ДИНАМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ АСИММЕТРИЧНЫХ МАТРИЦ СХОДСТВА/РАЗЛИЧИЯ: ВАЛИДИЗАЦИЯ НА МОДЕЛЬНЫХ ДАННЫХ

Бабич Николай Сергеевич

канд. социол. наук, научный сотрудник Института социологии РАН, г. Москва

Батыков Иван Владимирович

канд. социол. наук, научный сотрудник Института социологии Ран, г. Москва

E-mail: mihkost@mail.ru

Большинство алгоритмов многомерного шкалирования рассчи­таны на использование симметричной матрицы близостей (сходств или различий), в которой выполняется условие равенства расстояний между точками, независимо от направления перехода d(a,b)=d(b,a). Однако существует множество ситуаций, когда это условие нарушается. Сюда относятся социометрия, исследования товаро­оборота между странами, взаимного цитирования, социальной мобильности, переключения между брендами и т. п. Очевидно, что различия в цитировании друг друга парой научных журналов могут нести важную информацию об относительном статусе этих журналов. Таким образом, специальное изучение асимметрии дистан­ционных матриц представляет интерес, по крайней мере, в случае неравноправных социальных отношений. В связи с этим, был предложен ряд моделей асимметричного многомерного шкалирования, обзор которых представлен, например, в работе [Cox & Cox, 2001]. В данной работе будет предложена очень простая интерпретация асимметричных матриц, позволяющая применять к ним классические алгоритмы неметрического многомерного шкалирования. На модельных данных будет показана валидность этой интерпретации.

Предположим, что асимметрия расстояний возникает из‑за неоднородности пространства, в котором они измеряются. Это легко себе представить на примере машины, едущей в гору (рис. 1).

Рисунок 1. Пример неоднородного пространства

Для того чтобы преодолеть расстояние x, ей необходимо затратить время t(x), причем t(x(a,b))=t(x(b,a)). Но, в случае движения автомобиля по наклонной плоскости, при одинаковой силе тяги, t(z(a,b))>t(z(b,a)). Поскольку в измерении y действует гравитационное поле. Если бы мы захотели использовать время прохождения пути z в качестве меры расстояния между a и b, то получили бы асимметричную матрицу из двух элементов t₁ и t₂. Первый из них превосходил бы второй, поскольку t₁=t+Δ, а t₂=t-Δ, где t — это время прохождения без учета силы тяжести, а Δ — поправка на эту силу. Очевидно, что t=(t₁ + t₂)/2, а Δ=(t₁ – t₂)/2. Это соответствует разложению матрицы расстояний на симметричный и несиммет­ричный компоненты (оба из которых являются симметричными матрицами), предложенному в работе [Constantine & Gower, 1978]. Очевидно также, что Δ монотонно связана с расстоянием y, а t — с расстоянием x. Из этого следует, что симметричный компонент может быть подвергнут неметрическому многомерному шкалированию, и аналогичную процедуру можно осуществить с асимметричным компонентом. Получившиеся во втором случае измерения могут быть интерпретированы как пространство, в котором действуют силовые поля.

Предлагаемый нами подход можно резюмировать следующим образом:

1.Необходимо разложить асимметричную матрицу на симмет­ричный и несимметричный компоненты.

2.Подвергнуть симметричный компонент многомерному шкалированию с помощью одного из неметрических алгоритмов.

3.Подвергнуть несимметричный компонент многомерному шкалированию с помощью одного из неметрических алгоритмов.

4.Совместить результаты шкалирования симметричного и несимметричного компонентов в одном пространстве.

5.Интерпретировать измерения симметричного компонента как свободные от силовых полей, несимметричного компонента — как динамические измерения.

Для того, чтобы проверить валидность предложенной интер­претации, расширим наш простой пример с двумя точками. На рисунке 2 представлен путь, который необходимо преодолеть автомобилю при движении из пункта 1 в пункт 10 и обратно. Начальная скорость автомобиля в каждой точке равна нулю.

Рисунок 2. Неоднородное пространство с множеством точек

Углы склонов, обозначенные на рисунке, составляют соответ­ственно, 43°, –40°, 48°, –39°, 42°, –46°, 45°, –49°, 38°. Высоты точек равны 500, 1000, 300, 1500, 200, 3000, 600, 2100, 400 и 4500 метров. Масса автомобиля m=1500 кг, сила тяги F=15*10³H, g=9,82 м/с². Согласно второму закону Ньютона, ускорение при подъеме вычисляется по формуле

ускорение при спуске по формуле

Время, затрачиваемое на прохождение одного склона, определяется следующим образом:

где   s — длина склона.

Произведя вычисление времени прохождения автомобиля между всеми точками в одну и другую сторону, мы получили асимметричную матрицу временных затрат:

Таблица 1.

Асимметричная матрица временных затрат

Проанализируем эту таблицу с помощью предложенного выше подхода. Для этого разложим матрицу на симметричный и асимметричный компоненты. По отношению к каждому компоненту используем алгоритм неметрического многомерного шкалирования ALSCAL, реализованный в пакете SPSS 11.5. В настройках программы зададим простую евклидову модель и ординальный уровень измерения. Размерность пространства в каждом случае определим равной единице (поскольку мы знаем, что это истинная размерность).

Зададимся дополнительными критериями оценки соответствия полученного решения исходным данным. Поскольку мы моделируем неоднородное пространство, первое требование, которому должен удовлетворять результат обработки — сохранение структурных особенностей этой неоднородности. То есть, на графике многомерного шкалирования должны быть четко различимы возвышенности и провалы, которые есть на модельном графике. Необходимо, чтобы сохранились отношения между точками, находящимися на одном склоне: вершина холма должна остаться вершиной, а подножие — подножием. Неоднородность пространства социальных объектов обычно формирует какую-то их иерархию. Поэтому второй дополнительный критерий — соотношение высот холмов.

В таблице 2 представлены координаты точек, выведенные из матриц симметричного и несимметричного компонентов.

Таблица 2.

Координаты точек в двух измерениях

На рисунке 3 на основе этих координат изображен путь, восста­новленный с помощью данных о времени прохождения автомобиля между точками.

Для обеих матриц Stress и S-Stress оказались меньше одной тысячной, а коэффициент RSQ достиг единицы. Это говорит о высоком качестве полученной модели, но не является важным критерием, поскольку исходные данные имели физическую природу, а значит, обладали высоким качеством изначально. Гораздо более существенным представляется тот факт, что в решении полностью сохранена структура неоднородности пространства, иными словами, долины остались долинами, а холмы — холмами. В то же время, иерархия вершин оказалась несколько изменена: самая высокая, десятая точка стала лишь второй по высоте. Но, поскольку остальные вершины сохранили свой порядок, а нижние точки как были, так и остались примерно на одном уровне, интерпретация полученного решения не сильно отличалась бы от интерпретации истинного исходного пространства. 

Рисунок 3. Неоднородное пространство с множеством точек, восстановленное по асимметричным данным

Итак, можно говорить о формальной корректности предложенного нами динамического подхода к интерпретации асимметричных матриц близости. Этот вывод открывает некоторые новые возможности использования многомерного шкалирования в разработках, следующих в русле так называемой «теории поля», которая связывает концепцию социального пространства с концепцией социальных сил [1].

Список литературы:

1.Martin J.L. What Is Field Theory? American Journal of Sociology, 2003, 109 (1): 1—49.

2.Конец формы начало формы Constantine, A.G. & Gower, J.C. Graphical representation of asymmetric matrices. Journal of the Royal Statistical Society: Series C (Applied Statistics), 1978, 27 (3): 296—303.

3.Cox T.F. & Cox M.A. A. Multidimensional scaling (2nd ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall/CRC, 2001.