МОДАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДЛЯ СЛЕДЯЩЕЙ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

MODAL CONTROL FOR ELECTROMECHANICAL SERVO SYSTEM

Dana Satybaldina

candidate of technical sciences, assistant professor of Department of System analysis and control, L.N. Gumilyov Eurasian National University,

Kazakhstan, Astana

Irina Yevtushenko

undergraduate of specialty “Automation and control”, Department of System analysis and control, Faculty of information technologies, L.N. Gumilyov Eurasian National University,

Kazakhstan, Astana

АННОТАЦИЯ

В работе будет проектироваться модальный регулятор для следящей системы с присутствием в ней явления механической упругости. Будет произведен анализ чувствительности показателей качества динамики системы к параметрическим возмущениям.

ABSTRACT

In the article will be projected modal control for a servo system in which there is the phenomenon of mechanical elasticity. Analysis of the quality indicators of the sensitivity of the system dynamics will be made to the parametric perturbations.

Ключевые слова: системы управления; модальное управление; модальные регуляторы.

Keywords: control systems; modal control; modal regulator.

Линейный одномерный объект управления  задан дифференциальным уравнением n-го порядка в операторном виде (1).

Регулятор  будем искать в виде динамического звена n-го порядка:

где:  – входной (программный) сигнал для замкнутой системы.

Уравнение управления задается эталонной моделью (или, сокращенно – эталоном):

Приравнивая, соответственно, левые и правые части уравнений получаем соотношения:

Данные уравнения понимаются в смысле равенства коэффициентов при одинаковых степенях оператора  в левой и правой частях. Поскольку свойство устойчивости и качество управления определяется полюсами передаточной функции [2] (или, что то же самое, корнями характеристического уравнения) особое значение имеет обеспечение условия (4).

Приравнивая в (4) коэффициенты при одинаковых степенях  получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов полиномов  и ; разумно данную систему уравнений по возможности упростить: полагая  (с учетом  из уравнения при старшей степени  получаем , в итоге приходим к системе из  уравнений относительно  неизвестных. Рассмотрим, когда такая система имеет решение.

Из сказанного вытекает следующее условие разрешимости данной системы относительно неизвестных:

откуда следует условие на порядок  регулятора (здесь учтено условие ):

Модальные регуляторы порядка

следуя [7] будем называть регуляторами полного порядка. Такое название подчеркивает тот факт, что обеспечить точное равенство в (4) при  возможно только в каких-то частных случаях, в общем же случае невозможно. Для регуляторов полного порядка система расчетных уравнений принимает вид:

где:  – вектор искомых коэффициентов регулятора

 - матрица,

(9)

(при условии .

Подводя итоги ранее сказанному, приходим окончательно к следующей процедуре расчета настроек регулятора (2).

Чтобы обеспечить «оптимальное» протекание реакции системы на ступенчатый единичный входной сигнал в литературе предлагались различные способы распределения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости [3]. Каждое такое стандартное распределение соответствует определенному виду передаточной функции системы, которая получится в результате расположения корней характеристического уравнения в соответствии с этим выбранным стандартным распределением. Стало быть, и качество управления по существу обеспечивается выбором расположения корней характеристического уравнения. При этом не стоит забывать, что динамические характеристики системы (переходный процесс) зависят не только от расположения полюсов передаточной функции на комплексной плоскости, но и от расположения ее нулей [4]. Следовательно, применяя модальный регулятор, мы всегда можем обеспечить устойчивость замкнутой системы, но не можем в точности гарантировать прямые показатели качества регулирования (например, заданные перерегулирование и время переходного процесса).

Ниже, в качестве иллюстрации приведем основные стандартные распределения полюсов передаточной функции и соответствующие графики переходных процессов (при единичном коэффициенте усиления). Во всех полиномах принимается, что  – быстродействие, при этом время переходного процесса  для системы связано с быстродействием следующим соотношением: .

Биномиальное распределение

Самый простой способ заключается в назначении всех корней характеристического уравнения в одной точке с координатами

где:  на комплексной плоскости; значение  определяется требованиями к быстродействию системы (чем больше , тем меньше время регулирования). Тогда характеристический полином обращается в бином Ньютона , раскрывая который, получаем следующие выражения для характеристического полинома:

и т. д. Соответствующие расположение корней характеристического уравнения и графики переходных процессов показаны на рисунке 1.

Биномиальное распределение применяется в тех случаях, когда необходимо обеспечить монотонный переходный процесс [1].

Распределение Баттерворта

Способ, предложенный Баттервортом, заключается в назначении корней на полуокружности радиуса  в левой части комплексной плоскости, расположенных на равном угловом расстоянии друг от друга. С помощью теоремы Виета, связывающей корни с коэффициентами можно составить уравнения для характеристического полинома.

Рисунок 1. Расположение корней характеристического уравнения и поведение переходных процессов для биномиальной схемы

Ниже приводятся выражения соответствующих характеристических полиномов с первого по пятый порядок включительно:

Реакции систем Баттерворта (рисунок 2) на ступенчатое воздействие по сравнению с аналогичными реакциями биномиальных систем более колебательны, но во многих случаях они соответствуют интуитивному представлению об оптимальном переходном процессе.

Рисунок 2. Расположение корней характеристического уравнения и поведение переходных процессов для схемы Баттерворта

Интегральный показатель качества  (квадрат ошибки)

Следующий способ заключается в выборе коэффициентов характеристического полинома из условия минимума среднеквадратической ошибки:

здесь  – квадрат сигнала ошибки (разность входного и выходного сигналов). Данный критерий позволяет в комплексе минимизировать такие показатели как длительность переходного процесса, амплитуду и частоту колебаний ошибки, не гарантируя каких-то заданных значений для этих характеристик по отдельности [5; 6]. Ниже приводятся выражения для характеристических полиномов с первого по пятый порядок, полученные из критерия :

Список литературы:

1. Борцов Ю.А., Второв В.Б. Математические модели и алгебраические методы расчета автоматизированных систем. учеб. пособие. ЭТИ. СПб, 1992. – 67 с.
2. Борцов Ю.А., Поляхов Н.Д., Путов В.В. Электромеханические системы с адаптивным и модальным управлением. – Л.: Энергоатомиздат, 1984. – 30 с.
3. Второв В.Б., Акаемов А.С. Исследование робастных свойств систем с модальным управлением: учеб. пособие. СПб, 2010. – 32 с.
4. Гудвин Г.К. Проектирование систем управления. – М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2004. – 911 с.
5. Дьяконов В.П. Matlab 6.5 SP1/7+Simulink 5/6 в математике и моделировании. – М.: СОЛОН – Пресс, 2005. – 576 с.
6. Мирошник И.В. Теория автоматического управления. Линейные системы. СПб, 2005. – 336 с.
7. Паршуков А.Н. Методы синтеза модальных регуляторов: учеб. пособие. Тюмень, 2008. – 57 с.