ПРИМЕНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ ГРУПП СИММЕТРИЙ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РАСЧЕТОВ С ПОМОЩЬЮ ПОРОМАСШТАБНЫХ МОДЕЛЕЙ

APPLICATION OF CONTINUOUS GROUPS OF SYMMETRIES OF DIFFERENCE SCHEMES FOR CALCULATIONS USING PORE-SCALE MODELS

Pavel Markov

deputy. gen. dir. of integrat. projects of LLC "UNI-CONCORD",

Russia, Tyumen

CEO of LLC "MicroModel",

Russia, Moscow

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ, проект №18-31-00436.

АННОТАЦИЯ

Данная статья приводит примеры применения непрерывных групп симметрий инвариантных разностных схем для ускорения расчетов в рамках поромасштабного моделирования процессов многофазной фильтрации. Модели поровых сетей, как частный случай поромасштабных моделей, записываются в статье в виде разностных схем. Далее приводятся частные случаи таких схем для одно- и двухфазной фильтрации с наличием непрерывных групп симметрий, что дает возможность применения преобразования этих групп для быстрой генерации численных решений.

ABSTRACT

This article shows examples of applications of continuous symmetry groups of invariant difference schemes for calculations acceleration in pore-scale modeling of multiphase filtration processes. Pore network models, as a particular case of pore-scale models, are written in the article in the form of difference schemes. Then particular classes of such schemes with the presence of continuous symmetry groups are shown for one- and two-phase cases. It makes possible to apply transformations of these groups for the fast generation of numerical solutions.

Ключевые слова: непрерывные симметрии, разностные схемы, генерация численных решений, поромасштабные модели, модели поровых сетей, насыщенная пористая среда, фильтрационные процессы.

Keywords: continuous symmetries, difference schemes, generation of numerical solutions, pore-scale models, pore networks models, saturated porous media, filtration processes.

Введение

Для широкого практического использования численных алгоритмов во многих областях является важным получение быстрых и надежных результатов. Наличие непрерывных групп симметрий дает возможность быстрой генерации решений для различных типов уравнений [1], [3], [7], [8], [10] с использованием преобразований только этих непрерывных групп и нескольких заранее известных решений. Этот подход применяется в том числе и для разностных схем и их численных решений [9], что будет использовано ниже в данной статье и схематично изображено ниже на Рисунке 1. Данный подход для разностных схем позволяет значительно ускорить получение численных решений.

Рисунок 1. Схема преобразования численного решения с помощью непрерывной группы симметрии на примере одномерного случая

Подход с применением моделей поровых сетей при моделировании процессов многофазной фильтрации на микромасштабе является компромиссным упрощением сложной структуры пустотного пространства пористой среды [4], [6], [11]. Под моделью поровой сети понимается сеть (граф) пор и связывающих их капилляров, которая представляет собой модель пористой среды на микроуровне, где поры ‑ узлы, а капилляры ‑ связи (пример на Рисунке 2). Модель поровой сети включает в себя описание геометрических характеристик сети, модель и характеристики процесса фильтрации. Модели поровых сетей являются частным случаем поромасштабных моделей.

Рисунок 2. Пример модели поровой сети

Запись общего вида моделей поровых сетей в виде разностных схем

Для применения теории непрерывных групп симметрии к моделированию процессов фильтрации с помощью поровых сетей запишем произвольную модель поровой сети в виде разностной схемы:

• дискретные уравнения на давления в порах и капиллярах ‑

• дискретные уравнения на геометрические характеристики областей течения в элементах поровой сети ‑

• расчетная сетка ‑

• начальные условия ‑

• граничные условия ‑

В записи, представленной выше, использованы следующие индексы

а также следующие обозначения: A_{i j} ‑ матрица связей поры i с порой j (0 ‑ поры не связаны, 1 ‑ поры связаны); B_{s j} ‑ матрица связей поры j с порой-источником или стоком s (0 ‑ пора не связана, 1 ‑ пора связана); χ ‑ функции для проводимостей:

где индекс , помимо значений индекса i, включает в себя также пору-источник и пору-сток; g ‑ текущие фазовые проводимости элементов, определяемые как

R ‑ радиус вписанной окружности сечения элемента; G ‑ фактор формы сечения элемента; θ ‑ контрактный угол элемента; L_{i j} ‑ длина между центрами пор i и j:

x_i, y_i, z_i ‑ координаты i-ой поры;  ‑ текущие значения (0 или 1) насыщенностей фазой p для областей течения r-го типа для элемента, рассчитываемые как

Выше использованы следующие функции: Φ_r ‑ функции расчета проводимостей области течения r-го типа (центр сечения, линза, угловая часть сечения поры или капилляра); Ω_r ‑ вектор геометрических характеристик замкнутой кривой (кривизны дуг, углы между дугами, длины дуг и т.д.), описывающей геометрию одной из N_reg областей течения фазы в элементе; Ψ_r ‑ функция, описывающая изменение характеристик областей течения; CP ‑ функция расчета давления для капилляров на основе значений давления в соседних порах (например, как среднее арифметическое).

Пусть CL ‑ функция принадлежности элемента (пора или капилляр) кластеру элементов, тогда константы принадлежности кластерам I (0 или 1) будут рассчитывать как

Данные константы зависят от векторов Ω для всех пор и капилляров для фазы p. Функция SAT для расчета насыщенности записывается как

где AREA ‑ площади дуг, которые задают области течения с параметрами Ω.

Для вектора геометрических характеристик Ω, насыщенности S и давления P значения могут браться с предыдущего и/или текущего временного шага там, где не указаны индексы для временных шагов.

Примеры применения непрерывных групп симметрий для моделей поровых сетей

Запись модели поровой сети в виде разностной схемы (1)-(12) позволяет применять теорию непрерывных групп симметрий. Ключевым фактором применения указанного в начале статьи подхода генерации численных решений является знание непрерывных групп симметрий.

Анализ схемы (1)-(12) позволяет говорить о том, что она имеет трехмерную группу вращений и трехмерную группу переносов по пространственным координатам в качестве непрерывных симметрий (значения констант в (3) меняются, но общий вид остается неизменным):

Однако, например, группа растяжений не является непрерывной симметрией, так как она меняет расстояния между порами, а значит меняет вид функции χ.

Рассмотрим случай однофазного течения, что для модели (1)-(12) означает отсутствие индекса p, независимость коэффициента χ от давления и наличие только одной области течения, характеристики которой не меняются, то есть Ψ₁(Ω) = Ω. Данные условия приводят нелинейное дискретное уравнение из (1) к линейному, что позволяет ему иметь дополнительно к (13) группу переносов по давлению и группу совместных растяжений по времени и давлению в качестве групп непрерывных симметрий. Наличие данных симметрий, в частности, влечет за собой независимость абсолютной проницаемости от значений давления.

Рассмотрим случай двухфазного течения: пусть уравнения (2) не зависят от давлений и констант принадлежности кластерам I. Тогда уравнения (2) сводятся к виду дискретных динамических систем, где могут быть использованы результаты их групповой классификации из [3].

Модели поровых сетей в виде уравнений (1)-(12) для однофазного случая могут сводиться к виду разностных схем для нелинейных дифференциальных уравнений теплопроводности при определенном виде функций χ и матриц A и B. Поры в таком случае будут узлами сетки, а капилляры отвечать за границы ячеек. В этом случае могут быть использованы результаты классификаций дифференциальных уравнений из [2], [5] при построении разностных схем для них с сохранением непрерывных групп симметрий [7].

Выводы

В данной статье рассмотрены примеры применения непрерывных групп симметрии для моделей поровых сетей. Для нескольких частных случаев записи моделей поровых сетей в виде разностных схем (1)-(12) указаны непрерывные группы симметрий, что дает возможность быстрой генерации численных решений для данных разностных схем с помощью преобразований непрерывных групп симметрий. Это, в свою очередь, дает возможность значительного ускорения серийных численных расчетов с применением моделей поровых сетей, относящиеся к указанным выше классам, и может применяться для решения задач оценки фильтрационно-емкостных свойств на масштабе нефтегазоносных пластов.

Список литературы:

1. Головин, С.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / С.В. Головин, А.А. Чесноков. – Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т., 2008. – 113 с.
2. Лагно, В.И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В.И. Лагно, С.В. Спичак, В.И. Стогний. – Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. – 392 с.
3. Марков, П.В. Групповая классификация дискретных динамических систем / П.В. Марков. // Нелинейная динамика. – 2013. – Т. 9, № 4.–С. 641-649.
4. Марков, П.В. Использование моделей микроструктуры пористой среды при расчете фильтрационных характеристик для гидродинамических моделей / П.В. Марков, С.П. Родионов. // Нефтепромысловое дело. – 2015. – № 11. – С.64-75.
5. Baikov, V.A. Water Redistribution in Irrigated Soil Profiles: Invariant Solutions of the Governing Equation / V.A. Baikov, R.K. Gazizov, N.H. Ibragimov, V.F. Kovalev. // Nonlinear Dynamics. – 1997. – № 13. – P. 395-409.
6. Blunt, M.J. Flow in porous media - pore-network models and multiphase flow / M.J. Blunt. // Current Opinion in Colloid & Interface Science. – 2001. – Vol. 6, № 3. – P. 197-207.
7. Dorodnitsyn, V. Applications of Lie Groups to Difference Equations / V. Dorodnitsyn. – Chapman and Hall/CRC, 2011. – 344 p.
8. Levi, D. Symmetries of discrete dynamical systems / D. Levi, P. Winternitz. // J. Math. Phys. – 1996. – Vol. 37, № 11. – P. 5551-5576.
9. Markov P.V. Group classification applications for analysis of discrete models of flow in porous media / P.V. Markov. // Journal of Physics: Conference Series. – 2017. – Vol. 894, № 1. – P. 1-7.
10. Moritz, B. Finding Lie groups that reduce the order of discrete dynamical systems / B. Moritz, W. Schwalm, D. Uherka. // J. Phys. A: Math. Gen. – 1998. – Vol. 31, № 36. – P. 7379-7402.
11. Xiong, Q. Review of pore network modelling of porous media: Experimental characterisations, network constructions and applications to reactive transport / Q. Xiong, T.G. Baychev, A.P. Jivkov. // Journal of Contaminant Hydrology. – 2016. – Vol. 192. – P. 101-117.