АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

ANALYTICAL SUPPORT FOR PROBLEM SOLVING DESCRIPTIVE GEOMETRY

Ilzina Dmitrieva

Ph. D. of Pedagogy, Associate Professor Mytishchi branch of Bauman Moscow State Technical University,

Russia, Mytishchi

Gennady Ivanov

Doctor of Engineering, Professor Bauman Moscow State Technical University,

Russia, Mytishchi

Ksenya Klevcova

Senior Lecturer Bauman Moscow State Technical University,

 Russia, Moscow

АННОТАЦИЯ

В статье обсуждается актуальная задача аналитического обеспечения решения задач начертательной геометрии. Большинство преподавателей кафедр инженерной графики считают начертательную геометрию сугубо графической дисциплиной, обеспечивающей лишь курс инженерной графики. Ошибочность такого подхода показывается на конкретных примерах. Полезность сочетания графических и аналитических подходов показана на примерах задания на чертеже проецирующих линейных форм их вырожденными проекциями.

ABSTRACT

The article discusses the actual problem of analytical support for solving problems of descriptive geometry. Most teachers of engineering graphics departments consider descriptive geometry to be a purely graphic discipline, providing only a course in engineering graphics. The fallacy of this approach is shown in concrete examples. The usefulness of a combination of graphical and analytical approaches is shown by examples of drawing projecting linear forms with their degenerate projections.

Ключевые слова: начертательная геометрия, аналитическое и графическое решение, линейные формы.

Keywords: descriptive geometry, analytical and graphical solutions, linear forms.

Принципиальные вопросы преподавания начертательной геометрии в условиях внедрения в учебный процесс компьютерного подхода достаточно подробно обсуждены в ряде публикаций [2, 3]. Перспективной задачей представляется внедрение в учебный процесс технических вузов дисциплины «Инженерная геометрия» как интегрированного курса начертательной и аналитической геометрий с линейной алгеброй [4]. Такой курс мог бы обеспечить базовую подготовку соискателей по специальности 05.01.01 «Инженерная геометрия и компьютерная графика».

Задача настоящей публикации намного уже и конкретнее: помочь сотрудникам кафедр инженерной графики, преподающим курс начертательной геометрии, в преодолении его недостатков. Они связаны с догматическим пониманием начертательной геометрии как сугубо графической дисциплины[1]. Такой подход противоречит основному закону природы – закону единства и борьбы противоположностей. В геометрии этому закону соответствует «принцип двойственности». Он проявляется в существовании и взаимосвязи двух методов исследования:

а) синтетического (конструктивный, графический),

б) аналитического.

Например, задание точки A (x = 3, y = 4, z = 5) можно объяснить так:

а                                                                            б

Рисунок 1. Синтетическое и аналитическое толкование задания точки

Графическое задание прямой a на чертеже Монжа ее проекциями  (рис. 2) аналитически истолковывается как задание прямой пересечения двух проецирующих плоскостей: горизонтально проецирующей  и фронтально проецирующей .

Рисунок 2. Задание прямой как пересечение проецирующих плоскостей

Поэтому задача построения проекций точки пересечения K прямой l с некоторой плоскостью  аналитически сводится к решению системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными, то есть уравнений плоскостей ,  и . В связи с этим она представителями школы начертательной геометрии Н.Ф. Четверухина называется первой основной позиционной задачей []. «Гордонисты» сначала учат строить линию пересечения двух плоскостей, а затем строить точку пересечения прямой с плоскостью, забывая о том, что первая задача аналитически сводится к решению систем линейных уравнений от трех неизвестных. То есть нарушается основное правило дидактики «от простого к сложному».

Второй основной недостаток учебника [1] связан с непониманием существования в классической начертательной геометрии двух методов  моделирования:

• метода двух изображений,
• метода двух следов.

Первый из них предназначен для моделирования точечного пространства, а второй – линейчатого. В точечном пространстве основным элементом пространства является точка, а все остальные формы являются множествами точек. В линейчатом пространстве элементом множества является прямая, а все другие формы являются множествами прямых:

- линейчатая поверхность (регулюс) -  прямых,

- конгруэнция -  прямых,

- комплекс -  прямых.

Точка представляется как пучок прямых, если она принадлежит плоскости, или связка прямых, если принадлежит пространству. Поэтому совместное рассмотрение, использование проекций и следов является эклектичным и лишенным практического смысла, если не принимать во внимание пресловутое развитие пространственного мышления студентов. Тем более метод двух следов не находит применения в решении прикладных задач специальных кафедр, за исключением кафедр строительной физики инженерно-строительных и архитектурных вузов. Здесь моделирование задач расчета освещенности и акустики выполняется в терминах и понятиях линейчатой геометрии.

Некоторые представители кафедр инженерной графики считают более наглядным и понятным задание проецирующих плоскостей следами вместо толкования следов прямых и плоскостей как их вырожденных проекций. На самом деле, некоторая точка A, принадлежащая, например, плоскости проекций (Oxy), является вырожденной проекцией прямой a, если она отнесена к трехмерному пространству Oxyz (рис. 3).

Рисунок 3. Точка как вырожденная проекция соответствующих p-плоскостей

Она же будет вырожденной проекцией , двумерной плоскости , если отнесена к четырехмерному пространству Oxyzt. Она же будет вырожденной проекцией  3-плоскости , если отнесена к пятимерному пространству Oxyztq и т.д. На рис. 3 верхними индексами обозначены размерности p-плоскостей, как это принято в многомерной геометрии. Кстати, из рис. 3 следует нелогичность обозначений верхними индексами (штрих, два штриха, три штриха) проекций точек и линий на плоскостях проекций , ,  в учебнике В.О. Гордона и Семенцова-Огиевского.

Аналогично, если в координатной плоскости (Oxy) дана некоторая прямая a, то она может считаться вырожденной проекцией , проецирующей 2-плоскости  (параллельной оси Oz) (рис. 4). Она же, отнесенная к четырехмерному пространству Oxyzt, будет вырожденной проекцией 3-плоскости .

Таким образом, приведенные примеры наглядно и убедительно показывают логичность и справедливость изображения проецирующих p-плоскостей их вырожденными (!) проекциями.

Рисунок 4. Прямая как вырожденная проекция соответствующих p-плоскостей

Список литературы:

1. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. Учеб. Пособие для втузов/ под ред. В.О. Гордона и Ю.Б. Иванова. – 24-е изд., стер. – М.: Высшая школа, 1999. – 272 с.
2. Дмитриева И.М., Иванов Г.С. Интегрированный курс геометрии и линейной алгебры как средство формирования математической подготовки студентов технических вузов. // Омский научный вестник. Серия «Общество. История. Современность», № 5(91), 2010, - с. 205-208.
3. Иванов Г.С., Серегин В.И. Инженерная геометрия – теоретическая база построения геометрических моделей. /Сб. статей международной научно-практической конф. «Инновационное развитие современной науки», ч.3, с. 339-346, Уфа, 2014.
4. Кайгородцева Н.В. Определение содержания и технологии геометро-графической подготовки будущих инженеров на основе интеграции информационных сред. Автореф. дис. д-ра пед. н., Омск, 2015, -39 с.