МЕТОД ЛИНЕАРИЗАЦИИ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ АНАЛОГО-ЦИФРОВОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ, ОСНОВАННЫЙ НА МЕТОДЕ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

Панюков Алексей Геннадьевич

Магистр, аспирант кафедры «Системы Передачи Информации»,

Омский Государственный Университет Путей Сообщения, г. Омск

e-mail: panukov_ag@mail.ru

METHOD OF LINEARIZATION OF THE TRANSMITTING CHARACTERISTIC OF THE ANALOG-TO-DIGITAL CONVERTER, BASED ON THE LEAST-SQUARES METHOD

Alexey Panyukov

Master, post-graduate of «Information Transmitting Systems» chair of

Omsk State Transport University, Omsk

Аннотация

В данной работе рассматривается метод линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей, основанный на методе наименьших квадратов. Дается метод, его обоснование и способы реализации. Выводятся соотношения, позволяющие с легкостью находить оценку нелинейности аналого-цифрового преобразователя, строить алгоритмы по снижению указанной нелинейности. Также приводятся результаты моделирования данной методики в среде Matlab.

Abstract

In this paper is considered the method of a linearization of the transmitting characteristic of the analog-to-digital converters, based on a method of least squares. The method, its justification and ways of realization is described. The formulae allowing finding an assessment of nonlinearity of an analog-to-digital converter are deduced, to build algorithms on decrease the specified nonlinearity. Also results of model operation of this technique in the environment of Matlab are given.

Ключевые слова: аналого-цифровой преобразователь; АЦП; дискретизация; интегральная нелинейность; дифференциальная нелинейность; метод наименьших квадратов; МНК; линеаризация; передаточная характеристика.

Keywords: analog-to-digital converter; ADC; digitization; integral nonlinearity; differential nonlinearity; method of least squares; linearization; transmitting characteristic.

Идеальный аналого-цифровой преобразователь имеет линейную характеристику преобразования [1]. Реальные аналого-цифровые преобразователи обладают нелинейной характеристикой, описываемой такими параметрами, как дифференциальная и интегральная нелинейности [3, 5].

В данной работе рассматривается метод линеаризации характеристики преобразования, базирующийся на методе наименьших квадратов [2].

Суть метода заключается в оценке спектрального состава отклика аналого-цифрового преобразователя на некоторый тестовый сигнал.

Введем следующие обозначения:

·     x_i – последовательность отсчетов некоторого сигнала на выходе аналого-цифрового преобразователя.

·     x_i^’ – последовательность исходных значений сигнала (до обработки аналого-цифровым преобразователем) – считаем, что его параметры нам известны.

·     y_i – последовательность оценок сигнала искомой моделью.

Применение данного метода позволяет найти аппроксимацию нелинейной характеристики АЦП в виде полинома по степеням текущей выборки сигнала:

                                                                                         1

Исходя из модели передаточной характеристики , можно сделать вывод, что последовательность оценок сигнала искомой моделью можно выразить соотношением :

                                                                                             2

то есть модель – полином на базе истинных значений сигнала.

Метод наименьших квадратов заключается в минимизации функции, равной сумме квадратов разностей между значениями модели и процесса, описываем искомой моделью. Разности для нахождения такой функции описываются соотношением :

                                                                                                   3

Сама функция, которую необходимо минимизировать, описывается соотношением :

                                                                                                   4

Используя соотношение можно переписать в виде:

                                                           5 

Примем, что нам известны параметры тестового сигнала. Неизвестными параметрами являются коэффициенты разложения нелинейной передаточной характеристики .

Таким образом, задавая тестовый сигнал и регистрируя отклик системы, мы можем вычислить параметры модели. Для этого, согласно методу наименьших квадратов, приравняем к нулю производные функции S по коэффициентам a_k.

                                                              6

Упрощая данное выражение, получаем:

                                                                        7

Таким образом, имеем систему алгебраических линейных уравнений относительно коэффициентов модели a_k. Данная система легко решается методом последовательных приближений либо методом Ньютона. В качестве начального приближения можем выбрать вектор

                                                                                                   8

где  - символ Кронекера:

                                                                                             9                       

Так же решается точно методом Гаусса. Для этого упростим систему уравнений, раскрыв скобки и сгруппировав подобные слагаемые:

обозначим для простоты:

                                                                                         10

В итоге получаем простую систему уравнений:

                                                                                       11

где E_k,j и R_j не зависят от искомых параметров.

Таким образом, выделим основные шаги для реализации данного линеаризации передаточной характеристики аналого-цифровых преобразователей:

·Исходя из параметров АЦП, определяется необходимый порядок полинома, аппроксимирующего характеристику преобразования, m.

·На вход аналого-цифрового преобразователя подается некоторый заранее известный пробный сигнал.

·Используя соотношения , находится система уравнений для нахождения аппроксимирующей модели.

·Полученные коэффициенты используются для вычисления значений входного сигнала в рабочем режиме.

Для иллюстрации результатов, которые могут быть получены с применением описанной методики, зададим нелинейную характеристику преобразования в виде:

                                                                             12

На рисунке 1 изображены характеристики в идеальном случае (пунктирная линия) и при нелинейности, описываемой соотношением (сплошная линия).

Рисунок 1. Характеристики преобразования идеального (пунктирная линия) и реального (сплошная линия) АЦП.

В качестве тестового сигнала использовался моногармонический радиоимпульс и линейно нарастающий сигнал, охватывающие весть динамический диапазон аналого-цифрового преобразователя.

Была исследована точность восстановления параметров нелинейного АЦП при различных разрядностях АЦП. В таблице1 представлено максимальное относительное отклонение найденных параметров модели от исходных для различных значений разрядности аналого-цифрового преобразователя.

Таблица 1.

Результаты моделирования метода линеаризации

Из полученных результатов можно сделать вывод, что предлагаемый метод позволяет оценивать и устранять нелинейности аналого-цифровых преобразователей. Его использование может помочь расширить динамический диапазон существующих АЦП.

Список литературы:

1.Бондарь М. С. Повышение Точности Процесса Аналого-Цифрового Преобразования. Материалы IV Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Научный потенциал студенчества в XXI веке» Том первый. Естественные и технические науки. Ставрополь: СевКавГТУ, 2010. – 582 с.

2.Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ. Множественная регрессия. 3-е изд. – М.: Диалектика, 2007. – С. 912.

3.Сергиенко А. Б. Цифровая обработка сигналов. – СПб.: Питер, 2002. – 604 с

4.Melkonian L. Improving A/D Converter Performance Using Dither. USA: National Semiconductor, 1992. – 32 c.

5.Widrow B., Kollár I. Quantization Noise, Roundoff Error in Digital Computation, Signal Processing, Control, and Communications. – Cambridge: Cambridge University Press, 2008. – 752 c.