество    () называется тотальным, если из обращения в нуль билинейной формы   () следует   (). Известно, что для тотальности множества М необходимо и достаточно, чтобы линейная оболочка множества SpM была всюду плотна в соответствующем пространстве в слабой топологии, определяемой по двойственности (10). Любой линейный функционал, непрерывный в топологии, определяемой по двойственности, полностью восстанавливается на всем пространстве по своим значениям на тотальном множестве.

В частности, тотальными будут множества

              (11)

       (12)

Подставив в (10) вместо  элемент тотального множества (11), получим

             (13)

выражение для аналитического функционала  через двойственность. Аналогично, подставив в (10) вместо  элемент тотального множества (12), получим выражение

            (14)

которое мы хотим рассматривать как производящий функционал элемента . Функционал  определен на шаре . Способ дифференцирования функционала нужно выбрать так, чтобы функциональные производные в нуле определяли  . Это можно сделать, используя общую теорию дифференцирования в линейных топологических пространствах [1,с.221]. Для этой цели следует выбрать производную Гато. Слабо аналитический в окрестности нуля функционал представляется рядом (14). Определенный рядом (14) функционал  , аналитический в шаре , будем называть двойственным функционалом. Пространство двойственных функционалов обозначим . Оно является банаховым пространством с нормой

                      (15)

где  – s-ая функциональная производная в нуле. Пространство  изоморфно пространству . Поэтому билинейная форма, задающая двойственность на паре пространств  и  , задает двойственность и на паре пространств  и

                  (10)

Уравнение Боголюбова (4) эквивалентно системе уравнений

  (16)

которую мы также будем называть уравнением Боголюбова, а линейные операторы , определяемые левой частью уравнения (16), будем называть операторами уравнения Боголюбова. Вообще говоря, достаточно в (16) рассматривать  из тотального на  множества относительно двойственности пары пространств  и , задаваемой билинейной формой

                                 (17)

Областью определения операторов  является пространство , а область значений лежит в банаховом пространстве , с величиной , в общем случае не совпадающей с . Поэтому при построении сопряженного оператора нужно ввести еще пространство  двойственное к . Для обеих пар пространств ,  и (,) двойственность задается формально одним и тем же выражением (10). Сопряженный оператор  определяется из следующего тождества

                               (18)

Слева и справа в (18) стоят билинейные формы на  и . Причем, если хотя бы один из операторов  или  непрерывен в топологиях, определяемых двойственностью (10) на  или  соответственно, то эти билинейные формы раздельно непрерывны. Непрерывность  следует из ограниченности этого оператора, если  αh , где h – это верхняя грань функции . Рассмотрим тождество (18) на тотальных множествах (11) и (12)

                  (19)

Этим отношением (19) определяется действие оператора  на тотальном множестве , линейная оболочка которого плотна в . На все пространство сопряженный оператор продолжается по непрерывности.

Используя определение оператора  (16), находим сопряженный оператор

   (20)

Выражением (20) полностью определено действие сопряженного оператора уравнения Боголюбова на пространстве двойственных функционалов . Итак, мы имеем полную двойственность: прямой оператор уравнения Боголюбова  задается как действие на производящие функционалы из  (16), сопряженный оператор уравнения Боголюбова  - как действие на двойственные функционалы из .

Наличие нескольких решений уравнения Боголюбова (4), удовлетворяющих условию нормировки (5) при фиксированных значениях параметров (z,β) в современной статистической физике связывается, как отмечалось ранее, с многофазностью системы. Заметим, что единственность нормированного решения уравнения (4) эквивалентна единственности решения уравнения (4) или эквивалентного ему уравнения (16) с однородными начальными условиями

                                              (21)

Множество аналитических функционалов из , удовлетворяющих условию (21), очевидно, является подпространством , которое мы будем обозначать . Обозначим сужение операторов уравнения Боголюбова на  через . Область значений сопряженных операторов  лежит в двойственном к  пространстве аналитических функционалов  с нулевыми значениями в нуле

                          (22)

При построении сопряженных операторов  воспользуемся их связью с операторами

                        (23)

Подставим явный вид операторов  из (20) в (23) и получим явный вид операторов :

                                       (24)

Систему уравнений

                    (25)

где операторы  имеют вид (24), а функционал  будем называть сопряженным уравнением Боголюбова. Заметим, как и в случае с уравнением (16), что достаточно брать из тотального множества относительно двойственности (17).

Применение сопряженного уравнения Боголюбова к исследованию единственности нормированного (5) решения уравнения Боголюбова (4) или (16) основано на следующем очевидном утверждении: уравнение Боголюбова (16) с однородными условиями (21) имеет единственное тривиальное решение  тогда и только тогда, когда объединение образов сопряженных операторов уравнения Боголюбова   () является тотальным множеством в   относительно двойственности пространств  и . В этом смысле можно говорить о всюду плотной разрешимости сопряженного уравнения Боголюбова (25).

Список литературы:

1. Авербух В.И., Смолянов О.Р. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах. //УМН,1967, т.22, №6, с.201-260.
2. Боголюбов Н.Н. Избранные труды, т. 2, Киев: Наукова думка, 1970, с.99-209.
3. Назин Г.И. Топологическая структура семейства решений уравнения Боголюбова // ТМФ, 1980, т. 42, № 2, с. 243-252
4. Пилипенко В.А. Решеточные системы с многочастичным взаимо­действием // Вестник Тюменского госуниверситета, 2002, № 3, с. 116-118.
5. Пилипенко В.А. Метод производящего функционала в классической статистической физике //сб. статей «Естественные и математические науки в современном мире», №11-12(35), Новосибирск, «СибАК», 2015, с.112-116.