ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИ ДЕФОРМИРУЕМОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ЖИДКОЙ СРЕДОЙ

NUMERICAL STUDY OF NON-STATAIONARY INTERACTION OF ELASTOPLASTIC DEFORMABLE CYLINDRICAL SHELL OF FINITE LENGTH WITH THE DEFORMABLE LIQUID MEDIUM

Ablakul Abdirashidov

candidate of Science, assistant professor of Samarkand State University

Uzbekistan, Samarkand

АННОТАЦИЯ

В работе численно исследован процесс упругопластического деформирования цилиндрической оболочки конечной длины при воздействии на нее импульсной и гидродинамической нагрузок. Анализируется влия­ние времени действия нагрузки, ее интенсивности и амплитуды, а также геометрических и механических характеристик тела на нестационарное поведение гидроупругопластической сис­темы.

ABSTRACT

In the work elastoplastic deformation process of cylindrical shell of finite length under influences of pulse and hydrodynamic loadings is numerically investigated. It is analyzed influence of loading time its intensity and amplitude, and also geometrical and mechanical characteristics on non-stationary behavior hydroelasto-plastic system.

Ключевые слова: оболочка; упругопластичность; гидродинамика.

Keywords: shell; elastoplasticity; hydrodynamics.

Введение. К проблеме нелинейного поведения элементов конструкций в последние годы обращено внимание широкого круга исследователей [1-4]. При действии на поверхность тела импульсной или гидродинамической нагрузки возникает упругое или уп­ругопластическое деформирование. Волна сжатия чаще приводит к разрушению преграды и последующим истечению содержащей жидкости из сосудов с опасными последствиями для других элементов конструкций. Исследование поведения и НДС конструкций, а также их элементов при импульсном и гидродинамическом нагружениях вызывает значительный интерес для оценки прочности и работоспособности подводных и летательных аппаратов, защитных сооружений в экс­тремальных условиях работы, приборов, а также трубопроводов в газонефтепромышленности. Для оценки НДС конструкций при нестационарном нагружении наиболее рациональным представляется использования численных методов. Преимущества использование численных методов доказаны в работах [2-3]. Несмотря на то, что решению проблемы исследования НДС и прочности упруго и упругопластически деформируемых систем при ударных, импульсных и гидродинамических воздействиях посвящены достаточно большое число публикаций [1-3], но многие аспекты этой проблемы остаются малоизученными, например, влияние пузырьковой кавитации и метастабильное состояние жидкости на упругопластическое деформирование и разрушение оболочечных элементов гидроупругопластических систем.

Постановка задачи. Ниже приведены результаты численного исследования нестационарного взаимодействия упругопластической оболочки конечной длины с деформируемой жидкой средой. Предполагается, что оболочка деформируется внутренними силами или путем взаимодействия возмущенной средой. В качестве источника возмущений принимается нестационарное гидродинамическое давление, возникающей подрывом подводного взрыва цилиндрической формы, а в случае отсутствия жидкости на внутреннюю поверхность конструкции воздействует кратковременный импульс.

Основные уравнения расчетов. Поведение оболочки анализируем на основании зависимостей геометрически нелинейной теории Тимошенко. Связь между компонентами тензоров напряжений и деформаций устанавливается в соответствии с теорией течения, подробно описанной в работе [1,2], применительно к задачам нестационарного деформирования тонкостенных конструкций. Отметим, что данная методика решения упругопластических задач позволяет учитывать влияние скорости деформирования на поведение материалов. Движение цилиндрической оболочки является осесимметричным, поэтому, как в выше члены, содержащие  окружное смещение  и производные по углу, в уравнениях движения равны нулю. Тогда

      (1)

Приведем соотношения Коши между компонентами тензора деформаций и вектора перемещений, позволяющие выразить усилия и моменты в (1) через перемещения.

Связь между напряжениями s и деформациями e также как [1,2], записывается следующим образом:

    (2)

Подставляя выражения (2) в соотношения закона Гука и используя далее формулы усилий и моментов, получаем уточненные выражения для усилий и момента:

                       (3)

Перерезывающие силы определяются следующим образом:

                    (4)

Учитывая (3) и (4) уравнения движения (1) запишем в виде:

       (5)

где

Уравнения (5) позволяют учесть деформации сдвига. Эти деформации существенны при расчете кромок деформируемого элемента конструкций.

Края оболочки свободны: в случае уравнений теории типа С.П.Тимошенко: N_x = 0; M_x = 0; Q_x = 0. На границе контакта жидкости и оболочки: линеа­ризованное кинематическое условие . В случае рассмотрении осесимметричной задачи в сечении х = L/2 записывались условия симметрии.

Динамику деформирования сплошной среды описываем уравнениями гидродинамики, а ее состояние - различными моделями (идеально-упругая - модель 3; пузырьковая - модель 1; квитирующая - модель 2; кипящая при комнатной температуре - модель 4 и кипящая при высоких температурах - модель 5) [3]. На поверхности контакта сред задаем условия непротекания, а края оболочки - закреплены или свободны. Начальные условия считаем нулевыми, кроме в области метастабильной жидкости и газа. Поставленная задача решается численно с помощью разностного алгоритма, описанного в работах [2,3]. В работе [2] такой алгоритм расчета успешно применен для решения уравнений оболочек основанные на гипотезах Кирхгофа-Лява, а алгоритм Уилкинса [3] - для решения уравнений гидродинамики [3].

Конечно-разностная формулировка исходных дифференциальных уравнений включает в себя дискретизацию по временным и пространственным координатам. Дискретизация по пространственным переменным осуществлялась конечно-разностными операторами с использованием четырехугольной сеточной ячейки со вторым порядком точности. При расчетах относительный объём в уравнении сохранения массы отождествлялся с объемом ячейки конечно-разностной сетки, а производные в уравнении движения сплошных сред вычислялись по положению ближащих к рассматриваемому узлу четырех узлов сетки. При этом скорости и перемещения рассчитывались для узлов сетки, а плотность, напряжения, параметры разрушения и деформации - для центра ячейки. Для интегрирования по времени используется явная разностная схема.

При численном изучении процесса взаимодействия жидкости и оболочек использовалась прямоугольная декартовая система координат. Исходные дифференциальные и алгебраические уравнения механики сплошных сред для декартовой системы координат приведены в [2, 3]. Для построения разностной аппроксимации частных дифференциальных уравнений в области изменения переменных х и r использовались алгоритм М.Уилкинса [3].

Результаты вычислений. В качестве примера изучим реакцию стальной цилиндрической оболочки конечной длины на действие внутренней гидродинамической нагрузки. Геометрические размеры оболочки: R = 0.014 м; h = 0.001 м; L = 0.2 м. Характеристики материала следующие: Е = 200000 МПа;  = 0.25;  = 0.00785 кт/м³; = 400 МПа; Е₁ = 500 МПа. Гидродинамическая нагрузка возникает при подрыве цилиндрического заряда ВВ, расположенного вдоль оси цилиндра, заполненного жидкостью. Давление при этом определяется зависимостью, определенной для сферических зарядов [2]. Края оболочки свободны.

Задача осесимметричная, поэтому рассмотрим половину расчетной области. Расчетная область разбили на сетку с шагом h_x=L/20; h_r=R/10; =h^*/(ka), h^*=min(h_x,h_r), а коэффициент к определялось из условия устойчивости схемы [2]. Значения накопленной пластической деформации уточнялись через определенный шаг . Заряд расположен в объеме двух расчетных ячеек в точке x = L/2.

Оболочка делилась по толщине на 4 частей. Шаг по этой координате равнялся 0,00025 м, а  = 0,2 мкс. Накопленная пластическая деформация уточнялась через шаг . Расчеты показали, что изменение . и увеличение деления по толщине до 8 практически не влияли на остаточный прогиб.

Дальнейшие увеличения приводили к приближению результатам для упругой оболочки, например, при  максимальные прогибы отличались в два раза чем .

В работе авторов [2] приведены результаты численного исследования импульсного деформирования упругой и упругопластической оболочки.

На рис.1 приведены кривые изменения давления Р (рис.1,а) в пузырьковой жидкости малого газосодержания (nV = 0,000009 [2] ) и прогиба w (рис.1,б) оболочки в точке x=L/2 при q₀ = 1000 МПа (P₀ - начальное давление в газе). Сплошные кривые определяют w и Р вычисленные с учетом, штриховые - без учета пластичности мате­риала оболочки. Выделенная буквой Э сплошная кривая получены экспериментально [2].

Теоретические и экспериментальные сплошные кривые качественно хорошо согласуются между собой. Из сравнения следует, что учет пластических свойств материала приводит к существенному росту максимальных значений прогибов. Также рис.1 показывает, что пластичность приводит к уменьшению амплитуды волны давления в жидкости, в результате деформации оболочка принимает форму бочки. На рис.2 приведены кривые изменения осевого смещения и по длине (рис.2,а, рис.2,в) и края по времени (рис.2,б) оболочки с уче­том пластических свойств материала.

Рисунок 1. Влияние изменение прогиба оболочки и давления в пузырьковой жидкости малого газосодержания. Сплошные кривые определяют w и Р вычисленные с учетом, штриховые - без учета пластичности мате­риала оболочки. Выделенная буквой Э сплошная кривая получена экспериментально.

u,10^-4,м

Рисунок 2. Влияние кривые изменения осевого смешения и по длине (а – без учета пластики, б – с учетом пластики) и края оболочки (в - с учетом пластики) по времени.

Исследовалось влияние состояния жидкости на прогибы оболочки. На рис.3 показано изменение во времени прогибов центральной точки оболочки в зависимости от моделей жидкости соответственно. Номера кривые соответствует к номерам модели.

Расчеты проводились с учетом пластичности (а) и без ее учета. Видно, что максимальные прогибы оболочки, определенные с учетом пластики, превышал таковой, полученной в предположении упругости оболочки. Кроме того, модели пузырьковой и кавитирующей дают близкие результаты, а идеально-упругая - с моделью Кузнецова.

Рисунок 3. Влияние изменение во времени прогибов центральной точки оболочки в зависимости от моделей жидкости соответственно (а – с учетом пластики, б – без учета пластики).

Это можно объяснить тем, что модель идеально-упругой жидкости позволяет существовать волнам разрежения сколь угодно большой амплитуды, а модель Кузнецова (кипящая жидкость при комнатной температуре) близко к уравнению Тэта.

Модели пузырьковой и кавитирующей жидкости не позволяет существование значительных отрицательных давлений, что и осуществляет больше смещение оболочки по сравнению со случаем идеальной жидкости. Дальнейшее уменьшение амплитуды нагрузки приводил к уменьшению прогиба оболочки (см. рис.3, а - с учетом пластики материала оболочки, а б - без учета).

Изменение материала и геометрии оболочки мало влияло на устойчивость вычислений. Расчеты проведены до такого момента времени, что краевые эффекты не влияют на остаточный прогиб, приобретенный оболочкой (рис.4).

На рис.5 показано влияние изменение шагов учета накопленной пластической деформации оболочки и прогиба.

На рис.6 показано, что увеличение амплитуды нагрузки приводить к увеличению пластической деформации оболочки (см. рис.6,б).

Рисунок 4. Влияние изменение материала оболочки (кривая 1- сталь, кривая 2 – БрКМц, кривая 3 – Д16АТ) на прогибы центральной точки оболочки (без учета пластики)

        w,10^-4, м

Рисунок 5. Влияние изменение шагов учета накопленной пластической деформации оболочки на ее прогибы (кривая 1 – на каждом шагов, кривая 2 – через 5 шагов, кривая 3 – через 10 шагов, кривая 4 – через 20 шагов)

Рисунок 6. Влияние изменение амплитуды нагрузки на прогибы центральной точки оболочки (а -  без учета пластики, б – с учетом пластики).

Выводы. В процессе расчетов установлены, что в пе­риод деформирования конструкции существует сложное напряженно деформированное состояние, влияние параметров нагрузки и состояние среды более заметно для оценки прочности и несущей способности оболочки, а расчет в краях конструкций необходимо проводить на основании уточненной теории. Разработанная численная методика и результаты работы позволяют более обоснованно подходить к динамическому расчету некоторых технических объектов и сооружений, более точно математически моделировать и решать ряд проблем нестационарной газогидроупругопластичности, учитывая нелинейный характер элементов конструкций при нестационарном взаимодействии их со средой.

Список литературы:

1. Вольмиp А.С. Нелинейная динамика пластинок и обо­лочек. - М.: Наука, 1972. - 432 с.

2. Галиев Ш.У. Динамика гидpоупpугопластических систем. - Киев: Наукова думка, 1981. - 376 с.

3. Галиев Ш.У. Нелинейные волны в ограниченных сплошных средах. - Киев: Наукова думка, 1988. - 263 с.

4. Galiev Sh.U. Charles Darwin’s geophysical reports as models of the theory of catastrophic waves (Пер.: Геофизические сообщения Чарлза Дарвина как модели теории катастрофических волн. – М.: Цент современного образования, 2011. – 656 с.).