РЕШЕНИЕ ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧ НА ЭКСТРЕМУМ СРЕДСТВАМИ СИСТЕМ КОМПЬЮТЕРНОЙ МАТЕМАТИКИ

SOLUTIONS OF APPLIED PROBLEMS ON AN EXTREMUM BY MEANS OF COMPUTER MATHEMATICS

Anna Golanova

candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University,

Russia, Pushkin

Ekaterina Golikova

candidate of Science, associate professor of department of computer science and calculus mathematics of Pushkin Leningrad State University,

Russia, Pushkin

АННОТАЦИЯ

В статье описан и реализован алгоритм решения прикладных задач на экстремум в системах компьютерной математики.

ABSTRACT

The article described and implemented algorithm for the solution of applied problems to the extreme in mathematical packages.

Ключевые слова: экстремум, математическая модель, компьютерное моделирование.

Keywords: extremum, mathematical model, computer simulation.

ФГОС ВО бакалавров, обучающихся по направлению 44.03.05 Педагогическое образование (профиль «Информатика и математика»), предполагает формирование у обучаемых компетенции ОК-3 – способен использовать естественнонаучные и математические знания для ориентирования в современном информационном пространстве.

Приведём ожидаемые результаты обучения, обеспечивающие формирование данной компетенции. Обучаемый должен: знать: методы построения и реализации компьютерных моделей в различных программных средствах; этапы реализации вычислительного эксперимента; уметь: осуществлять построение математической модели для задач из различных предметных областей; разрабатывать алгоритм реализации построенной модели в выбранном программном; использовать различные программные средства при решении ключевых задач школьного курса математики; владеть навыками математической и статистической обработки информации.

Одной из дисциплин учебного плана, в рамках которой осуществляется формирование данной компетенции, является дисциплина «Практикум по решению задач на ЭВМ». Она является одной из составляющих профессионального образования при подготовке бакалавров в сфере образования и входит в состав цикла Б1 в качестве одной из обязательных дисциплин вариативной части данного цикла учебного плана бакалавров, обучающихся по направлению 44.03.05 Педагогическое образование (профиль «Информатика и математика»).

Цель дисциплины: познакомить обучаемых с технологией решения ключевых задач школьного курса математики; обучить студентов принципам использования вычислительного эксперимента, проведению анализа задачи и интерпретации полученных результатов, применению современных информационных технологий для решения задач школьного курса математики.

Задачи дисциплины: изучение типологии задач школьного курса математики; анализ программного обеспечения, используемого для реализации решения задач школьного курса математики; изучение этапов вычислительного эксперимента; анализ результатов вычислительного эксперимента; сравнение компьютерных моделей решения одной и той же задачи в различных программных средствах.

В рамках данной дисциплины студенты знакомятся с системами компьютерной математики и учатся применять их при решении различных прикладных задач, в частности, задач на экстремум.

В таких задачах обучаемый должен сначала построить функцию в соответствии с условиями задачи, а затем найти ее экстремум.

Опишем алгоритм решения прикладной задачи на экстремум:

1.  Определить параметр, влияющий на изменение искомой величины.

2.  Выразить искомую величину, как функцию от найденного параметра.

3.  Найти точки экстремума полученной функции. Для этого необходимо:

3.1. Вычислить первую производную найденной функции и найти её корни (т.к. точки экстремума дифференцируемой функции нужно искать среди корней производной). Тем самым будут найдены стационарные точки функции.

3.2. Найти точки, в которых производная функция не существует (т. к. они также могут являться точками экстремума функции).

3.3. Выбрать точку, в которой искомая функция достигает максимума (минимума). При этом будем пользоваться правилами:

·     Если при переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с «плюса» на «минус», то эта точка – точка максимума функции.

·     Если при переходе через стационарную точку функции ее производная меняет знак с «минуса» на «плюс», то эта точка – точка минимума функции.

4.  Проверить, удовлетворяет ли найденная точка (точки) условию задачи.

5.  Вычислить значение функции в найденной точке.

В качестве примера реализации описанного алгоритма рассмотрим следующую задачу [1, с.93]:

Требуется изготовить коническую воронку с образующей, равной 20 см. Какова должна быть высота воронки, чтобы её объём был наибольшим?

Для решения данной задачи могут быть использованы различные программные средства, например, Mathcad, Maple. С этими программными средствами обучаемые знакомятся при решении задач дифференциальной геометрии и физических задач [2; 3].

Построим графическую иллюстрацию к задаче.

Рисунок 1. Иллюстрация задачи

Формула объема конуса такова:

Квадрат радиуса в нашей конкретной задаче вычисляется как:

В итоге получаем:

Найдем экстремумы функции. Искомый объем должен быть наибольшим, поэтому возьмем точки максимума функции:

Ответ: высота воронки должна быть  см для достижения максимального объема 3225 см³.

Опишем процесс решения задачи в Mathcad.

1.  Обозначим искомую величину.

Пусть h – высота воронки.

2.  Выразим радиус воронки через высоту и запишем формулу для вычисления объема конической воронки:

3.  Убедимся, что функция объема действительно достигает максимума в некоторой точке. Для этого построим график функции V(h).

Рисунок 2. График зависимости объема воронки от высоты

4.  Найдем значение максимума.

5.  Для нахождения аналитического решения вычислим производную найденной функции:

6.  Найдём точки, в которых производная обращается в ноль.

7.  Выберем точку, в которой функция объёма достигает максимального значения.

Так как производная функции обращается в ноль в двух точках, то именно в одной из этих точек функция объёма достигает максимального значения. Для нахождения этой точки, определим знаки на интервалах .

При переходе через точку  производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, именно в этой точке функция достигает максимального значения.

8.  Вычислим значение объёма в найденной точке.

9.  Укажем найденную точку на графике.

Рисунок 3. График зависимости объема воронки от высоты с указанием точки максимума

10.  Запишем ответ.

Опишем процесс решения задачи в Maple.

1.  Обозначим искомую величину.

Пусть h – высота воронки.

2.  Выразим радиус воронки через высоту и запишем формулу для вычисления объема конической воронки:

3.  Убедимся, что функция объема действительно достигает максимума в некоторой точке. Для этого построим график функции V(h).

Рисунок 4. График зависимости объема воронки от высоты

4.  Найдем значение максимума.

5.  Для нахождения аналитического решения вычислим производную найденной функции:

6.  Найдём точки, в которых производная обращается в ноль.

7.  Выберем точку, в которой функция объёма достигает максимального значения.

Так как производная функции обращается в ноль в двух точках, то именно в одной из этих точек функция объема достигает максимального значения. Для нахождения этой точки, определим знаки на интервалах .

При переходе через точку  производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, именно в этой точке функция достигает максимального значения.

8.  Вычислим значение объёма в найденной точке.

9.  Укажем найденную точку на графике.

Рисунок 5. График зависимости объема воронки от высоты с указанием точки максимума

10.  Запишем ответ.

Использование систем компьютерной математики при решении данной задачи позволяет визуализировать процесс решения и избежать вычислительных ошибок (в частности, при вычислении производной и нахождении её корней). Также существенно упрощается процесс решения данной задачи при изменении исходных данных (длины образующей). У обучаемых есть возможность провести исследование зависимости высоты воронки от длины образующей. Для проведения соответствующего исследования им предлагается решить задачу для пяти различных значений длины образующей и заполнить таблицу.

Таблица 1.

Исследование зависимости высоты воронки от длины образующей

Полученные данные позволяют обучаемым самостоятельно сделать вывод о наличии линейной зависимости между указанными данными:

Таким образом, при решении данной и других задач школьного курса математики у обучаемых появляется возможность познакомиться с различными системами компьютерной математики и реализовать в них процесс решения этих задач. А это, в свою очередь, позволяет достигнуть ожидаемых результатов обучения и обеспечивает более высокую степень усвоения преподаваемого материала (что подтверждается результатами выполнения контрольных работ).

Список литературы:

1. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Уч. Пособие. – 22-е изд., перераб. – СПб: Изд-во «Профессия», 2001. – 432 с.
2. Голанова А.В., Голикова Е.И. Применение системы компьютерной математики Maple для решения задач дифференциальной геометрии. // Естественные и математические науки в современном мире: Сб. ст. по материалам XXIII междунар. науч. конф. №23. – Новосибирск: Изд. «СибАК», 2014. – С. 23–29.
3. Голанова А.В., Голикова Е.И. Компьютерное моделирование физических процессов средствами системы компьютерной математики Maple. // Естественные и математические науки в современном мире: Сб. ст. по материалам XXIII междунар. науч. конф. №2(37). – Новосибирск: Изд. «СибАК», 2016. – С. 79–88.