ЗНАКОМСТВО С ФРАКТАЛАМИ НА ЗАНЯТИЯХ ПО ВНЕУРОЧНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ В СТАРШИХ КЛАССАХ. ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ ИТЕРИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ ГЕНЕРАЦИИ ИЗОБРАЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ КЛАССОВ ПРИРОДНЫХ ОБЪЕКТОВ

В последнее время большое распространение получили фракталы. Фрактал (лат. fractus ‒ дробленый) ‒ термин, означающий геометрическую фигуру, обладающую свойством самоподобия, то есть составленную из нескольких частей, каждая из которых подобна всей фигуре в целом.

Основоположник фракталов Б. Мандельброт изучал различные процессы, возникающие в ходе решения многих практических задач. Его книга «Фрактальная геометрия природы», вышедшая в 1983 г открыла новые горизонты геометрии. В ней автор писал: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака – это не сферы, горы – это не конусы, линии берега – это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой…» Природа демонстрирует нам не просто более высокую ступень понимания мира, а совсем другой уровень его сложности.

Фракталы, несмотря на их «молодость», могут быть использованы в процессе повторения и закрепления школьниками принципов работы с векторами на базе координатного метода и могут стать прекрасной площадкой для интеграции математики и информатики.

Подобные занятия удобно организовать во внеурочной деятельности в 10 или 11 классах. К этому времени школьники должны уметь складывать векторы, заданные координатами и знать методы определения координат точек с использованием векторов, основы расчета по рекуррентным формулам. Из курса информатики необходимо знакомство с методами программирования на каком-либо языке. А для построения фракталов подойдет, например, IFS Builder 3d ‒ программа для построения 3-мерных множеств фрактальными методами. Распространяется свободно (http://fractals.nsu.ru/). Проста в использовании.

Занятия целесообразно строить по схеме: 1) обзор свойств геометрических фракталов; 2) определение первого или двух первых шагов в построении фрактальной кривой; 3) разработка рекуррентных формул для расчета координат вершин фрактала; 4) программирование и построение фрактальной кривой.

Рассмотрим в качестве примера такое фрактальное множество, как салфетка Серпинского. Строится оно следующим образом. За начальное множество берется правильный треугольник , для определенности со стороной равной 1. Обозначим его .

Шаг 1. В треугольнике  проводятся средние линии  разбивающие его на четыре равновеликих треугольника. Внутренность треугольника  выбрасываем из множества . Получаем новое множество . Шаг 2. В треугольниках  проводим средние линии (на рисунке они красного цвета).

Рисунок 1. Первые шаги построения салфетки Серпинского

Выбрасываем из множества  внутренности следующих множеств:  Получаем новое множество .

Рисунок 2. Убрали внутренности средних треугольников

Продолжая такой процесс до бесконечности, получим нужное нам   множество ‒  салфетку Серпинского.

Определение. Салфеткой Серпинского называется множество .

Оказывается, данное множество легко описывается всего тремя линейными преобразованиями. А именно:

Причем, применение данных преобразований к произвольному начальному множеству, будь то квадрат, круг и даже просто точка по теореме о сжимающих отображениях в пределе всегда будет давать салфетку Серпинского. Данные три преобразования полностью определяют данное множество.

Эта идея лежит в основе фрактального моделирования. Авторство идеи принадлежит британскому математику Майклу Барнсли, именно он в начале 80-х годов выдвинул идею получения заранее заданного изображения как аттрактора хаотического процесса. Суть его в следующем. Пусть задано определенное изображение. Можно ли построить хаотическую систему, для которой данное изображение будет являться странным аттрактором? Барнсли использовал специальную систему отображений, которые он назвал системой итерируемых функций (Iterated Function System - IFS).

Изображение, которое является единственной неподвижной точкой IFS, называется аттрактором IFS. «Точка» – это компактное множество в  , представляющее двоичное изображение. Любое изображение, может быть получено как аттрактор некоторой системы итерируемых функций. Существуют алгоритмы фрактального сжатия изображений, позволяющие подобрать к заданному изображению подходящие функции. В качестве функций будем использовать аффинные преобразования: параллельный перенос, поворот и масштабирование.

Параллельный перенос определяется следующими формулами:

,

где (x, y) - координаты точки объекта до преобразования, (x', y') - координаты точки объекта после преобразования. (Рис.3).

Рисунок 3. Параллельный перенос

Матрица параллельного переноса следующая:

.

Поворот объекта описывается формулами:

,         

где (x, y) - координаты точки объекта до преобразования, (x', y') - координаты точки объекта после преобразования. (Рис. 4).

Рисунок 4. Поворот

Матрица поворота имеет вид:

.

Масштабирование (растяжение/сжатие объекта):

,

где (x, y) - координаты точки объекта до преобразования, (x', y') - координаты точки объекта после преобразования.

В программе IFS Bulder 3d аффинные преобразования описываются командами translate (х, y, z) ‒ параллельный перенос по осям  х, y, z соответственно, rotate (x, y, z) ‒ поворот, scale ‒ сжатие.

Опишем подходы к фрактальному моделированию изображений снежинок и береговых линий. Для  визуализации будем пользоваться программой IFS Builder 3d, о которой говорилось выше.

1.Снежинки. Снежинки и кристаллы представляют собой самоподобные структуры, которые повторяют себя в нескольких избранных направлениях. Рассмотрим пример построения снежинки с четырьмя лучами.

В качестве начального множества возьмем ромб с диагоналями равными 2. Сдвинем его по оси y на 1. (Рис. 5).

Рисунок 5. Сдвинули ромб по оси y на 1

Далее сжимаем ромб по оси x с коэффициентом 0.3, и по оси y с коэффициентом 0.5, и поворачиваем относительно начала координат на  по часовой стрелке. (Рис. 6).

Рисунок 6. Сжали и повернули ромб относительно начала координат

В результате данных преобразований получили систему итерируемых функций:

Код программной реализации в IFS Builder 3d выглядит так:

camera        position (0,0,-2) direction(0,0,1) vertical(0,1,0) fov(50);

light color (2,2,2)  position (1, 1,-3) shadows(0);

light color (2,20,2) position (3,-1,-1) shadows(0);

ambient(0,0.1, 0.5);

background(1,1,0,0.2);

f1:=rotate(0,0,1,0)*scale(0.3,0.5,0)*translate(0,1,0);

f2:=rotate(0,0,1,90)*scale(0.3,0.5,0)*translate(0,1,0);

f3:=rotate(0,0,1,180)*scale(0.3,0.5,0)*translate(0,1,0);

f4:=rotate(0,0,1,270)*scale(0.3,0.5,0)*translate(0,1,0);

build sn=(f1+f2+f3+f4)sn;

В результате получаем вот такую снежинку:

Рисунок 7. Снежинка, построенная в IFS Builder 3d

Замечание. Коэффициенты сжатия выбраны не случайно. Изображение,  полученное после отображений  , имеет приблизительно тот же размер, что и исходное.

Рисунок 8. Размер изображения, полученного после применения СИФ, не превышает исходного размера

Итак, мы построили снежинку с четырьмя лучами. Так же можно построить снежинки с произвольным количеством лучей.

2. Береговые линии. В природе береговые линии отличаются формой рельефа, множеством различных изломов и изогнутостью линий. Попробуем построить береговую линию с помощью IFS.

Для начала выберем основу построения береговой линии как некоторую ломанную кривую. В дальнейшем это будет контур линии, если на нее смотреть издалека.

Рисунок 9. Первый шаг построения береговой линии

Теперь по полученной линии, можем рассчитать коэффициенты сжатия и соответствующие углы наклона, используя теорему Пифагора.

После расчетов получаем, что  представляет собой композицию сжатия с коэффициентом  по оси x и с коэффициентом  по оси y, и поворота  на  относительно начала координат.  есть композиция сжатия с теми же коэффициентами, поворота  на  относительно начала координат и  переноса на  по оси x и на  по оси y.  - это композиция сжатия с теми же коэффициентами, поворота  на  относительно начала координат и  переноса на  по оси x.   представляет собой композицию сжатия с коэффициентом  по оси x и с коэффициентом  по оси y,  поворота  на  относительно начала координат и переноса на   по оси x и на    по оси y.

Получаем IFS:

Код программы в IFS Builder 3d имеет вид:

camera        position (0.5,0,-1) direction(0,0,1) vertical(0,1,0) fov(50);

light  color (2,2,2) position (1, 1,-1);

light  color (2,20,2) position (3,-1,-1);

ambient(0,0.1, 0.5);

background(1,1,0,0.2);

y=sqrt(5)/8;

f1:=rotate(0,0,1,26.6)*scale(y,1/3,0);

f2:=translate(1/4,1/8,0)*rotate(0,0,1,-26.6)*scale(y,1/3,0);

f3:=translate(1/2,0,0)*rotate(0,0,1,-26.6)*scale(y,1/3,0);

f4:=translate(3/4,-1/8,0)*rotate(0,0,1,26.6)*scale(y,1/3,0);

build ber=(f1+f2+f3+f4)ber;

В результате получаем береговую линию:

Рисунок 10. Береговая линия

Список литературы:

1. Даурцева, Н. А. Практический курс фрактальной геометрии / Н. А. Даурцева.- Кемерово: Кузбассвузиздат, 2008.-130с.
2. Морозов, А. Д. Введение в теорию фракталов / А. Д. Морозов.- М.- Ижевск: ИКИ, 2004.-160 с.
3. Уэлстид, С. Фракталы и вейвлеты для сжатия изображений в действии / С. Уэлстид. – М.: Триумф, 2003. - 320 с.