ВОПРОСЫ  ПРИБЛИЖЕНИЯ  ФУНКЦИЙ  ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО  ПЕРЕМЕННОГО  ПРИ  ПОДГОТОВКЕ  БАКАЛАВРОВ  В  ПЕДВУЗЕ

Закирова  Нурия  Музиповна

канд.  техн.  наук,  доцент  Глазовского  государственного  педагогического  института,  г.  Глазов

Владыкина  Ирина  Владимировна

канд.  пед.  наук,  доцент  Глазовского  государственного  педагогического  института,  г.  Глазов

E-mail: 

QUESTIONS  OF  APPROACHING  OF  FUNCTIONS  OF  A  REAL  VARIABLE  IN  THE  PREPARATION  OF  BACHELORS  IN  PEDVUZE

Nuriya  Zakirova

Candidate  of  technical  Sciences,  associate  Professor  of  Glazov  state  pedagogical  Institute,  Glazov

Irina  Vladykina

Candidate  of  pedagogic  Sciences,  associate  Professor  of  Glazov  state  pedagogical  Institute,  Glazov

АННОТАЦИЯ

Стандарт  бакалавриата  по  направлению  «Педагогическое  образование»,  по  профилю  «Математика  и  информатика»,  и  стандарт  бакалавриата  по  направлению  «Математическое  обеспечение  и  администрирование  информационных  систем»  включают  в  себя  изучение  таких  дисциплин  как  «Численные  методы»  и  «Вычислительная  математика».  Значительное  место  в  этих  курсах  занимает  вопрос  о  приближениях  функций.  В  данной  статье  предлагается  опыт  работы  преподавателей  по  прохождению  соответствующих  тем  со  студентами  указанных  направлений.

ABSTRACT

Standard  bachelor  in  «Pedagogical  education»,  the  profile  of  «Mathematics  and  Informatics»,  and  standard  bachelor  in  «Mathematical  software  and  information  systems  administration»  include  subjects  such  as  «Numerical  methods»  and  «Computational  mathematics».  A  significant  place  in  these  courses  take  up  the  question  of  approximations  of  functions.  This  article  offers  the  experience  of  the  teachers  to  undergo  relevant  topics  with  the  students  of  the  specified  directions.

Ключевые  слова:  функция;  аппроксимация;  интерполирование.

Keywords:  function;  approximation;  interpolating  zooming  on  images.

Задача  приближения  функций  возникает  в  разных  ситуациях  и  является  одной  из  важнейших  в  курсе  вычислительной  математики.  В  пособии  [1]  отмечается,  что  многообразие  методов  аппроксимации  функций  столь  велико,  что  может  возникнуть  вопрос.  Не  является  ли  такая  ситуация  свидетельством  того,  что  отсутствует  научный  подход  к  постановке  и  решению  проблемы  и  что,  если  бы  такой  подход  был,  может  быть,  удалось  предложить  один  оптимальный  способ  приближения,  пригодный  во  всех  случаях?  Ответ  на  этот  вопрос  естественен:  многообразие  методов  вызвано  разнообразием  задач  практики  и  различием  постановок  проблемы.

В  рамках  времени,  отведенного  на  дисциплину,  удается  достаточно  подробно  рассмотреть  тему  вычисления  значений  функций.  В  первую  очередь  изучается  вопрос  вычисления  значений  многочлена  по  схеме  Горнера,  при  этом  отмечается,  что  для  многочленов  общего  вида  нельзя  построить  схему  более  экономную  в  смысле  числа  операций,  чем  схема  Горнера.

Особое  внимание  при  прохождении  указанной  темы  уделяется  вычислению  значений  функций  с  помощью  степенных  рядов.  Разложения  основных  элементарных  функций  в  степенные  ряды  известны  из  курса  математического  анализа.  Для  других  функций  эти  разложения  могут  быть  получены  путем  комбинаций  известных  разложений  или  с  помощью  общей  формулы  Тейлора.  Вычисления  с  помощью  рядов  Тейлора  дает  быструю  сходимость,  как  правило,  только  при  малых  значениях  величины  ׀x-a׀.  Однако  часто  возникает  потребность  с  помощью  многочлена  сравнительно  невысокой  степени  подобрать  приближение,  которое  давало  бы  достаточную  точность.  В  таких  случаях  применяют  преобразованные  ряды.  При  этом  вычисление  значения  функции  в  данной  точке  сводится  к  вычислениям  частичных  сумм  рядов  в  других  точках,  дающих  более  быструю  сходимость.  Для  рассматриваемой  цели  можно  применить  и  достаточно  универсальный  метод  экономизации  степенных  рядов  с  помощью  многочленов  Чебышева,  описанный  в  главе  9  пособия  [2]. 

Вопросы  быстроты  сходимости  рядов  в  конкретных  точках,  получения  более  эффективных  рядов,  а  также  вопросы  оценки  погрешностей  для  остаточных  членов  знакочередующихся  и  положительных  рядов  выносятся  на  семинарские  занятия.  На  лабораторных  занятиях  студенты  выполняют  индивидуальные  задания,  связанные  с  приложениями  теории  рядов  к  вычислениям  значений  различных  элементарных  функций  в  точках,  к  нахождению  приближенных  значений  определенных  интегралов.  В  этих  работах  следует  обратить  внимание  на  важность  аккуратного  вычисления  погрешности  результата,  которая  имеет  две  составляющие.  Первая  из  них  —  это  погрешность  замены  ряда  частичной  суммой  (она  равна  остатку  ряда),  вторая  —  это  погрешности  округлений  при  вычислении  суммы.

Заметим,  что  в  практике  вычислений  частичных  сумм  знакочередующихся  рядов  главную  роль  играет  теорема  Лейбница  и  вытекающее  из  нее  утверждение  о  том,  что  модуль  остатка  ряда  не  превосходит  модуля  величины  первого  из  отбрасываемых  членов  ряда.  С  некоторыми  трудностями  приходится  сталкиваться  при  вычислениях  значений  функций  с  помощью  положительных  рядов.  Здесь  нет  единой  формулы  для  определения  необходимого  числа  членов  ряда.  Как  правило,  для  оценки  остатков  положительных  рядов  применят  мажорирование  такими  числовыми  рядами,  остатки  которых  легко  оцениваются.  Обычно  это  ряды,  члены  которых  образуют  геометрическую  прогрессию.  Наконец,  отметим,  что  удерживаемые  члены  ряда  должны  быть  вычислены  с  такой  точностью,  чтобы  погрешность,  возникающая  при  их  суммировании,  была  мала  по  сравнению  с  заданной  погрешностью  результата.

Кроме  степенных  рядов  при  вычислении  значений  элементарных  функций  на  компьютерах  используются  цепные  дроби,  которые  рассматривались  студентами  в  курсе  алгебры.  Вследствие  ограниченности  времени  на  прохождение  дисциплины  на  лабораторных  занятиях  не  удается  изучить  данный  вопрос  детально,  с  решением  индивидуальных  заданий.  Однако  на  лекции  целесообразно  напомнить  студентам  отдельные  факты  теории  цепных  дробей.  Ограничиваясь  рассмотрением  только  обыкновенных  цепных  дробей,  следует  сформулировать  теорему,  что  для  сходимости  цепной  дроби  с  положительными  неполными  частными  необходимым  и  достаточным  условием  является  расходимость  ряда  из  ее  неполных  частных.

Касаясь  вопроса  вычисления  значений  элементарных  функций  для  заданного  аргумента  с  помощью  цепных  дробей,  необходимо  привести  общую  формулу  Эйлера,  с  помощью  которой  возможно  преобразовать  степенной  ряд  в  цепную  дробь.  Только  при  этом  следует  иметь  в  виду,  что  вопрос  о  сходимости  или  расходимости  цепной  дроби  приходится  решать  отдельно,  независимо  от  того,  сходится  или  расходится  исходный  степенной  ряд.  Подходящие  дроби  для  элементарных  функций  можно  представить  в  виде  дробно-рациональных  функций.  Преимуществом  такого  представления  является  возможность  оценки  погрешности  и  выбора  нужного  порядка  подходящей  дроби.  При  подстановке  конкретного  значения  аргумента  в  дробно-рациональное  представление  функции  совпадение  необходимого  количества  знаков  у  двух  соседних  подходящих  дробей  позволяет  считать,  что  результат  получен  с  заданной  степенью  точности.  При  этом  реализуемые  программы  будут  в  виде  арифметических  циклов,  а  не  итерационных.  Наконец,  следует  продемонстрировать  сказанное  на  конкретной  задаче,  например,  взятой  из  §  4  гл.  II  пособия  [3].

В  основе  большинства  численных  методов  лежит  идея  замены  одной  функции  другой,  близкой  к  данной  в  определенном  смысле.  Желательно,  чтобы  приближающая  функция  обладала  известными  свойствами,  например,  дающими  возможность  легко  производить  над  ней  аналитические  и  вычислительные  операции.  Вид  приближающей  функции  существенно  зависит  от  цели,  с  которой  осуществляется  приближение,  и  заранее  оговаривается,  к  какому  классу  функций  она  должна  принадлежать.

По  учебному  плану  дисциплины  предусматривается  изучение  задачи  интерполирования.  Ее  выделение  вызвано  наличием  многочисленных  приложений,  а  также  тем,  что  аппарат  интерполирования  многочленами  является  важнейшим  в  численном  анализе.  Классическая  постановка  задачи:  по  заданной  таблице  из  n+1  узлов  и  значений  функции  в  них  надо  построить  многочлен  степени  не  выше  n,  чтобы  в  узлах  значения  многочлена  совпадали  с  табличными  значениями  функции.  Здесь  целесообразно  сформулировать  теорему  Вейерштрасса  о  том,  что  для  любой  непрерывной  функции  на  отрезке  найдется  многочлен,  для  которого  модуль  ее  разности  с  функцией  может  быть  сделан  сколь  угодно  малым.  Также  следует  показать,  что  искомый  полином  существует  и  он  единственен.

Далее  традиционно  выводится  интерполяционный  многочлен  Лагранжа  для  произвольных  узлов  и  формула  остаточного  члена,  рассматриваются  различные  формы  записи  многочлена  Лагранжа,  в  том  числе  приводится  схема,  удобная  для  ручных  вычислений  промежуточных  значений  таблично  заданной  функции.  Для  случая  равноотстоящих  узлов  вводятся  конечные  разности,  отмечаются  их  свойства  и  на  их  основе  строятся  интерполяционные  многочлены  Ньютона.  При  этом  отмечается  особенность  структуры  этих  многочленов,  состоящая  в  том,  что  слагаемые  в  них  по  модулю  убывают.  Формулы  остаточных  членов  многочленов  Ньютона  выражают  через  конечные  разности.  Все  эти  вопросы  рассматриваются  не  только  на  лекциях,  но  и  тщательно  прорабатываются  студентами  на  семинарских  и  лабораторных  занятиях.

По  программе  дисциплины  включается  еще  одна  задача  аппроксимации  функций  —  метод  наименьших  квадратов.  Отметив,  что  при  интерполировании  функций  мы  использовали  условие  равенства  значений  интерполяционного  многочлена  и  данной  функции  в  известных  точках,  замечаем,  что  это  предъявляет  высокие  требования  к  самим  данным.  В  задачах  обработки  экспериментальных  данных,  получаемых  в  результате  измерений,  как  правило,  числовые  значения  данных  не  точны,  а  порой  являются  сомнительными.  В  таких  случаях  требование  совпадения  в  узлах  значений  приближающей  функции  с  табличными  значениями  является  излишним  и  неоправданным.

Строгая  функциональная  зависимость  для  опытных  данных  наблюдается  редко.  Образно  говоря,  приближающая  функция  в  данном  случае  должна  быть  определенного  вида  и  в  заданных  точках  должна  принимать  значения  как  можно  более  близкие  к  табличным  значениям.  При  этом  приближающая  функция,  называемая  уравнением  регрессии,  интересна  тем,  что  позволяет  находить  значения  заданной  точечной  функции  для  нетабличных  значений  аргумента  x,  сглаживая  результаты  измерений  величины  y.  После  уточнения  понятия  близости  табличных  значений  и  значений  эмпирической  формулы  в  заданных  точках,  воспользовавшись  метрикой  евклидова  пространства,  приходим  к  следующей  постановке  задачи:  по  заданной  таблице  данных  нужно  найти  функцию  конкретного  вида,  чтобы  при  этом  сумма  квадратов  отклонений  значений  приближающей  функции  от  табличных  в  соответствующих  точках  была  бы  минимальной.  Минимизируемая  функция  обычно  зависит  от  нескольких  параметров  (2  или  3).  Оптимальный  набор  параметров  можно  получить,  применив  необходимые  условия  существования  экстремума  функции  многих  переменных  и  решив  систему  уравнений.

В  качестве  приближающих  функций  в  зависимости  от  характера  точечного  графика  исходных  данных  обычно  используются  следующие  функции:  линейная,  квадратичная,  степенная,  показательная,  логарифмическая,  дробно-линейная,  дробно-рациональная  и  так  называемая  функция  —  гипербола.  Нахождение  приближающей  функции  в  виде  линейной  и  в  виде  квадратного  трехчлена  рассматривается  подробно.  Вычисление  параметров  приближающих  функций  в  виде  других  элементарных  функций  из  приведенного  списка  сводится  к  нахождению  параметров  линейной  функции.  Выполнение  лабораторных  работ  по  данной  теме  у  студентов  вызывает  живой  интерес.  Индивидуальные  задания  таковы,  что  нужно  найти  все  указанные  уравнения  регрессии,  для  каждой  из  них  вычислить  сумму  квадратов  отклонений,  отметить  лучшую  приближающую  функцию,  наконец,  изобразить  на  графике  исходную  точечную  функцию  и  графики  всех  полученных  элементарных  функций.

Изучение  общей  теории  равномерных  и  среднеквадратических  приближений  для  студентов,  будущих  бакалавров,  программой  не  предусмотрено.  Темы,  связанные  с  указанными  вопросами,  выносятся  на  курсовые  и  дипломные  работы.

Статья  подготовлена  в  рамках  работы  над  проектом  фундаментальных  исследований  №  6.5596.2011  «Педагогический  вуз  в  современном  образовательном  пространстве  России:  проблемы  и  перспективы».

Список  литературы:

1. Бахвалов  Н.С.  Численные  методы  (анализ,  алгебра,  обыкновенные  дифференциальные  уравнения):  учеб.  пособие  для  студентов  вузов  /  Н.С.  Бахвалов.  —  М.:  Наука,  1973.  —  631  с.
2. Вержбицкий  В.М.  Основы  численных  методов  [Текст]:  учеб.  для  студ.  вузов  по  направлению  подготовки  дипломированных  спец.  «Прикладная  математика»  /  В.М.  Вержбицкий.  —  М.:  Высш.  шк.,  2002.  —  840  с.
3. Копченова  Н.В.  Вычислительная  математика  в  примерах  и  задачах  [Текст]  /  Копченова  Н.В.,  Марон  И.А.  —  М.:  Наука,  1972.  —  368  с.