НОВАЯ МЕТОДИКА ОРГАНИЗАЦИИ ПЛАНИРУЕМОГО НАУЧНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

АННОТАЦИЯ

В научной и технической сфере специалисты, занимающиеся разработкой новых технологических процессов, химических продуктов, сталкиваются с проблемой оптимизации проведения опытов, экспериментов, натурных испытаний. Поэтому задача планирования эксперимента является одной из ключевых и разработка новых подходов в данном направлении обладает значительной актуальностью. Существующие методы планирования эксперимента имеют ряд недостатков, которые вносят искажения в экспериментальные результаты. В данной работе проводили разработку новой методики организации планируемого эксперимента. Была получена новая методика организации планируемого научного эксперимента. Были сформулированы результаты проведенного двухфакторного эксперимента.

Ключевые слова: планирование эксперимента, модель, организация, аддитивная модель.

Введение

В научной и технической сфере специалисты, занимающиеся разработкой новых технологических процессов, химических продуктов, сталкиваются с проблемой оптимизации проведения опытов, экспериментов, натурных испытаний. Зачастую ход исследований или технологических процессов обуславливает необходимость сокращения числа операций, опытов и получения связи между параметрами процесса (или продукта) и величиной отклика, который необходимо обеспечить [1]. В данном случае планирование экспериментов является основой для сокращения числа опытов и установления определенных связей между множеством факторов и итоговым результатом, который нельзя получить другим способом.

Планирование эксперимента развивалось с начала прошлого века, начиная с работ Р. Фишера, который первым доказал необходимость одновременного варьирования всеми факторами, влияющими на эксперимент. В середине прошлого века широко распространенным направлением планирования экстремального эксперимента был метод Бокса-Уилсона [2]. В работе [3] авторы предложили подход, который позволяет снизить число экспериментов, базирующийся на статистическом представлении объекта при проведении минимизации числа опытов. В работе [4] проведен анализ методов планирования эксперимента на стадии начала научного исследования при условии, что априорная информация не приведена полностью и существует некоторая недостаточность данных для описания объекта. Данные подходы широко используются в химии и химической технологии [5].

 Существующие подходы к планированию эксперимента имеют ряд недостатков:

1. Полученные экспериментальные данные включают в себя вклад измерительных приборов и ошибок разной природы. Таким образом, для повышения точности экспериментальных результатов целесообразно учитывать все факторы, и при этом отсутствие учета определенных из них приводит к значительному искажению полученных данных, что является нежелательным и не позволяет в полной мере описать физическую картину многофакторного процесса. При этом функциональные зависимости получают только на последнем этапе, когда учитывается ошибка измерений.

2. Считается, что недостаточный учет факторов, которые принимают участие в процессе, приводит к тому, что этот вклад существенно выше влияния точности проводимых измерений.

В то же время разработка новых подходов к планированию методики эксперимента продолжается, и появляются все более новые подходы к описанию полного факторного эксперимента. Несмотря на значительное количество исследований и опубликованных работ, проблема описания методики эксперимента и обработки экспериментальных данных стоит достаточно остро и является не решенной до сих пор.

Данная работа посвящена математическому описанию поведения многофакторного процесса. Наиболее близкая тема относится к статистическим моделям в математическом моделировании, хемометрике.

Цель данной работы заключалась в разработке новой методики организации планируемого эксперимента. К задачам можно отнести следующие:

1. Установление плана проведения эксперимента, который позволяет физически получить реальную картину процесса после математической обработки.

2. Разработка методики обработки данных эксперимента, подлежащего планированию.

3. Провести оценку качества разработанной методики на основании полученных расчетных результатов.

Результатом в данной работе является точное описание поведения процесса (в пределах точности измерений). Для достижения поставленной цели использовались определенные способы решений показательных уравнений (спланированный эксперимент) и оригинальная методика решения показательных уравнений (неспланированный эксперимент).

Результаты

Проведем функциональный анализ двухфакторного эксперимента с использованием аддитивной модели. При проведении исследований производится поиск функциональной зависимости между факторами A, B и откликом C, по результатам экспериментов [6].

Введем универсальную функцию, описывающую реальный процесс:

.                                                                          (1)

График универсальной функции (1) можно представить следующим образом (рисунок 1).

Рисунок 1. График универсальной функции

 В случае аддитивной двухфакторной модели можно следующее:

,                                                                       (2)

где C – отклик;

 A, B – факторы (предикторы);

 h, g – показатели степени;

 H, G – коэффициенты скорости.

Зависимость откликов от факторов приведена на рисунке 2.

а)                          б)

Рисунок 2. Зависимость отклика от величины факторов (предикторов)

Решить уравнение (2) можно, если неизвестным являются показатели степени h и g и их основания являются целыми степенями одного и того же числа. Замена неизвестного  и  приводит уравнение (2) к виду:

.                                                                         (3)

Полученное уравнение (3) имеет четыре неизвестных H, X, G, Y, и для их нахождения необходимы четыре эксперимента (уровня, уравнения). В общем случае степенной зависимости между A2=f(A1), A3=f(A1), A4=f(A1) и B2=f(B1), B3=f(B1), B4=f(B1) количество уравнений для решения системы будет равно пяти. Составим эти уравнения, используя следующий алгоритм при планировании эксперимента.

Результаты полнофакторного эксперимента можно представить в виде аддитивной модели, представленной ниже:

H·A^h+G·B ^g+F·Z^f+… = C,                                                       (4)

где A, B, Z – значения факторов (предикторов);

H, G, F – весовые коэффициенты;

h, g, f – показатели степени,

С – экспериментальный результат.

В данном случае эксперимент должен быть полнофакторным. Количество уравнений представляет собой удвоенное количество факторов (так как две неизвестные величины – показатель степени и весовой коэффициент – относятся к каждому фактору), а также дополнительно одно уравнение, используемое для определения лишнего фактора или фактора, который не участвует. В качестве примера можно взять полнофакторный эксперимент, состоящий из двух факторов с использованием аддитивной модели. Алгоритм проведения эксперимента в соответствии с методикой расчета принимает следующий вид:

           (5)

.

Решение этой системы уравнений может быть представлено в следующем виде:

,                                                                   (6)

где:

  ;                                                                   (7)

.                                                                   (8)

Находим показатель степени g:

.                                                                   (9)

Весовой коэффициент равен H:

.                                                 (10)

Весовой коэффициент G можно выразить как:

.                                              (11)

Формула результата для двухфакторного эксперимента, проведенного по предлагаемому алгоритму, может быть получена с использованием формул (7), (9), (10) и (11):

.               (12)

Значение С, которое можно получить с помощью формулы (12), не является точным, поскольку величины С1–С5 и А1, В2 измерены с некоторой точностью. Зависимость экспериментального результата С от значений факторов A, B, Z представлена на рисунке 3.

A, B, Z

Рисунок 3. Зависимость экспериментального результата С от значений факторов (предикторов A, B, Z)

Одной из основных проблем, с которой можно столкнуться при проведении математического моделирования, является неточность, которая привносится самой моделью. Поэтому результаты могут несколько различаться. Это может иметь место при проведении отсеивающего эксперимента (например, при выборе наиболее значимых факторов) с использованием статистических методов и т.д.

Одним из основных преимуществ данной методики является возможность проверки влияния погрешности измерений, влияния неучтенного или не влияющего на результат фактора. Возможно проследить влияние погрешности измерений и комплектности факторов на экспериментальный результат, если взять сложную функцию и получить ее несколько значений по представленному алгоритму.

Можно сформулировать следующие результаты проведенного двухфакторного эксперимента:

1. Результаты расчета показывают абсолютную точность при условии отсутствия погрешности измерений для всех параметров.
2. Относительная погрешность расчета С находится на уровне 5,47 % при погрешности +1,05 для всех измерений.
3. Относительная погрешность расчета С составила 4,5 % при погрешности +1,05 для всех факторов и точных значений всех С(1–5).
4. Относительная погрешность расчета (1–5) при погрешности +0,95 для всех измерений составила 5,44 %.
5. В общем случае погрешность определения С для погрешности +0,95 для всех факторов и точных значений расчета С составила 4,6 %.

По результатам исследования предлагаемой методики можно предложить полное управление процессом.

К числу достоинств методики можно отнести:

1) возможность отказаться от допущений и линеаризации исходных данных;

2) использование минимального числа экспериментов (двойное количество факторов +1);

3) возможность провести проверку описания процесса выбранными факторами (их достаточность или чрезмерность);

4) появляется возможность точного прогнозирования при различном соотношении факторов в рассматриваемом диапазоне. При этом точность сделанного прогноза зависит только от точности непосредственно своих измерений;

5) возможно, существует влияние погрешности измерений на результат прогноза;

6) можно провести поиск определяющих факторов;

7) модель сохраняет физическую сущность процесса при обработке экспериментальных результатов.

Проверка методики

Была проведена теоретическая проверка предложенной методики планирования эксперимента. Несколько функциональных зависимостей, связывающих факторы и отклик, были взяты для проверки. Матрица измерений была получена с использованием прямого расчета. По результатам расчета были получены все функциональные зависимости, заложенные изначально с высокой степенью точности. На втором этапе факторы и их отклики были взяты с точностью +5 % и –5 % при составлении матрицы эксперимента. На данном этапе с абсолютной точностью были также получены все функциональные зависимости, заложенные изначально. Принимая во внимание заложенную погрешность ±5 %, провели обработку матрицы эксперимента, которая привела к получению такой же величины. По результатам можно сделать вывод, что методика обработки результатов эксперимента не вносила искажений в полученные экспериментальные данные. Стоит отметить, что не было обнаружено каких-либо определенных особых требований к исходным данным (за исключением тех, которые представлены выше).

Резюмируя вышесказанное, стоит отметить, что была получена новая методика организации планируемого научного эксперимента. Были сформулированы результаты проведенного двухфакторного эксперимента. Было установлено, что методика обработки результатов эксперимента не вносила искажений в полученные экспериментальные данные.

Список литературы:

1. Кендалл М. Многомерный статистический анализ и временные ряды / М. Кендалл, А. Стьюарт. – М. : Наука, 1976. – 736 с.
2. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Ю.П. Адлер, И.В. Маркова, Ю.В. Грановский. – М. : Наука, 1976. – С. 8–11.
3. Горелова Г.В. Планирование эксперимента при исследовании новых методов и алгоритмов организации распределенных вычислений / Г.В. Горелова, Э.В. Мельник, С.А. Радченко, А.И. Каляев // Вестник компьютерных и информационных технологий. – 2007. – № 10 (40). – С. 49–56.
4. Кожухов В.И. Планирование и обработка результатов эксперимента при экзогенных переменных (факторах), измеренных в номинальной шкале / В.И. Кожухов, В.В. Макаров, В.Н. Глушко // Успехи в химии и химической технологии. – 2015. – Т. 29. – № 4 (163). – С. 54–56.
5. Чушенков В.И. Синтез высокодисперсного порошка диборида хрома с использованием нановолокнистого углерода методом карбидоборного восстановления / В.И. Чушенков, Ю.Л. Крутский, Т.С. Квашина, Ю.П. Стексова // Письма о материалах. – 2017. – Т. 7. – № 1 (25). – С. 44–48.
6. Бронштейн И.Н. Справочник по математике / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. – М. : Наука, 1986. – 150 с.