СТОХАСТИЧЕСКАЯ ЛИНИЯ В ПРОДУКТИВНОМ ОБУЧЕНИИ ШКОЛЬНОЙ МАТЕМАТИКЕ

THE STOCHASTIC LINE IN PRODUCTIVE TEACHING OF SCHOOL MATHEMATICS

Zamira Botasheva

Post-graduate student, Karachay-Cherkess State University,

Russia, Karachayevo-Circassian Republic, Karachayevsk

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрена история введения стохастической линии школьного курса математики в некоторых развитых странах, в том числе в России. Акцент сделан на российском опыте, проанализированы причины неудачи реформы 60-х годов прошлого века. Автор предлагает модельный подход в преподавании как способ продуктивного обучения школьной математике. В качестве примера в статье предложены способы решения некоторых типичных задач классической теории вероятностей.

ABSTRACT

In the article history of the stochastic line introduction of school mathematics in some developed countries, including Russia is considered. Russian experience is emphasized, and causes of the reform failure of the 60-ies of the last century are analyzed. The author proposes a model approach in teaching as a way of productive training of school mathematics. As an example, ways to solve some typical problems of classical probability theory in the article are offered.

Ключевые слова: стохастическая линия; продуктивное обучение; образовательный продукт; модель; модельный подход.

Keywords: stochastic line; productive teaching; educational product; model; model approach.

Вопрос о теории вероятностей является одним из важнейших направлений модернизации математического образования, что диктуется ролью вероятностно-статистического знания в общеобразовательной и профессиональной подготовке активного члена современного общества.

Аргументов, как практических, так и философских, в пользу изучения в школе этой области математики достаточно много. Приведем некоторые из них.

1. Сегодня актуальны такие процессы и явления, как референдумы и выборы, банковские кредиты, диаграммы социологических опросов, таблицы занятости и т. д. Общество стремится сделать прогнозы по самым разным сторонам жизни, а это требует хотя бы минимального представления о методах теории вероятности и математической статистики.
2. В многообразии и сложности современной жизни каждому человеку требуется умение анализировать и обрабатывать разрозненную и редкую информацию.
3. Существует много ситуаций, в которых возникает необходимость выбора. Азарт, игра и выбор решения составляют значительную часть жизни современного человека. Но прежде, чем выбирать, необходимо уметь просчитывать все варианты этого выбора, представлять себе хотя бы количество этих вариантов.
4. Знакомство с очень интересной областью математики, где между двумя основными цветами – черным и белым - есть еще другие оттенки типа «очень может быть» или «может быть», расширяет философский кругозор человека.
5. По мнению многих математиков, вероятностно-статистическая линия – стохастическая линия, – как ее называют, способна не только отразить реалии жизни, но и вернуть интерес к математике, ее значимости и универсальности в выработке определенного стиля мышления школьника или студента.
6. По мнению психологов, для формирования вероятностных представлений наиболее благоприятен возраст 10–13 лет, что соответствует примерно 5–7 школьным классам.

Для лучшего изучения стохастической линии в математике обратимся к

анализу исторического опыта ее введения в развитых странах мира и в России, который позволит выявить причины неудач при обучении этой области знаний в школьном курсе математики.

В этом аспекте представляет интерес опыт Англии в математическом образовании школьников. На выпускном экзамене доля вопросов стохастической линии составляет около 20 %. При этом для обычного уровня школьники должны владеть понятиями: вероятность события, комбинации событий, случайная величина, биномиальное распределение, сложение и умножение вероятностей, математическое ожидание, медиана. Для повышенного уровня образования требования гораздо выше.

Математическая подготовка школьников в США немного иная. Это связано с тем, что в США школьники с самого начала делятся по способностям. Две трети учащихся учат математику на самом низком, элементарном уровне. Вероятностный подход осуществляется в старших классах в незначительном объеме. Только самые способные учащиеся изучают в старших классах эту тему более углубленно. Наиболее одаренные среди таких учеников достигают высоких успехов. В методических рекомендациях, разработанных для школ США, подчеркивается важность понимания законов теории вероятностей для молодого человека, предполагается использование игр и игровых ситуаций.

Представления о вероятностных методах и методах математической обработки результатов наблюдений развиваются у японских школьников в процессе обучения уже в начальной школе. Минимальная математическая подготовка выпускника включает довольно значительный объем материала: элементы комбинаторики, случайные события, способы их изучения. Программа максимального объема содержит также элементы теории вероятностей и математической статистики. Японские учителя много внимания уделяют преподаванию стохастической линии математики. Подтверждением этому являются удачные учебники, в которых основные понятия теории вероятностей изложены доступным языком. От общего объема школьного курса математики теоретико-вероятностный цикл составляет примерно 2,5 %.

Во Франции процесс внедрения стохастической линии в школьный курс математики занял несколько десятилетий. Современные программы по теории вероятности и математической статистике были приняты в конце 60-х годов двадцатого века, незначительные изменения были привнесены в 1981–1985 годах в сторону большей доступности. Как в общеобразовательной, так и в профессиональной французской школе элементы теории вероятности и математической статистики изучают примерно с 16 лет. В настоящее время ставится вопрос об изучении этой области математики, начиная с 13 лет.

У колыбели школьной реформы математического образования в 60-х годах прошлого века в России стояли выдающиеся математики А.Н. Колмогоров, Б.В. Гнеденко, А.Я. Хинчин и др. В этот период было написано много методических работ по внедрению теории вероятности и математической статистики в школьный курс обучения. Однако уже в 70- годы эти темы были полностью исключены из обязательной программы. Причина объяснялась неподготовленностью школы к их восприятию. В 80-х годах отдельные элементы теории вероятности были включены в программы математического образования профильных классов. А в следующее десятилетие элементы теории вероятностей и математической статистики вошли в обязательную программу школьного курса математики (хотя бы номинально). В 2010-х задачи по стохастике включены в содержание ЕГЭ.

Обзор отечественной и зарубежной практики математического образования школьников показывает, что введение рассматриваемой темы в школьную программу во всем мире разрабатывается в течение нескольких десятилетий XX и начала нового столетия, т. е. процесс идет медленно.

Анализируя проблему, мы думаем, что неудачи в прошлом при обучении теории вероятностей и математической статистике в России (да и в мире тоже) имеют следующие причины:

1. невостребованность вероятностно-статистической линии курса математики вследствие существующего уровня развития экономики в России;
2. нетрадиционность, непривычность этого материала для самой математики;
3. отсутствие прочных методических традиций преподавания данной темы школьникам (сравним с тысячелетними традициями преподавания евклидовой геометрии); академичность содержания и методики стохастической линии;
4. нехватка методистов-практиков, обеспечивающих процесс обучения методическим материалом, – реформа должна идти не только сверху, но и снизу;
5. неподготовленность самих учителей к изложению материала в духе экспериментальной, практической, «реальной», а не чистой математики;
6. неподготовленность учителей творчески перерабатывать старый материал, собирать и разрабатывать самим новый методический материал;
7. недостаточность информатизации общества для снабжения учителей и методистов многообразием источников информации;
8. недостаточность технических средств для обработки, хранения и передачи информации в целях сбора и классификации банков данных, их размножения при использовании в дифференцированном обучении;
9. отсутствие прочной, методически выверенной традиции использования модельного подхода к обучению школьной математике, непонимание того факта, что математика по своей сути есть построение и изучение моделей реальных процессов.

Очевидно, что, кроме пунктов 7) и 8), остальные остаются актуальны и сегодня. Остановимся подробно на последнем, 9-ом, аспекте. Мы считаем, что продуктивность, результативность математики именно в эффективно действующих математических моделях. Более того, модельный подход позволяет добиться продуктивности не только в самой математике, но, что не менее важно, и в обучении математике.

Под продуктивностью обучения мы понимаем процесс совместной деятельности учителя и обучаемого, в результате которого учащимся созидается образовательный продукт, приобретается практический опыт, творческая самостоятельность и интеллектуальные стимулы, необходимые для того, чтобы стать активным членом современного общества [1, с. 197].

Образовательный продукт в научной литературе изучается в нескольких аспектах: как результат совместной деятельности ученика и учителя, содержание которого соответствует изучаемому предмету или образовательной области, и как продукт познания, полученный обучающимся в виде суждений, текстов, рисунков и т. д., а также изменения личностных качеств ученика, развивающихся в учебном процессе [2, с. 138].

В наших исследованиях в качестве продукта выступает учебная математическая модель. В научной и методической литературе существуют различные подходы к понятиям «модель» и «моделирование» (Н.М. Амосов, И.Т. Фролов, С.И. Архангельский, В.А. Штофф и др.). Мы опираемся на определение модели, сформулированное В.А. Штоффом: модель – это такая мысленно представляемая (идеальная модель) или материально реализованная (материальная модель) система, что отображая или воспроизводя исходный объект исследования, эта система способна замещать его так, чтобы изучение ее самой дало нам новую информацию об исходном объекте. Моделирование же есть особая деятельность по построению или выбору моделей для указанных целей. В модели отражаются существенные с точки зрения цели проводимого исследования (цели моделирования) свойства изучаемого объекта, явления или процесса. В математической модели используются математические обозначения и формулы. При изучении нового объекта сначала обычно описывают его на естественном языке, затем формализуют, т. е. выражают с использованием формальных языков (математики, логики и др.). В дальнейшем процессе исследования формальных моделей часто их визуализируют. Под визуализацией мы понимаем представление модели в «виде, удобном для зрительного наблюдения и анализа» [4].

Стохастическая область наиболее ярко отражает модельный подход при обучении школьной математике. Наша точка зрения заключается в том, что в содержание обучения необходимо явно и четко внести понятия «математическая модель» и «моделирование». Ученики должны владеть знаниями обо всех готовых моделях комбинаторики: «Упорядоченное множество», «Неупорядоченное множество», «Правило сложения», «Правило умножения», «Перестановки», «Сочетания без повторений», «Размещения без повторений», «Сочетания с повторениями», «Размещения с повторениями», «Бином Ньютона» и т. д. Эти правила для малого количества исходов (для n=1, 2, 3,4, 5, 6 и т. п.) можно объяснить вначале на простых примерах (из жизни, книг, задачников), экспериментируя со складыванием чисел (слов) из цифр (букв), написанных на отдельных карточках, с бросанием монеты, кубика, с вытягиванием билетика из урны или извлечением разноцветных шаров из ящика и т. п. Игровые формы проведения уроков актуальны на всех этапах изучения этой области школьной математики. В старших классах можно провести и доказательства для общего случая (для больших n с использованием метода математической индукции. При этом учеников не только необходимо научить навыкам решения задач с помощью моделей, т. е. выбору нужной модели и правильного ее решения, а затем и интерпретации решения, но им надо дать творческие задания (и в аудитории, и в качестве проектов) самостоятельно составить, сформулировать задачи, решаемые с помощью той или иной модели. Каждую такую задачу вместе с учениками необходимо разобрать; если она не подходит для решения данной моделью, то исследовать и найти другую модель, которая ее решает. После решения модели необходимо совместно с учениками (учеником) интерпретировать полученное решение и анализировать качество решения. На наш взгляд, такой контроль, анализ и оценка результативности самостоятельной работы учеников, он обязателен, и только тогда учащиеся приобретут навыки использования готовых моделей и творческого составления новых моделей.

С нашей точки зрения, учитель должен иметь под рукой банк задач для каждой модели, пополнять его самому и с помощью своих учеников. Параллельно учитель может собирать не только задачи, придуманные учениками, но также классифицировать модели, решающие эти задачи.

Подчеркнем роль визуализации модели. Заметим, что даже самые простые визуализации моделей часто помогают решить задачу. К примеру, учащимся предстоит распределить три призовых места среди 6-ти различных человек. Сколькими способами это можно сделать? Заметим, что имеем дело с упорядоченным множеством. Детям это легко понять, если объяснять задачу на языке медалей – золотая, серебряная или бронзовая. Используем в качестве визуализации прямоугольную таблицу с одной строкой: представим себе три призовых места как три окна, которые необходимо заполнить.

Таблица 1.

Визуализация модели «Размещения без повторений»

Существуют шесть способов заполнить первое окно по числу человек. После того, как заполнено первое окно, второе можно заполнить любым из оставшихся пятерых, т. е. имеющихся пяти возможностей. Оставшееся третье место может занять любой из оставшихся четверых. Далее применим модель «Правило умножения» и получим 6*5*4 = 120 способов распределения трех призовых мест среди шести человек.

Вернувшись к рассмотрению этих задач (и более сложных задач такого рода) на этапе закрепления темы, можно ставить вопрос о модели и выяснить, что это модель «Размещения без повторений» (играет роль порядок). В комбинаторике есть формула числа размещений из 6 по 3: А₆³ = В общем случае формула имеет вид . В рассмотренной выше задача n = 6, m = 3. Именно эту формулу мы получили с помощью визуализированной модели с окнами. Заметим, что легко можно изготовить и материальную модель с окнами.

В школьном курсе теории вероятностей изучается классическая вероятность, т. е. вероятность, вычисляемая в виде дроби – отношения числа благоприятствующих событий (исходов) к общему числу всех событий (исходов). Классическая вероятностная модель используется для описания опытов с конечным числом взаимно исключающих возможных исходов [3, c. 7]. Необходимо открыто объяснить ученикам, что это модельный подход. И в дальнейшем использовать формулировку: «Применим модель «Классическая вероятность». В модели «Классическая вероятность» предложенную выше визуализированную модель с окнами можно применить как для подсчета числителя, так и подсчета знаменателя дроби.

Покажем этот подход на примере решения нескольких задач. Рассмотрим схему, скелет решения, который учитель может нарастить разнообразием форм обсуждения.

Задача 1. Перед началом первого тура чемпионата по шашкам участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 56 шашистов, среди которых 12 участников из России, в том числе Валерий Семечкин. Найдите вероятность того, что в первом туре Валерий Семечкин будет играть с каким-либо шашистом из России [5, с. 43].

Решение. При решении этой задачи применяется модель «Классическая вероятность». Произвольное событие заключается в том, что Валерий Семечкин играет с одним из 55 шашистов, так как с самим собой он не играет. Значит, общее количество всех исходов равно 55. Благоприятное событие заключается в том, что Валерий Семечкин играет с одним из 11 шашистов из России (12-ый он сам) – таких событий 11. Тогда . Ответ:.

Задача 2. Из цифр 1,2,3,4,5 наугад составляется трехзначное число без повторяющихся цифр. Какова вероятность, что это число будет четным? [8, с. 16].

Решение. Отметим что это случай классической вероятности. Общее число всех событий вычисляем, применяя визуализированную модель с окнами: 5*4*3=60. Число благоприятных событий можно найти, заполняя окна, начиная с последнего окна. Последнее окно заполняется четной цифрой, т. е. цифрой 2 или цифрой 4. Таким образом, имеем два исхода. Два первых окна заполняются без повторения любой цифрой из 1,2,3,4,5, за исключением той, которой заполнено третье окно (n=4, m=2). Используем модель с окнами и модель «Правило умножения» - получается 4*3*2=24. Тогда р= 24/60 =2/5 =0,4. Ответ: 0,4.

Задача 3. В группе туристов 5 человек, в том числе Денис. С помощью жребия они выбирают трех человек, которые должны идти в село за продуктами. Какова вероятность того, что Денису выпадет по жребию идти в село?

Решение. Речь идет о выборе трех из пяти. Так как порядок в группе из трех человек не играет роли (в село не надо идти строем), то выбираем модель «Сочетания без повторений», т. е. общее количество всех событий вычисляем как число сочетаний из 5-ти по 3:

.

Количество благоприятных событий посчитаем с помощью модели с тремя окнами:

Таблица 2.

Визуализация модели из задачи 3

Пусть Денис займет первое окошко (с таким же успехом он может занять второе или третье окно, без разницы, так как порядок не играет роли). Тогда оставшиеся 4 человека займут два окна, причем опять порядок не играет роли: . Таким образом, общее количество благоприятных событий равно 6. Тогда 0,6. Ответ: 

Задача 4. Перед началом матча по футболу судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд будет первая владеть мячом. Команда «Белые» по очереди играет с командами «Красные», «Синие» и «Зеленые». Найдите вероятность того, что ровно в двух матчах из трех право первой владеть мячом получит команда «Белые».

Решение. Общее количество всех событий посчитаем с помощью визуализированной модели с тремя окнами:

Таблица 3.

Визуализация модели из задачи 4

Общий результат, считаем, пользуясь моделью «Правило произведения»:

Благоприятное событие – это, когда какая-то из трех команд «Красные», «Синие» или «Зеленые» проиграет жребий – т. е. всего 3 случая. Таким образом, . Ответ:.

Задачи теории вероятностей и математической статистики – жизненные задачи. На примере решения этих задач роль и сущность моделирования очень четко могут быть выяснены и осознаны учениками. Это сделает их учебную работу более осмысленной и продуктивной, творческой. Знание элементарных моделей комбинаторики, теории вероятностей и математической статистики поможет выпускникам школ лучше ориентироваться в реалиях современной жизни. Мы согласны только с первой частью мысли О.С. Ивашева-Мутасова, что «… решение вероятностных задач с самого начала требует существенного привлечения интуиции и здравого смысла. Это абсолютно не присуще курсу математики в средней школе. Поэтому введение теории вероятностей в средней школе – противопоказано» [7, с. 63]. Что касается второй части, то введение стохастической линии в школьный курс математики требует, на наш взгляд, особой профессиональной подготовки учителя – учителя-практика, учителя-экспериментатора, учителя–методиста, учителя-интеллектуала, учителя-тьютора – в русле модельного подхода к преподаванию школьной математики. Школьный курс математики является тем скелетом, который учитель в рамках образовательных стандартов наращивает и содержанием, и формой. Учитель должен идти не только в ногу со временем, но и чуть – чуть его опережать. Только в этом случае можно добиться «приоритета образования перед экономикой» [6, с. 7]. Подготовки такого учителя – цель вузовского педагогического образования.

Список литературы:

1. Бем И. Международный заочный курс повышения квалификации в методических письмах // Школьные технологии. – 1990. – № 4. – С. 195–272.
2. Боташева З.Х. Самостоятельная работа студентов по созданию собственных образовательных продуктов как средство компетентной профессиональной деятельности будущего учителя в условиях продуктивного обучения // Теория и практика образования в современном мире: материалы VII Междунар. науч. конф. (г. Санкт-Петербург, июль 2015 г.). – СПб.: Свое издательство, 2015. – С. 137–141.
3. Ватутин В.А., Ивченко Г.И., Медведев Ю.И., Чистяков В.П. Теория вероятностей и математическая статистика в задачах: учеб. пособие для вузов / В.А. Ватутин, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведев и др. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2005. – 315, [5] с.: ил.
4. Визуализация – [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://ru.wikipedia.org/wiki, свободный (дата обращения: 20.02.2016)
5. ЕГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов /под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2015. – 272 с. – (ЕГЭ. ФИПИ – школе).
6. Загвязинский В.И. Актуальные проблемы развития отечественного образования // Вестник Тюменского государственного университета. – 2014. – № 9. – С. 7–16.
7. Ивашев-Мусатов О.С. О теории вероятностей // Математика в школе. – 2005 г. – № 5. – С. 63–67.
8. Кочетков Е.С., Смерчинская С.О., Соколов В.В. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник / Е.С. Кочетков, С.О. Смерчинская, В.В. Соколов. – М.: ФОРУМ – ИНФРА, 2006. – 240 с.: ил.