ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ КАК СРЕДСТВО РАЗВИТИЯ У СТУДЕНТОВ ДИВЕРГЕНТНОГО МЫШЛЕНИЯ, ПРОСТРАНСТВЕННОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

TASKS FOR CONSTRUCTING FLAT SECTIONS OF POLYHEDRA AS A MEANS OF DEVELOPING STUDENTS ' DIVERGENT THINKING, SPATIAL REPRESENTATION

Kuanysh Nurpeisov

Master of Pedagogical Sciences, doctoral student of specialty 6D010900-Mathematics, Zhetysu University named after I. Zhansugurov,

Kazakhstan, Taldykorgan

АННОТАЦИЯ

В данной статье обосновано, что при решении задач на построение сечений многогранников студенты и учащиеся не только выполняют построения, применяют аксиомы, свойства планиметрии и стереометрии, но и обучаются дивергентному и алгоритмическому мышлениям, умению логически рассуждать, делать правильные аргументации и умозаключения. Установлено, что решение задач на построение сечений многогранников занимает особое место в процессе формирования пространственного представления и в развитии математических способностей, дивергентного мышления, как студентов, так и школьников. В работе приведены простейшие задачи на построение, которое является основой исследования данной работы.

ABSTRACT

In this article, it is proved that when solving problems for constructing sections of polyhedra, students not only perform constructions, apply axioms, properties of planimetry and stereometry, but also learn divergent and algorithmic thinking, the ability to reason logically, make correct arguments and conclusions. It is established that the solution of problems on construction of sections of polyhedra occupies a special place in the process of formation of spatial representation and in the development of mathematical abilities, divergent thinking, both students and schoolchildren. The paper presents the simplest construction tasks, which is the basis for the study of this work.

Ключевые слова: сечение многогранника, дивергентное мышление, пространственное представление, методика обучения.

Keywords: polyhedron cross-section, divergent thinking, spatial representation, teaching methods.

Введение. В эпоху развития научно-технического прогресса в повседневной жизни человека появляются различные проблемы, которые требует незамедлительного решения. Для эффективного решения этих проблем необходимо развивать мыслительные способности, существенные факторы человеческого мышления. Исследуя вопросы мышления на второй половине 20-века, американский психолог J.P. Guilford обосновал теорию креативности [1, с. 27-31]. Согласно этой теории мышление человека может быть направлено на однозначное решение поставленной проблемы с помощью строго логически построенного алгоритма. Такой процесс мышления называется конвергентным мышлением. С другой стороны, согласно этой же теории Guilfordа мышление человека может быть направлено на рассмотрение множества (многовариатных) решений данной проблемы. Такой подход в решении проблемы называется дивергентным мышлением.

На основе проведенного анализа результатов международного исследования функциональной грамотности 15-летних учащихся PISA-2018, результатов международной оценки компетенций взрослых PIAAC и национальной оценки качества среднего и высшего образования в Республике Казахстан был принят «Государственная программа развития образования и науки Республики Казахстан на 2020 - 2025 годы».

Программа ориентирована на решение ключевых идентифицированных проблем, развитие системы образования и науки для повышения ее конкурентоспособности и приближения к лучшим практикам стран OECD. В рамках этой программы выделены ряд приоритетных задач, из них выделим следующие:

• развитие профессиональных качеств педагогов;
• обеспечение подготовки конкурентоспособных кадров;
• обновление содержание среднего образования.

Выполнение этих задач предполагает активное внедрение деятельностных методов обучения, что обуславливает эффективному формированию и развитию мыслительных способностей школьников. Необходимость формирования и развития у школьников мыслительных способностей, а именно дивергентного, алгоритмического мышления, и пространственного представления вытекает из потребности решения практических задач окружающего мира. Их значение в связи с развитием современного менеджмента, логистики, информационных технологии, машинной математики постоянно возрастает.

Следовательно, обучение математике в вузе следует ориентировать на формирование готовности будущих учителей математики к организации активной деятельности по развитию дивергентного, алгоритмического и пространственного мышления школьников.

В то же время, в процессе изучения математических дисциплин и дисциплин по информационным технологиям часто приходится сталкиваться с тем, что у студентов слабо развито алгоритмическое мышление, скрытое пространственное представление, а в подавляющем большинстве случаев у студентов отсутствуют умения конструировать простейшие алгоритмы и строить пространственные фигуры.

Практика показала, что эти проблемы, прежде всего, являются следствиями не эффективного использования возможности учебных материалов и учебных задач формирующие дивергентное, алгоритмическое мышления и пространственное представление, обучения направленного только на развитие конвергентного мышления. Такое отношение к обучению будущих учителей математики в итоге приведет к тому, что их мыслительная способность, его готовность к эффективной организации мыслительной деятельности школьников будут оставаться на уровне вчерашнего дня и на уровне своего ученика.

В связи с этим, формирование и развитие дивергентного мышления, пространственного представления и навыков алгоритмического мышления у будущих учителей математики является одним из основных требований успешной подготовки будущего учителя математики.

Процессы мышления и пространственного представления изучались многими авторами. В частности в ряде их исследований указаны значимость дивергентного мышления в образовании, науке, экономике и социологии.

Так, например, W.I. O'Byrne, N. Radakovic, T. Hunter-Doniger отмечают, что в математическом образовании дивергентное мышление, креативность могут играть ключевую роль в формировании адаптивного мышления и математических достижений, создании учебных моделей [2]. В своих исследованиях V.K. Chumarina, N.V. Ilina, A.A.  Prishchepa [3] использовала способы развития дивергентного мышления в качестве методов обучения для повышения уровня самоидентификации и межкультурного взаимодействия менталитетов современных студентов. Для создания концепции множественного государства D. Cooper [4] использует дивергентное (множественное состояние) мышления как инструмент управления этим государством. N. Berlin, Jean-L.Tavani и M. Beasancon исследовал связи между успеваемостью и творческими способностями школьников на основе оценки показателей творчества и доказал, что вербальное дивергентное мышление отрицательно предсказывает оценки по большинству из них, тогда как интегративное мышление положительно коррелирует с научными оценками [5].

Вопросы формирования и развития алгоритмического и пространственного мышления представляют собою отдельные самостоятельные проблемы для исследования. Например, в статье R.M. Horbatiuk,  V.V. Kabak [6] определены особенности формирования алгоритмического мышления будущих инженеров-преподавателей в области компьютерных технологий, являющегося важной интеллектуальной частью их профессиональной деятельности.

Однако в этих и других исследованиях не были выделены классы задач, обеспечивающие одновременно способствующее формирование и развитие дивергентного, алгоритмического мышления и пространственного представления у будущих учителей математики.

Исследование показало, что более существенным, в смысле развития дивергентного мышления, пространственного представления и алгоритмического мышления, является отыскание множественного решения и построения алгоритма решения конкретных геометрических задач на построение. Оно ярко проявляется в построении сечении многогранников. Решение задач на построение повышает мотивацию, развивает пространственное представление, сообразительность, дивергентное и алгоритмическое мышление, графическую культуру, политехнические навыки.

Задачи на построение являются основной содержательной частью практикума решения задач по геометрии в вузе и школьного курса геометрии в Республике Казахстан. Как известно, решение таких задач включает в себя следующие этапы: анализ, построение, доказательство и исследование. Анализ и исследование постановки задачи на построение способствует развитию дивергентного и пространственного мышления, а построение и доказательство решения задачи благоприятствуют развитию алгоритмического мышления. Следовательно, задачи на построение играют особую роль в формировании мыслительных способностей, в развитии пространственного представления, как студентов, так и учеников.

Существенный вклад вопросам методики обучения школьников решению задач на построение сечений многогранников внесли В.А. Далингер [7], А.Д. Семушин [8], Н.Ф.Четверухин [9], А.Р. Черняева [10], В.И. Бутырина [11] и др.

Описание проблемы.  Приведем задачу, предложенного будущим учителям математики - студентам 4-го курса вузов РК в 2018 году: «На ребрах куба  даны точки такие, что , ,  Требуется построить сечение куба плоскостью ». Ни один студент не смог обоснованно правильно построить искомое сечение. В этом же году данная задача была предложена и молодым учителям математики общеобразовательных школ и школ для одаренных детей. Результат тот же.

Анализ практики, методики обучения геометрии в вузе и школе показали, что такой результат является последствием того, что обучение решению задач на построение сечений многогранников в вузе, а так же в школе проводятся эпизодически. В дальнейшем, хотя вопросы построения сечения многогранников и появляются в некоторых задачах курса геометрии, преподаватели и учителя в основном эти задачи рассматривают поверхностно. Практика показывает, что одной из главных причин такого негативного отношения учителей математики к решению задач на построение сечений многогранников является отсутствие достаточных знаний по данному вопросу.

Следовательно, формирующие и развивающие возможности этих задач практически преподавателями и учителями не используется.

Таким образом, возникают вопросы поиска новых подходов обучению различным методам решения задач на построение сечений многогранников, формированию и развитию пространственного представления, дивергентного и алгоритмического мышления. Одним из главных подходов такого обучения является конструирование и решение специально подобранных систем упражнений и задач на построение плоских сечений многогранников.

Целью данной работы является разработка методики обучения будущих учителей математики построению плоских сечений многогранников, формирования и развития пространственного представления, дивергентного и алгоритмического мышления в контексте обновленного содержания образования в Республике Казахстан.

Результаты. Сконструируем задачи и рассмотрим вопросы развития пространственного представления и дивергентного мышления обучающихся, на примере решения задач, посвященные построению плоского сечения многогранника.

Пример 1. Дан куб . Необходимо провести плоскость.

А) через вершину

Б) через вершины  и ;

С) через вершины .

Наблюдение и сравнение позволяет по нескольким частным случаем выявить общую закономерность. А именно, студенты убеждаются, что через данную точку, так же через две данные точки можно провести бесконечное множество плоскостей, а через три данные точки можно будет провести одну единственную плоскость. Используя результаты работы, заключаем, что с помощью этого или аналогичного примера можно формировать мотивацию на учение учебных материалов, знания и умения студентов, необходимых для обучения школьников построению сечений многогранников, при этом у студентов развивается пространственное представление, логические приемы мышления (наблюдение и сравнение), дивергентное мышление.

После рассмотренного примера студентам можно предложить задачу на построения сечения многогранника, где секущая плоскость задана тремя разными точками, которые принадлежать различным боковым граням многогранника.

Пример 2. На ребрах куба  даны точки  такие, что  . Постройте плоское сечение куба плоскостью . Докажите, что искомое сечение является параллелограммом.

Студенты, анализируя условия задачи в группе, замечают, что на основании теоремы Фалеса отрезок – сторона искомого сечения и расположена параллельно грани . Теперь, проведем отрезок . Плоскости граней  и параллельны. Тогда, секущая плоскость , проходящая через прямую  пересекает параллельную ей плоскость грани по прямой . При этом, прямая будет параллельна прямой .

Далее, студенты по аналогии доказывают, что прямая  параллельна . Тем самым, студенты убеждаются, что  является искомым сечением и является параллелограммом (Рис.1)

По ходу решения этой задачи, студенты применили известные свойства параллельных плоскостей из школьного курса математики. Этот факт, а так же доступность и разнообразность примеров 1 и 2 свидетельствует о возможности выработки у студентов мыслительных способностей, осознанной потребности в осуществлении педагогической деятельности, мотивации на осознанное учение, на усвоение и применение знаний и умений, необходимых для обучения школьников построению сечений многогранников.

Приведем пример задачи, содержащий элементы творчества, для будущих учителей математики:

Пример 3. На ребрах прямой призмы  следует расположить точки  так, чтобы в результате сечения данного куба плоскостью  получилось пирамида с взаимно перпендикулярными ребрами, с объемом 10 см³. Поставьте вопросы и решите задачу.

К этой задаче можно поставить следующие вопросы:

1) У пирамиды может ли быть ребра взаимно перпендикулярными? Если да, то каким образом можно изобразить данную пирамиду?

2) Если у пирамиды ребра взаимно перпендикулярны, то каким образом можно вычислить объем этой пирамиды?

3) Решение задачи однозначно ли?

После сформулированных этих вопросов студенты легко получают искомое сечение и определяют объем полученной пирамиды.

Далее, можно предложить следующее задание: После завершения решения задачи 3 студентам предлагается сравнить между собой построенные ими сечения и найденные числовые значения объема построенных ими пирамид.    

После выполнения этого задания студенты убеждаются о многозначности решения поставленной задачи. Такая постановка задачи формирует дивергентное мышление, пространственное представление, создает условия для такой мыслительной деятельности как размышления, анализ, обобщения, а так же для развития мотивации к учению и педагогической деятельности.

Пример 4. В прямом параллелепипеде  основание – параллелограмм с острым углом , причем   .   На ребрах данной призмы следует расположить точки так, чтобы в результате сечения данного куба плоскостью  получилась треугольная прямая призма с объемом равный . Поставьте вопросы и решите задачу.

Обращаем внимание студентов на то, что наглядность применяется и как средство познание нового, и для иллюстрации пространственного представления и условий данной задачи. Студенты, иллюстрируя условия задачи, получают изображение, представленное рисунком 2.

К этой задаче можно поставить следующие вопросы:

1) В результате, какого сечения из данного параллелепипеда можно получить треугольную прямую призму?

2) Исходя из площади основания и объема рассматриваемого параллелепипеда как можно расположить точки  так, чтобы в результате сечения получилось треугольная прямая призма с объемом равный ?

Анализируя условие задачи и поставленные вопросы, студенты приходят к выводу, что плоскость  будет изображена как диагональная плоскость, а точки  будет расположены соответственно на вершинах (рис. 3). Тем самым, получаем треугольную прямую призму . Далее, вычисляя площадь основания найденной призмы, находим, что  Тогда объем искомой треугольной прямой призмы будет равен .

Рисунок 3.

Пример 5. Дан прямоугольный параллелепипед , где . На ребрах данного параллелепипеда следует расположить точки  так, чтобы в результате сечения данного параллелепипеда плоскостью  получилась треугольная прямая призма с объемом равный  . Поставьте вопросы и решите задачу.

Сравнивая условия задач 4 и 5, приходим к выводу, что в обеих задачах рассматривается прямая призма, требуется построить сечение, так, чтобы в результате сечения данной призмы плоскостью  получилась треугольная прямая призма с конкретным объемом.

К этой задаче можно поставить следующий вопрос:

Каким образом следует расположить точки , чтобы в результате сечения получилась треугольная прямая призма с объемом ?

Сравнение подготавливает почву для применения аналогии.

Студенты, имея в виду поставленные вопросы, а так же анализируя условия данной задачи, замечают следующее: если точки  соответственно расположены на вершинах данной призмы, а следовательно плоскость  является диагональной плоскостью, то объем искомой треугольной призмы будет равен . Отсюда, студенты заключают, что площадь основания искомой треугольной призмы должен быть меньше площади треугольника .

Далее, анализируя алгоритм решения задачи 2.8, по аналогии студенты приходят к выводу, что плоскость  будет расположена параллельно ребру . Подбирая различные варианты, они находят, что ,  . В этом случае , а плоскость  будет расположена параллельно ребру  (рис 4). Тогда объем искомой прямой треугольной призмы будет равен .

Далее, к этой задаче можно поставить следующий вопрос: Как вы думаете, данная задача разрешима ли единственным образом?

Обобщая полученный результат, студенты легко заключают, что задача имеет множество решений.

Таким образом, приведенные примеры - один из многих иллюстрирующих общие логические приемы мышления, такие как анализ, сравнение, аналогия, обобщение, абстрагирование, связанные с методами построения сечений многогранников. Осознанное решение этих примеров способствуют развитию математических способностей, в частности дивергентного мышления и пространственного представления.

После этого студентам можно предложить задачи, решаемые соблюдением всех этапов решения задач на построение. Как уже было замечено, что решение задач на построение обычно включает этапы: анализ, построение, доказательство, исследование.

Пример 6. Дан квадрат . Требуется построить сечение куба плоскостью, параллельной ребрам  и , и проходящей через фиксированную точку , принадлежащую грани .

Анализ. Пусть - некоторая плоскость. Если в плоскости  две пересекающие прямые параллельны ребрам,и которые (или одна из которых) проходят (проходит) через данную точку , то - искомая плоскость.

Построение. На плоскости грани  построим прямые и , параллельные ребрам и , проходящие через точку (рис.5). Тогда через пересекающие прямые и проходит . На плоскости через точку можно будет построить прямую параллельную . Соединяя точки , получим сечение .

Доказательство. Действительно, прямая  параллельна ребру , прямая параллельна ребру , и проходят через точку . Следовательно, плоскость  проходит через пересекающие прямые и , и через точку их пересечения . Данная плоскость пересекает ребра пирамиды в точках . Тогда  параллельна ребрам ,  и содержит точку . Тогда квадрат  является искомым сечением.

Исследование. Искомая плоскость  и искомое сечение содержит точку  и определяются через пересекающиеся прямые  и  единственным образом.

Исследование показало, что решение таких задач формирует и развивает такие мыслительные операции, как анализ и синтез, аналогия, пространственное мышление.

Заключение. В данной статье установлено, что решение задач на построение сечений многогранников способствует формированию и развитию математических способностей, дивергентного мышления, пространственного представления как у студентов, так и у школьников. В работе приведены сконструированные простейшие задачи на построение, которое является основой исследования данной работы.

Список литературы:

1. Guilford, J.P. Intelligence, creativity their educational implications. - San Diego, California / R. R. Knapp. — 1968. —215 p.
2. O'Byrne, W. I., Radakovic, N. & Hunter-Doniger, T. Designing Spaces for Creativity and Divergent Thinking: Pre-Service Teachers Creating Stop Motion Animation on Tablets // International Journal of education in Mathematics science and Technology. -2018. -№ 6(2), -P. 182-199. DOI: 10.18404/ ijemst.408942
3. Chumarina, V. K., Ilina, N.V. & Prishchepa, A.A. Designing of Holidays as an Effective method of ethnic cultural influencing on the mentality of modern students which learn fine arts in universities // Turkish online Journal of Design art and Communication. -2017.- № 7.- P. 1587-1596. DOI: 10.7456/1070DSE/135
4. Cooper, D. Prefiguring the State // Antipode .49(2). 335-356. DOI: 10.1111/anti.12277.
5. Berlin, N., Tavani, Jean-L. & Beasancon M. An exploratory study of creativity, personality and schooling achievement // Education Economics. - 2016. - №24(5), - P. 536-556. DOI: 10.1080/09645292.2015.1117580
6. Horbatiuk, R. M. & Kabak, V. V. The use an Information System Algostudy for Algorithmic thinking formation of Future Engineer-Teachers in the Field of Computer technologies // Information technologies and Learning Tools. – 2019. -№ 69(1), 124-138. DOI: 10.33407/itlt.v69i1.2385
7. Далингер, В.А. Геометрия: Стереометрические задачи на построение [Текст]: учеб. пособие/ В.А. Далингер. —Москва: Изд-во Юрайт, — 2018. —189 с.
8. Семушин, А.Д. Методика обучения геометрическим построениям в курсе стереометрии [Текст]: учеб. пособие/ А. Д. Семушин —М.: Изд-во АПН РСФСР. – 1952. —160 с.
9. Четверухин, Н.Ф. Стереометрические задачи на проекционном чертеже [Текст]: учеб. пособие/ Н.Ф. Четверухин — 2-е изд. — М.: Учпедгиз. -1952. — 128с.
10. Черняева, А.Р. Задачи на построение сечений многогранников как средство развития пространственного мышления в курсе геометрии [Текст]: методическое пособие/ А.Р.Черняева — Омск: Изд-во ОмГПУ. – 2003.- 48 с.
11. Бутырина, В.И. Обучение построению сечений как средство развития пространственного представления на уроках стереометрии // Наука и школа.- 2012.- №3.-С.86-89. [Электронный ресурс]. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/obuchenie-postroeniyu-secheniy-kak-sredstvo-razvitiya-prostranstvennogo-predstavleniya-na-urokah-stereometrii/viewer (дата обращения: 07.01.2020).