СИНТЕЗ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЯМИ В КЛАССЕ ТРЕХПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СТРУКТУРНО-УСТОЙЧИВЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ

SYNTHESIS OF INSTABILITY CONTROL SYSTEM IN THE CLASS OF THREE-PARAMETER STRUCTURALLY STABLE MAPPINGS

Mamyrbek Beisenbi

doctor of Technical Sciences,

Professor of System Analysis and Control Department,

L.N. Gumilyov Eurasian National University,

Kazakhstan, Astana

Gainel Issatayeva

1 year Doctoral Student of System Analysis and Control Department,

L.N. Gumilyov Eurasian National University,

Kazakhstan, Astana

Adil Abdikhanov

2 year Doctoral Student of System Analysis and Control Department,

L.N. Gumilyov Eurasian National University,

Kazakhstan, Astana

АННОТАЦИЯ

В статье рассматривается синтез систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости линейными динамическими объектами с неопределенными параметрами. Изложен подход к построению систем управления в классе трехпараметрических структурно-устойчивых отображений, позволяющих предельно увеличивать потенциал робастной устойчивости системы управления.

ABSTRACT

The article discusses the synthesis of control systems with a high potential of robust stability for linear dynamic objects with uncertain parameters. There is presented an approach to the construction of control systems in the class of three-parameter structurally stable mappings that allow the potential for robust stability of the control system to be maximally increased.

Ключевые слова: синтез; система управления; градиентно-скоростной метод; робастная устойчивость; вектор-функции Ляпунова; гиперболическая омбилика; структурно-устойчивые отображения.

Keywords: synthesis; control system; velocity gradient method; robust stability; vector Lyapunov functions; hyperbolic umbilic; structurally stable mappings.

Реализация четвертой индустриальной революции и программы цифрового Казахстана [1] предполагает масштабные разработки, создание и повсеместное использование систем автоматического и автоматизированного управления, а также систем принятия решений.

Реальные системы управления проектируются и функционируют в условиях неопределенности [1]. Причинами появления неопределенности могут быть незнание истинных значений параметров системы на этапе проектирования и непредсказуемое изменение их в процессе эксплуатации. Вследствие чего на сегодняшний день создание системы управления, обеспечивающей в каком-то смысле наилучшую защиту от неопределенности в знании свойств системы управления, является актуальной проблемой.

В известной постановке [2,3,4] исследование робастной устойчивости системы заключается в указании ограничений на изменение параметров линейных систем управления в рамках линейного принципа устойчивости [2,5] и синтез системы управления проводится методами модального управления [6,7,8,9] при известных параметрах системы, требующей сложные и неоднозначные вычисления [10,11,12].

Следует отметить, что неустойчивости в системах управления возникают в результате выхода неопределенных параметров системы за границы робастной устойчивости. При возникновении существенной параметрической неопределенности одним из ключевых факторов, предостерегающих систему управления от функционирования в режиме неустойчивости является увеличение потенциала робастной устойчивости путем синтеза закона управления в классе структурно-устойчивых отображений [13,14]. По этой причине в условиях неопределенности разрабатываются методы синтеза систем управления с гарантированно широкой областью робастной устойчивости. Такие системы получили название систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости [15,16,17,18,19].

Пусть вектор состояния объекта управления измеряется полностью, и система управления имеет один вход и один выход. Динамика стационарной системы с линейным объектом описывается уравнением:

                            (1)

где:

,     

Будем считать вектор состояния x(t) системы (1) доступным к изменению. Рассмотрим систему управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости с законом управления, заданным в форме трехпараметрических структурно-устойчивых отображений (катастрофа «гиперболическая омбилика») [13,14]:

                         (2)

Систему (1) с учетом (2) можно записать в развернутом виде:

                 (3)

Установившиеся состояния системы (3) определяются выражениями:

                                        (4)

и решением системы алгебраических уравнений:

                 (5)

Уравнение (5) при отрицательных значениях  (т.е.), имеет мнимые решения, что не может соответствовать ни одной физически возможной ситуации [20].

При , уравнение (5) допускает следующие стационарные состояния:

           (6)

Устойчивость стационарнарных состояний (4) и (6) исследуется градиентно-скоростным методом вектор-функции Ляпунова [15, 21].

Рассмотрим устойчивость стационарных состояний (4). Из (3) находим компоненты вектора градиента от вектор-функции Ляпунова [15]:

Из уравнения состояния (3) определяем разложение компонентов вектора скорости по координатам системы [15]:

Представим полную производную по времени от вектор-функции Ляпунова как скалярное произведение вектора градиента на вектор скорости:

Из (9) очевидно, что полная производная от вектор-функции Ляпунова - знакоотрицательная функция, то есть достаточное условие асимптотической устойчивости системы (3) всегда выполняется. Построим вектор-функцию Ляпунова в скалярной форме по ее градиенту (7):

Условия положительной или отрицательной определенности функции Ляпунова (10) неочевидны, поэтому применим лемму Морса из теории катастроф [13,14].

По лемме Морса, функцию Ляпунова (10) локально в окрестности стационарного состояния (4) можем представить в виде квадратичной формы:

Условия существования функции Ляпунова, то есть положительная определенность вектор-функции Ляпунова (10) или (11) будет определяться условиями:

                                             (12)

Таким образом, стационарные состояния (4) системы (3) будут асимптотически устойчивыми, если выполняются условия (12).

Проведем исследование робастной устойчивости стационарного состояния (5) градиентно-скоростным методом вектор-функции Ляпунова [15]. Для этой цели уравнения состояния (3) будет представлено в отклонениях относительно стационарного состояния (5):

Исследуя робастную устойчивость системы (13) градиентно-скоростным методом вектор-функций Ляпунова [15], получим условия существования для этой функции в виде:

Таким образом, показано, что система (3) является системой с повышенным потенциалом робастной устойчивости. Стационарные состояния (4) являются гарантированно устойчивыми при выполнении условий (14), и неустойчивыми при нарушении какого-либо из этих условий, и появляется стационарное состояние (5), также асимптотически устойчивое. Стационарные состояния (4) и (5) не существуют одновременно.

Пусть имеется некоторая система с одним входом и одним выходом с желаемыми переходными процессами, полученными на модели системы управления, построенными в классе трехпараметрических структурно-устойчивых отображений (гиперболическая омбилика) с заданным коэффициентами:

Стационарными состояниями системы (24) являются:

                               (16)

и

          (17)

Исследуя устойчивость стационарных состояний (16) и (17) градиентно-скоростным методом вектор-функций Ляпунова [15], покажем, что система (15) удовлетворяет условиям системы с повышенным потенциалом робастной устойчивости:

Условия положительной определенности вектор-функции Ляпунова для робастной устойчивости стационарного состояния (16) имеют вид:

                                   (18)

Уравнения (15) относительно отклонения от стационарного состояния (17) записываются в виде:

Условия положительной определенности вектор-функции Ляпунова для стационарного состояния (17) получим в виде:

         (20)

Таким образом, система (15) также является системой с повышенным потенциалом робастной устойчивости. Сравнивая левые части неравенств (12) и (19), или (14) и (20), получим:

                                      (21)

Таким образом, для полностью управляемой системы с повышенным потенциалом робастной устойчивости получено простое решение задачи синтеза по вектору состояния объекта, который не требует сложных вычислений.

Заключение

Впервые был предложен метод синтеза систем управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости линейными динамическими объектами с номинальными неопределенными параметрами с применением подхода к построению систем управления в классе катастроф «гиперболическая омбилика», позволяющего неограниченно увеличивать потенциал робастной устойчивости системы управления. Синтез системы управления с повышенным потенциалом робастной устойчивости производится градиентно-скоростным методом вектор-функции А. М. Ляпунова, непосредственно по значению элементов матрицы номинальной замкнутой системы управления. Данный метод исключает сложные, неоднозначные вычисления собственных значений и собственных векторов матрицы объекта управления, требующих метода модального управления с прямыми и обратными преобразованиями по каноническим формулам.

Список литературы:

1. Послание Президента Республики Казахстан Н. Назарбаева народу Казахстана от 10 января 2018 г.
2. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. – М.: Наука, 2002. –303 с.
3. Dorato P., Yedavalli Rama K. Recent Advances in Robust Control. – New York: IEE Press, 1990.
4. Кунцевич В.М. Управление в условиях неопределенности. Гарантированные результаты в задачах управления и идентификации. – Киев: Наукова думка, 2006. – 262 с.
5. Справочник по теории автоматического управления [под ред. А.А. Красовского]. ‑ М.: физ.–мат. лит., 1987. – 712 с.
6. Квакернаак Х., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. ‑ М.: Мир, 1986. – 650 с.
7. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. ‑ М.: Наука, 1976, 424 с.
8. Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MATLAB. – СПб.: Наука, 2000. – 475 с.
9. Кухаренко Н.В. Синтез модальных регуляторов при неполной управляемости объектов // Известия Академии наук. Техническая кибернетика. ‑ 1992. ‑ №3. С. 3-10.
10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. ‑ М.: Наука, 2004. – 560 с.
11. Стрейс В. Метод пространства состояний в теории дискретных линейных систем управления. Пер. с англ. ‑ М.: Наука, 1985. – 296 с.
12. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. ‑ М.: Мир. 1980. ‑ 454 с.
13. Гилмор Р. Прикладная теория катастроф. В 2 – х томах. Т. 1. – М.: Мир, 1990. – 287 с.
14. Постон Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. – М.: Наука, 2001, №6.
15. Бейсенби М.А. Исследование робастной устойчивости систем автоматического управления методом функций А.М. Ляпунова. – Астана, 2015 – 204 с.
16. Beisenbi M., Uskenbayeva G. Construction and Research Aircraft High Potential of Robust Stability Control System in the Form of Single–parameter Structurally Stable Mapping // Research Journal of Applied Sciences, Engineering and Technology. 2016. V (12). №5. P. 599–606.
17. Beisenbi M., Yermekbayeva J., Shukirova A., Shakirova R. Design of Control Systems with the Increased Potential for Aircraft Model // Indian Journal of Science and Technology. 2015. V (8). №32b.
18. Beisenbi M., Satibaldina D., Abdrahmanova L., Research of System with a High Potential For robust Stability by Lyapunov Function // Conference on Control, Engineering and Information Technology (CEIT’14), Sousse, Tunisia. Proceedings of IPCO. 2014. P. 140–145.
19. Beisenbi M., Mukataev N. The second Lyapunov function method in construction of control system with the increased potential of robust stability in the class of catastrophes «Hyperbolic umbilic» // Applied mechanics and materials. ISSN 1662-7482, 1660-9336. 2015. V.799-800, P.1132-1136.
20. Nicolis Gregoire, Prigogine Ilya. Exploring Complexity: An Introduction.‑ New York: W. H. Freeman and Company, 1989. – 313 p.
21. Beisenbi M., Uskenbayeva G. The New Approach of Design Robust Stability for Linear Control System // Proc. Of the Intl. Conf. on Advances in Electronics and Electrical Technology – AEET 2014. 2014. P. 11–18.