РЕШЕНИЕ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НА ОСНОВАНИИ АЛЬТЕРНИРУЮЩЕГО МЕТОДА ШВАРЦА С ПРИМЕНЕНИЕМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА

SOLUTION OF CONTACT PROBLEMS OF ELASTICITY BASED ON SCHWARZ ALTERNATING METHOD USING SECOND ORDER FINITE ELEMENTS

Maxim Yakovlev

Ph.D., assistant professor, Moscow State Technical University,

Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В настоящей работе рассматриваются особенности численного моделирования упругого деформирования двухмерных твёрдых тел с учётом контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца. Моделирование производится в рамках метода конечных элементов с применением элементов второго порядка. Предложен метод аппроксимации силовых граничных условий. Он состоит в приравнивании интегралов от распределённых нагрузок на контактной поверхности после каждой кинематической итерации. Для иллюстрации алгоритма проанализировано напряжённо-деформированное состояние контактирующих упругих пластин.

ABSTRACT

This paper deals with the features of numerical modeling of the elastic deformation of two-dimensional solids with allowance of contact interaction on the basis of the Schwarz alternating method. Finite element method with elements of the second-order is used for the modeling. The method for approximating force boundary conditions is proposed. It consists of finding the distributed loads on the contact surface after each kinematic iteration and equating the integrals of these loads. The stress-strain state of contacting elastic sheets is analyzed for the illustration of the algorithm.

Ключевые слова: контактное взаимодействие упругих тел; метод конечных элементов; элементы второго порядка; итерационное решение; метод Шварца.

Keywords: contact interaction of elastic bodies; finite element method; elements of the second order; the iterative solution; Schwartz method.

Стремление к увеличению качества и долговечности конструкций приводит к необходимости совершенствования методов расчёта при проектировании, чтобы возможно более полно отразить особенности условий их работы. Изучение силового взаимодействия деталей машин составляет специальный класс задач теории упругости — так называемые контактные задачи, аналитические решения которых получены лишь для тел и контактирующих поверхностей достаточно простой формы в связи со сложностью указанных задач. Поэтому контактные задачи для областей, имеющих сложную геометрическую форму, решаются при помощи большого количества различных методов, в том числе метода конечных элементов (МКЭ). Известно, что во многих приложениях, например, при учёте эффектов ползучести, требуется применение элементов второго порядка.

В данной работе описывается алгоритм решения контактной задачи механики деформируемого твёрдого тела в условиях контактного взаимодействия, базирующийся на альтернирующем методе Шварца.

Пусть два изотропных и однородных линейно-упругих тела A и B занимают в двухмерном евклидовом пространстве области  и  c кусочно-гладкими границами  и  соответственно. Математическая постановка упругой задачи механики деформируемого твёрдого тела в этом случае включает:

уравнения равновесия

 ;                          (1)

определяющие уравнения

;                                                           (2)

соотношения Коши

;                 (3)

силовые и кинематические граничные условия

 ;                       (4)

,                                (5)

где  – вектор напряжений,  – вектор перемещений,  – вектор деформации, D – матрица Гука,  – компоненты заданной на поверхности  распределённой нагрузки ,  – вектор заданных перемещений поверхности .

Пусть тела A и B находятся в состоянии контактного взаимодействия. Тогда на поверхности контакта  без учёта трения должны быть выполнены дополнительные контактные условия сопряжения соответственно по перемещениям и по напряжениям

                                               (6)

,                                          (7)

где ,  – нормальные перемещения граничных точек;  – нормальное расстояние между граничными точками в недеформированном состоянии; ,  – нормальные составляющие поверхностных сил. Здесь все векторы спроецированы на внешнюю нормаль к контактной поверхности тела B.

Численное решение задачи теории упругости (1) – (5) находится с помощью метода конечных элементов [1, с. 142]. Контактная задача теории упругости (1) – (7) в данной работе решается при помощи алгоритма, основанного на альтернирующем методе Шварца [4, с. 13].

Обозначим за  и  компоненты вектора перемещений , , узлов, расположенных на контактной поверхности ; за  и  обозначим компоненты вектора узловых сил , , на контактной поверхности .

Метод Шварца является итерационным и состоит в попеременном выполнении условия (6) на нечётных «кинематических» итерациях и условия (7) на чётных «силовых» итерациях. В первом шаге на контактных поверхностях  и  соответственно тел  и  задают дополнительные кинематические условия – начальные перемещения  и , после чего решают  две независимые задачи механики твёрдого тела. Затем вычисляют контактные усилия  и  на поверхностях  и . Для выполнения силовых контактных условий (7) полученные силы корректируют по формуле

     (8)

где   – номер контактного узла, лежащего на поверхности  тела ;  – вектор контактных узловых сил, действующих в сходственной точке ;  – итерационный параметр.

Скорректированные поверхностные силы   и  используют в качестве новых силовых контактных условий на контактных поверхностях  и  вместо кинематических условий с предыдущего шага. Во втором шаге решают независимые задачи механики твёрдого тела с новыми граничными условиями. По результатам полученных решений вновь обеспечивают выполнение кинематических контактных условий (6), для чего корректируют векторы перемещений  и  соответственно точек контактных поверхностей  и  по формуле

         (9)

где   – номер контактного узла, лежащего на поверхности  тела ;  – вектор перемещений сходственной точки ;  – итерационный параметр.

Полученные перемещения  и  используют в качестве кинематических граничных условий на геометрически изменённых поверхностях контакта  и  вместо силовых условий с предыдущего шага. Затем вновь решают независимые задачи механики твёрдого тела.

В формулах (8) и (9) используются компоненты вектора перемещений и вектора сил  на контактной поверхности  тела B в так называемой сходственной точке s, т.е. в точке, с которой при контакте совмещается узел . Вопрос нахождения сходственных точек рассматривался в работе [3].

Итерационные параметры  и  (, , где  – число контактных узлов тела ) могут выбираться из различных соображений [2, с. 189]. Во многих задачах возможен выбор . Однако это приводит к уменьшению скорости сходимости, а в некоторых случаях (например, при различающихся модулях Юнга контактирующих тел) такой выбор может приводить к потере сходимости.

Пусть для определённости  и  . На «силовых» итерациях,  когда корректируют компоненты вектора перемещения , итерационный параметр  определяется по формуле

.                                         (10)

На «кинематических» итерациях, когда корректируют компоненты вектора контактных усилий , итерационный параметр  определяется по формуле

.                                             (11)

Результаты численных исследований демонстрируют, что использование итерационных коэффициентов (10) и (11) в случае не герцевого контакта является достаточно эффективным.

Важно отметить, что в случае элементов второго порядка необходимо переходить от узловых сил  к усреднённым поверхностным силам . При этом не диагональная матрица преобразования может приводить к потере устойчивости полученного решения, поэтому используется соотношение

,

где  – функция формы узла i, интеграл берётся по контактной поверхности на всех элементах, содержащих узел i. Полученные поверхностные силы  отличаются от контактного давления на фиксированный множитель.

При наличии переменной границы контактной поверхности, задание сил на ней представляет существенную сложность (см. рис. 1) и требует дополнительных преобразований. Пусть сходственная точка s для некоторого контактного узла m тела А расположена между боковым узлом i и центральным узлом j тела B. Узел j является свободным, однако при численном решении в нём возникает некоторая сила в связи с особенностями дискретизации. В узле k силы при дискретизации не возникает. По распределению узловых сил находят соответствующие значения поверхностных сил в узлах, по которым распределённая нагрузка интерполируется на всей области контакта [1].

Поверхностную силу  в узле j, найденную в результате решения задачи теории упругости, заменяют фиктивной силой  в точке s, исходя из условия неизменности интеграла от распределённой нагрузки по кривой ik. На рис. 1 тонкой линией обозначена распределённая нагрузка. Силу в точке s корректируют по формуле (8), после чего из того же условия неизменности получают скорректированное значение силы  в узле j.

Также сходственная точка s может быть расположена между узлами j и k тела B. В этом случае поверхностную силу в узле k корректируют аналогично предыдущему случаю, а в узле j используется обычная интерполяция.

Рисунок 1. Узлы на границе поверхности контакта

Описанный метод обеспечивает выполнение соотношений (6) и (7) в случае, если сходственная точка s для граничного узла тела А находится на расстоянии порядка 0.1 размера элемента от некоторого узла тела B. Если это условие не выполняется, использование итерационных параметров  и  (10) и (11) приводит к потере сходимости. Допустимое расстояние можно увеличить с помощью иного выбора итерационных параметров и изменения начального приближения, однако эта тема требует дополнительного исследования.

На основе описанного алгоритма был разработан комплекс прикладных программ для моделирования контактного взаимодействия упругих тел. Для проверки работоспособности программного комплекса численно решён ряд задач, имеющих известное аналитическое решение [3, с. 140].

Приведённый алгоритм проиллюстрирован на примере контакта двух упругих пластин разного размера (рис. 2). Коэффициенты Пуассона контактирующих тел приняты одинаковыми и равными , модули Юнга –  МПа. К верхней границе верхней пластины приложена распределённая нагрузка, равная  Н/м. Поле компоненты  тензора напряжений представлено на рис. 3 (правый край пластины не изображается).

Рисунок 2. Постановка задачи

Рисунок 3. Поле компоненты  тензора напряжений

Выводы:

На базе альтернирующего метода Шварца разработан алгоритм решения задач контактного взаимодействия в рамках конечно-элементной технологии с применением элементов второго порядка. Создан комплекс прикладных программ. Выполнен цикл численного моделирования контактного взаимодействия упругих тел сложной геометрической формы. Найдены пределы применимости разработанного алгоритма.

Список литературы:

1. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. – М.: Мир, 1986. – 318 с.
2. Можаровский Н.С., Качаловская Н.Е. Приложение методов теории пластичности и ползучести к решению инженерных задач машиностроения: В 2 т. Т. 2: Методы и алгоритмы решения краевых задач. – К.: Выща школа, 1991. – 287 с.
3. Станкевич И.В., Яковлев М.Е., Си Ту Хтет. Разработка алгоритма контактного взаимодействия на основе альтернирующего метода Шварца // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Естественные науки. – 2011 – Спецвыпуск: «Прикладная математика» – С. 134-141.
4. Цвик Л.Б. Принцип поочередности в задачах о сопряжении и контакте твердых деформируемых тел. // Прикл. Мех. – 1980 – т. 16, Ш I – С. 13-18.