МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ ПЕРИОДИЧЕСКОГО НЕСИНУСОИДАЛЬНОГО ТОКА

АННОТАЦИЯ

Предложена методика моделирования переходных процессов в электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов на основе метода переменных состояния с использованием языка программирования Python. Методика применена для моделирования конкретной электрической цепи, дана оценка качества модели. Методика учитывает все особенности действующих в сложной электрической цепи периодических несинусоидальных величин и в тоже время является наиболее просто программно реализуемой.

Ключевые слова: моделирование, коммутация, переходный процесс, гармоники, ряд Фурье, переменные состояния, Python.

В последнее время с развитием информационных технологий и компьютерной техники у инженерных работников все больше проявляется интерес к моделированию реальных энергетических и электротехнических систем. К моделированию реальных схем электрических цепей часто прибегают для упрощения экспериментальных исследований, требующих наличия соответствующего лабораторного оборудования и измерительных средств, для проверки правильности выполненных расчетов, и непосредственно для расчета в случаях, когда необходим большой объем вычислений с использованием специализированных программ.  Математическое моделирование - это один из самых результативных и наиболее часто применяемых методов научного исследования, и очень часто методы математического моделирования являются единственно возможными.

Анализируя работы в области математического моделирования можно сказать, что к настоящему времени достигнуты значительные успехи в математическом моделировании электрических цепей, электромеханических и электромагнитных систем.

Однако известные и применяемые методики расчета переходных процессов в электрических цепях решают узкие прикладные задачи и их применение невозможно для математического моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов. Широко применяемые методы анализа и расчёта переходных процессов в электрических цепях – это классический метод, операторный метод, метод расчёта с помощью интеграла Дюамеля, спектральный метод, метод переменных состояния. Кроме перечисленных основных методов существует также ряд современных разработок методов для анализа и моделирования переходных процессов, которые являются вариациями существующих методов в сочетании с численными методами расчёта. Практически все применяемые методы нуждаются в адаптации и усовершенствовании в целях упрощения или оптимизации вычислительных процессов для математического моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии периодических несинусоидальных токов.

При построении математических моделей переходных процессов электрических цепей в основном применяются методы численного анализа. Методы численного интегрирования можно разделить на две группы: одношаговые и многошаговые. Из одношаговых наибольшее распространение получили такие методы, как метод Эйлера, метод Эйлера-Коши, метод Рунге-Кутта, метод Рунге-Кутта-Гила, из многошаговых - метод Адамса-Штермера, метод Милна, метод Хэмминга, метод Релстона. Необходимость и возможность применения любого из методов численного интегрирования определяется особенностями решаемой задачи и требуемой точностью вычислений в соответствии с поставленной задачей. [3]

Исходя из вышеперечисленного можно предложить для моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях при действии несинусоидальных периодических токов для использования метод переменных состояния для расчёта как и установившегося режима до коммутации, так и переходного режима после коммутации и последующего установившегося режима. Кроме этого, на основании сравнительного анализа существующих методов моделирования переходных процессов в электрических цепях целесообразно использовать для моделирования переходных процессов в сложных электрических цепях метод переменных состояния как наиболее просто поддающийся формализации и программной реализации и являющийся не менее точным, чем другие методы.

Метод переменных состояния - это способ определения динамического состояния цепи на основе решения системы дифференциальных уравнений первого прядка, записанных в нормальной форме Коши.

 К достоинствам метода можно отнести:

- получение математической модели электрической цепи в нормальной форме Коши, т.е. разрешённой относительно производных. В результате расчетов получаются дифференциальные уравнения первого порядка, которые всегда легко решаются стандартными методами;

 - метод является универсальным методом решения систем дифференциальных уравнений. Поэтому область его применения не ограничивается только лишь электрическими цепями, что дает возможность применять метод в различных областях техники.

Относительным недостатком метода является сравнительно сложная реализация алгоритмов формирования математической модели цепи. Данный недостаток перестаёт быть недостатком при использовании необходимых программных средств для моделирования переходных процессов и достаточной квалификации программиста, создающего программный продукт.

Уравнения состояния электрической цепи - это любая система уравнений, которая описывает состояние цепи. Например, система уравнений, составленная по первому и второму законам Кирхгофа, является уравнениями состояния цепи, для которой она составлена. Метод переменных состояния (пространства состояний) представляет собой упорядоченный способ нахождения состояния системы в любой момент времени, т.е. в функции времени, который использует матричный метод решения системы дифференциальных уравнений первого порядка, записанных в форме Коши (нормальной формы).

Общая последовательность расчета переходного процесса методом переменных состояния:

- выполняется расчет схемы в установившемся режиме до коммутации и определяются независимые начальные условия i_L(0) и u_C(0).

- выделяются в послекоммутационной цепи реактивные (индуктивные L и ёмкостные C) элементы.

- ёмкостные элементы заменяются источниками напряжения, индуктивные элементы заменяются источниками тока.

- для полученной эквивалентной резистивной схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа (можно использовать любой другой удобный метод расчёта электрических цепей).

- методом исключения переменных система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши, далее составляются матрицы коэффициентов.

- выбирается метод интегрирования, который можно применить для программной реализации.

- выполняется решение.

Выходную функцию получаем в виде графической диаграммы x=f(t) или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Применяя метод переменных состояния, можно предложить разработанную методику математического моделирования переходных процессов при действии периодических несинусоидальных электрических величин, которая включает следующую последовательность действий:

1. Рассматривается схема до коммутации.

- выделяются в схеме электрической цепи индуктивные и ёмкостные элементы.

- заменяются ёмкостные элементы источниками напряжения и индуктивные источниками тока.

- для полученной резистивной схемы составляется система дифференциальных уравнений по законам Кирхгофа.

- система уравнений Кирхгофа преобразуется в систему уравнений Коши методом исключения переменных, далее составляются матрицы коэффициентов.

- начальные условия выбираются нулевые, т.к. нет необходимости в получении корректного переходного режима.

- выбирается метод интегрирования, применимый для программной реализации.

- моделируется установившийся режим путём расчёта переходного процесса до полного его завершения.

2. Принимаются независимые начальные условия i_L(0) и u_C(0) в любой момент времени после завершения переходного процесса по пункту 1.

3. Рассматривается схему после коммутации:

- выполняются все те же шаги, что и в п.1, начальные условия выбираются из пункта 2 для момента полного завершения переходного процесса.

4. Выходная функцию получается в виде графика x=f(t) или в виде таблицы координат функций для заданных моментов времени.

Для программной реализации моделирования переходных процессов можно предложить объектно-ориентированный язык программирования Python, т.к. он упрощает анализ переходных процессов в электрических цепях, делает его наглядным. Python имеет развитые библиотеки, прост и гибок. Язык Python можно рекомендовать любым пользователям, которые используют вычислительную технику и программирование в своей работе. [4] 

Программы на языке Python разрабатываются в среднем в два-три раза быстрее нежели на компилируемых языках, таких как С, С++, что представляет особый интерес и для профессиональных программистов, разрабатывающих приложения без требований к скорости выполнения и программы, использующие сложные структуры данных. [1]

Учитывая хорошо развитые в библиотеке SciPy численные методы, можно выполнять моделирования переходных процессов при коммутации в сложных электрических цепях средствами этой библиотеки.  Численные решения дифференциальных уравнений средствами Python значительно упрощают моделирование переходных процессов в электрических цепях, делают его наглядным и позволяют сосредоточиться на результатах, а не анализе методов решения уравнений. [5]

Разработанная методика была применена на конкретном примере электрической цепи.

Электрическая цепь сложная, разветвлённая, содержащая шесть ветвей, резистивные элементы, индуктивные и ёмкостные элементы, источники ЭДС и тока.

ЭДС источника задавалась выражением:

                                       (1)

где

 - амплитуда, принимаем равной;

m – число гармоник;

(2n-1) – порядок гармоники;

 - частота периодической несинусоидальной ЭДС (и основной гармоники).

Ток второго источника задавался выражением:

            (2)

где

 - амплитуда;

m – число гармоник;

(2n) – порядок гармоники;

 - частота периодической несинусоидальной ЭДС (и основной гармоники).

Было выполнено следующее:

- методом переменных состояния для докоммутационной схемы получена модель электрической цепи в установившемся режиме;

- определены начальные условия из установившегося режима докоммутационной схемы электрической цепи;

- методом переменных состояния построена математическая модель электрической цепи при замыкании ключа;

- составлен алгоритм и с помощью программных средства Python смоделирован переходный процесс;

- построены графики переходных процессов в реактивных элементах цепи;

- построен график переходного процесса тока в ветви с ключом;

- оценены погрешности при математическом моделировании с изменением числа гармоник источников электрической энергии;

- оценены погрешности численного метода решения системы.

Процедура оценки качества полученной модели проводилась на основании сравнения измерений на реальной системе и результатов экспериментов на модели. Для сравнения результатов были проведены измерения в ветвях реальной электрической цепи, которая была собрана в лабораторных условиях по заданной схеме.

Для исследования выделен фактор – число гармоник в ряде Фурье, описывающем несинусоидальную периодическую величину источника тока и ЭДС в математической модели электрической цепи, причём это число одинаково для обоих источников. Количество гармоник принималось – 5, 20, 50 (целое число). Откликом принято значение тока в ветви в момент окончания переходного процесс, т.е. при значении времени переходного процесса тока в ветви с ключом. Остальные факторы зафиксированы: время переходного процесса в ветви с ключом, параметры элементов электрической цепи как пассивных (нагрузки), так и активных (источников). По результатам эксперимента получена таблица значений и определены абсолютная и относительная погрешности.

Анализируя результаты эксперимента, можно сделать вывод: абсолютная и относительная погрешности являются допустимыми при любом количестве гармоник. Относительная погрешность параметров электрической цепи не превышала 0,06%, и во всех экспериментах она была менее допустимого значения. Кроме этого, с увеличением гармоник погрешности стремятся к нулю.

Таким образом, предложенная методика моделирования переходных процессов методом переменных состояния учитывает все особенности действующих в сложной электрической цепи периодических несинусоидальных величин и в тоже время является наиболее просто программно реализуемой, а для программной реализации наиболее эффективным является применение средств программной среды Python.

Список литературы:

1. Бадд Т. Объектно-ориентированное программирование / Т.Бадд - СПб.: Питер, 1997. – 296с.
2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники: Электрические цепи. Учеб. для студентов электротехнических, энергетических и приборостроительных специальностей вузов / Л.А.Бессонов –7-е изд., перераб. и доп. –М.: Высш. шк., 1978.
3. Галанин М.П., Савенков Е.Б. Методы численного анализа математических моделей / П.М.Галанин, Е.Б. Савенков - M.: МГТУ им. Н.Э. Баумана – 2010. – 591с.
4. Гвидо ван Россум. Семинар по программированию на Python / Гвидо ванн Россум Электронный доступ: http://sultan.da.ru
5. Сузи Р.А. Python / Р.А.Сузи - СПб: БВХ-Петербург – 2002. – 768с.