МАТЕМАТИЧЕСКОЕ  МОДЕЛИРОВАНИЕ  ПРОСТРАНСТВЕННОГО  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ  ПОЛЯ  ДИРЕКТОРА  НЕМАТИЧЕСКОГО  ЖИДКОГО  КРИСТАЛЛА  В  ЯЧЕЙКЕ  С  КОМПЛАНАРНЫМИ  ЭЛЕКТРОДАМИ

Богатырев  Борис  Дмитриевич

магистр  Южно-Уральского  Государственного  университета,  РФ,  г.  Челябинск

E -mail:  bogatyrevbd@yandex.ru

Клебанов  Игорь  Иосифович

доцент  Челябинского  государственного  педагогического  университета,os   доцент  Южно-Уральского  Государственного  университета,  РФ,  г.  Челябинск

E-mail:  klebanov.igor2010@yandex  .ru

Подгорнов  Федор  Валерьевич

доцент  Южно-Уральского  Государственного  университета,  РФ,  г.  Челябинск

E -mail:  fedorpod@yahoo.de

Иванов  Сергей  Александрович

старший  преподаватель  Челябинского  государственного  педагогического  университета,  старший  преподаватель  Южно-Уральского  Государственного  университета,  РФ,  г.  Челябинск

E-mail:  ivanovlord@ya  .ru

MATHEMATICAL  MODELLING  OF  SPATIAL  DISTRIBUTION  OF  THE  NEMATIC  DIRECTOR  FIELD  IN  THE  CELL  WITH  IN-PLANE  ELECTRODES

Bogatyrev  Boris

undergraduate  of  the  South-Ural  State  university,  Russia,  Chelyabinsk

Klebanov  Igor

associate  professor  of  Chelyabinsk  State  Pedagogical  University,  associate  professor  of  South-Ural  State  University,  Russia,  Chelyabinsk

Podgornov  Fedor

associate  professor  of  South-Ural  State  University,  Russia,  Chelyabinsk

Ivanov  Sergey

associate  professor  of  Chelyabinsk  State  Pedagogical  University,  associate  professor  of  South-Ural  State  University,  Russia,  Chelyabinsk

АННОТАЦИЯ

Рассматривается  ячейка  с  компланарными  электродами,  заполненная  нематическим  жидким  кристаллом.  Получено  точное  аналитическое  выражение  для  распределения  электрического  поля  в  ячейке.  В  одноконстантном  приближении  континуальной  теории  методом  Ритца  приближенно  рассчитано  распределение  поля  директора  нематика  в  ячейке.  Расчеты  проведены  для  случаев  планарных  граничных  условий  и  положительной  диэлектрической  анизотропии.  Произведено  сравнение  теоретических  результатов  с  экспериментальными.  Установлено  хорошее  качественное  соответствие  теоретических  и  экспериментальных  результатов.

ABSTRACT

The  cell  with  in-plane  electrodes  filled  with  a  nematic  liquid  crystal  (NLC)  is  considered.  Rigorous  analytical  expression  for  the  spatial  distribution  of  electric  field  across  a  cell  is  retrieved.  In  one-constant  approximation  of  the  continual  theory  the  method  of  Rietz  allows  evaluating  distribution  of  the  director  field  of  the  NLC  in  a  cell.  Calculations  are  implemented  for  planar  alignments  of  NLC  and  positive  dielectric  anisotropy.  It  was  demonstrated  that  theoretical  and  experimental  results  are  in  good  accordance.

Ключевые  слова:   жидкий  кристалл;  нематик;  компланарные  электроды;  поле  директора;  математическая  модель;  метод  Ритца.

Keywords:  liquid  crystal;  nematic;  in-plane  electrodes;  director  field;  mathematical  model;  Rietz  method.

Жидкие  кристаллы  представляют  собой  мезофазное  состояние  между  твердыми  кристаллами  и  изотропной  жидкостью,  и  имеют  как  свойства  жидкой  среды  (вязкость),  так  и  кристаллической  (анизотропия  свойств).  Жидкие  кристаллы  проявляют  свои  уникальные  свойства  в  узком  диапазоне  температур  между  кристаллической  твердой  и  изотропной  жидкойфазой.

При  охлаждении  изотропной  жидкости  образуется  не  кристаллическая  фаза,  а  фаза  нематика,  в  которой  молекулы  уже  имеется  ориентационная  упорядоченность,  но  еще  отсутствует  позиционная.  Молекулы  все  еще  могут  перемещаться  по  объему  жидкого  кристалла,  а  вязкость  сдвига  мало  отличается  от  значения  в  жидкой  фазе.  Однако  главная  ось  молекул  ЖК  имеет  приоритетное  макроскопическое  положение.  В  данной  работе  рассматривается  жидкий  кристалл  в  фазе  нематика.

Среднее  макроскопическое  направление  осей  молекул    в  виде  единичного  вектора  называют  директором  ЖК.  Поле  директора  ЖК  и  его  изменение  под  действием  внешних  условий,  в  частности  —  границ  ячейки  и  электрического  поля,  является  основным  вопросом  при  рассмотрении  свойств  жидкого  кристалла.

В  ЖК  возможна  эластичная  деформация  трех  типов  (рис.  1):  (a)  splay  —  директор  поворачивается  в  направлении  радиальной  оси  ,  (b)  twist  —  директор  поворачивается  в  направлении  азимутальной  оси    вдоль  оси  ,  и  (c)  bend  —  директор  также  смещается  в  направлении  азимутальной  оси  ,  но  изменения  происходят  вдоль  оси    [1].

Рисунок  1.  Три  возможных  типа  деформации  директора  ЖК:  (a )  splay,  (b)  twist,  (c)  bend

Плотность  энергии  упругой  деформации  рассчитывается  как

(1)

Плотность  электрической  энергии  равна

(2)

Когда  электрическое  поле  слабое,    можно  считать  константой,  независимой  от  значения  напряженности  поля.  Первый  член  выражения  не  зависит  от  направления  поля  директора  по  отношению  к  полю,  а  потому  при  расчете  им  можно  пренебречь.Таким  образом,  для  расчетов  можно  упростить  выражение  для  плотности  энергии  до

(3)

Обе  составляющие  плотности  свободной  энергии  зависят  от  взаимного  расположения  электрического  поля  и  поля  директора  жидкого  кристалла.  При  этом  в  равновесных  условиях  поле  директора  будет  ориентировано  так,  чтобы  минимизировать  полную  энергию  жидкого  кристалла,  находящегося  в  ячейке. 

Рисунок  2.  Чертеж  ячейки  с  компланарными  электродами  в  плоскости  OXZ

Следовательно,  функция  распределения  поля  директора    будет  такова,  чтобы  интеграл  плотности  свободной  энергии  ЖК  был  минимален.  Исходя  из  этого,  можно  найти  распределение  поля  директора.

В  рамках  данной  работы  рассматривается  ячейка  с  компланарными  электродами  (рис.  2).  Электроды  в  такой  ячейке  располагаются  в  одной  плоскости,  напыленные  на  подложку  в  виде  двух  параллельных  прямоугольников  с  фиксированным  расстоянием  между  краями  электродов.Для  расчетов  взята  ячейка  со  следующими  параметрами:  толщина  ячейки  ,  расстояние  между  электродами  ,  толщина  напыленных  электродов    не  более  10  нм,  что  позволяет  нам  пренебречь  ими  при  расчете  и  считать  идеально  плоскими  [2;  3].

Расчет  электрического  поля  в  ячейке  проводится  на  основе  решения  задачи  Дирихле  для  полуплоскости.  Так  как  нам  известно  распределение  потенциала  на  границе  полуплоскости  (),  а  в  остальном  объеме  оно  удовлетворяет  уравнению  Лапласа  ,  мы  можем  воспользоваться  известным  решением:

  (4)

где

  (5)

  (6)

Составляющие  вектора  электрического  поля  есть  производные  от  потенциала  по  соответствующим  координатам:

(7)

(8)

Плотность  энергии  в  жидком  кристалле  складывается  из  двух  составляющих  —  упругой  и  электрической.  С  учетом  одноконстантного  приближения  (),  представления  вектора    в  виде    и  того,  что  в  жидком  кристалле  отсутствуют  деформации  типа  twist,  выражение  для  плотности  энергии  принимает  следующий  вид:

(9)

Тогда  общая  энергия  жидкого  кристалла  в  ячейке 

(10)

Минимизации  полной  энергии  ячейки  приводит  к  уравнению  Эйлера-Лагранжа  для  равновесного  распределения  поля  директора.Но,  так  как  компоненты  электрического  поля  являются  сложными  функциями  координат,данное  уравнение  не  решается  аналитически.  Численный  расчет  также  является  сложной  задачей  в  силу  нелинейности  уравнения  равновесия. 

Поэтому  в  настоящей  работе  найдено  приближенное  выражение  для  распределения  поля  директора  методом  Ритца.

Предварительно  сделаем  подстановку:

Тогда  выражение  для  плотности  энергии  примет  следующий  вид:

  (11)

Примем  нулевые  граничные  условия:

  (12)

И  будем  искать  приближенное  решение  в  виде

  (13)

Функция    выбирается  так,  чтобы  удовлетворять  тем  же  граничным  условиям:

После  подстановки  (11)  и  (13)  в  (10)  получим  функцию,  зависящую  только  от  коэффициентов    и  .  При  низких  значениях  прикладываемого  потенциаладанная  функция  имеет  один  локальный  минимум  в  начале  координат  (),  что  соответствует  неискаженной  картине  поля  с  .  Однако  при  увеличении  напряжения  выше  7,5  В  картина  начинает  меняться  —  в  начале  координат  наблюдается  появление  максимума,  а  симметрично  относительно  него  возникают  два  глобальных  минимума(),  соответствующие  новому  устойчивому  состоянию  жидкого  кристалла.  Это  соответствует  известному  в  физике  жидких  кристаллов  эффекту  перехода  Фредерикса.

Так  как  функция  F(C1,С2)  в  явном  виде  сложна  для  аналитического  исследования,  зависимость  от  коэффициентов  полинома  получена  численно  для  каждого  значения  напряжения  в  отдельности.  Затем,  с  помощью  метода  наискорейшего  спуска  были  найдены  координаты  одного  из  двух  глобальных  минимумов.  Координаты  представлены  в  таблице  ниже:

Таблица  1.

Подставим  найденные  полиномиальные  коэффициенты  в  уравнение  и  проведем  обратную  замену,  чтобы  получить  распределение  поля  директора.

Полученные  в  рамках  моделирования  результаты  (рис.  3)  качественно  совпадают  с  экспериментальными  результатами,  полученными  при  изучении  ячеек  с  компланарными  электродами.  Проверка  соответствия  теоретического  распределения  поля  директора  проводится  на  основе  оценки  диэлектрофоретической  силы,  действующей  на  микрочастицу  диаметром  2  мкм  вблизи  от  края  электрода  на  расстоянии  15  мкм  от  плоскости  электродов.

  (15)

что  совпадает  по  порядку  с  приведенными  в  статье  [2]  величинами.

Полученное  напряжение  перехода  ЖК  из  неискаженного  состояния  в  искаженное  соответствует  напряжению  перехода  Фредерикса,  полученному  экспериментально  для  сходных  условий  ()  [3].

Рисунок  3.  Результаты  расчета  пространственного  распределения  поля  директора  в  зависимости  от  напряжения  на  электродах

Однако  данная  теоретическая  модель  может  быть  применима  только  в  диапазоне  напряжений  до  30  В.  При  превышении  данной  разности  потенциалов  на  электродах  теоретическая  зависимость  искажается  и  приводит  к  результатам,  противоречащим  экспериментальным  данным.  Скорее  всего,  причина  этого  —  малое  количество  слагаемых  в  (13).  Увеличение  количества  слагаемых  требует  разработки  более  сложной  программы  поиска  глобальных  минимумов  энергии  нематика,  что  является  предметом  дальнейшей  работы.

Список  литературы:

1.Yang,  Deng-Ke.  Fundamentals  of  Liquid  Crystal  Devices  /  Deng-Ke  Yang,  Shin-Tson  Wu  –  John  Wiley  &  Sons  Ltd,  2006  —  397  с.

2.Measurements  of  the  electrokinetic  forces  on  dielectric  microparticles  in  nematic  liquid  crystals  using  optical  trapping  /  А.В.  Рыжкова,  Ф.В.  Подгорнов,  A.  Gaebler,  R.  Jakoby,  W.  Haase  //  J.  Appl.  Phys.  113,  244902  (2013).

3.Nonlinear  electrophoretic  motion  of  dielectric  microparticles  in  nematic  liquid  crystals  /  А.В.  Рыжкова,  Ф.В.  Подгорнов,  W.  Haase  //  Applied  Physics  Letters  96,  151901  (2010).