ОБОБЩЕННАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ЯДЕРНОГО РЕАКТОРА

​GENERALIZED MATHEMATICAL MODEL OF NUCLEAR REACTOR DYNAMICS

Nikita Bortulev

postgraduate student, National Research Institute Tomsk Polytechnic University,

Russia, Tomsk

АННОТАЦИЯ

В работе представлен вывод системы дифференциальных уравнений, формирующих обобщенную математическую модель ядерного реактора. Для получения математической модели использовалось 6-ти групповое приближение уравнения кинетики реактора. В результате получена система уравнений, решение которой способно дать описание изменения основных технологических параметров реактора, предусмотренных данной математической моделью, а именно – мощность реактора, температура топлива и температура теплоносителя. Полученная математическая модель может быть адаптирована под любую конфигурацию реактора и как следствие использована для прогнозирования поведения конкретной реакторной системы, а также для общеобразовательных целей.

ABSTRACT

The paper presents the derivation of a system of differential equations forming a generalized mathematical model of a nuclear reactor. To obtain a mathematical model, a 6-group approximation of the reactor kinetics equation was used. As a result, a system of equations has been obtained, the solution of which is capable of describing changes in the main technological parameters of the reactor provided for by this mathematical model, namely, reactor power, fuel temperature and coolant temperature. The resulting mathematical model can be adapted to any reactor configuration and, as a result, used to predict the behavior of a specific reactor system, as well as for general educational purposes.

Ключевые слова: параметры реактора, кинетика реактора, динамика реактора, математическая модель реактора.

Keywords: reactor parameters, reactor kinetics, reactor dynamics, mathematical model of the reactor.

В различных сферах науки для изучения закономерностей функционирования объектов или природных явлений осуществляются эксперименты самых разнообразных типов. Довольно часто такие эксперименты невозможно осуществить либо ввиду невозможности наблюдения напрямую за объектом исследования, либо ввиду избыточной стоимости проведения такого эксперимента. Тем не менее, эксперимент можно провести теоретически, сформировав математическую модель изучаемой системы.

Моделирование ядерных реакторов различной конфигурации актуально ввиду того, что аналогичный практический эксперимент в реальности может потребовать большое количество ресурсов [1].

Наиболее распространенное направление моделирования ядерных реакторов – формирования статических моделей и изучение свойств системы в конкретный момент времени. Моделирование кинетики и динамики реактора не так распространено, ввиду того, что описание реакторной системы и то, как изменяются ее параметры с течением времени при введении внешнего воздействия требует учета множества переменных и включения их в общую систему дифференциальных уравнений, что в свою очередь сказывается на времени и сложности решения такой системы. Однако, для описания качественной зависимости технологических параметров от характера внешнего воздействия, достаточно учесть лишь часть этих переменных. Таким образом, пренебрегая точностью, можно получить более гибкую математическую модель реактора, которая способна предсказать как будет развиваться реакция при оказании внешнего воздействия.

За основу математической модели принимается уравнение кинетики реактора в 6-ти групповом приближении. Уравнение записывается следующим образом:

,                                                                (1.1)

где  — величина избыточной либо отрицательной реактивности;

 — среднее время жизни поколения нейтронов, с;

 — мощность реактора в относительных единицах;

 — длительность переходного процесса, с;

 — постоянная распада ядер-источников запаздывающих нейтронов i-группы, с^-1;

 — доля ядер-источников запаздывающих нейтронов i-группы;

 — доля запаздывающих нейтронов.

Для каждой отдельной группы записывается уравнение концентрации нейтронов:

.                                                                                   (1.2)

где – доля запаздывающих нейтронов i-группы.

Совмещая уравнения (1.1) и (1.2) получаем систему нелинейных дифференциальных уравнений реактора.

                                                                        (1.3)

Уравнение (1.3) является основой математической модели, позволяющей анализировать переходные процессы в реакторе при оказании внешнего воздействия [2]. Стоит упомянуть, что величина реактивности , в этом уравнение является функцией, зависящей от технологических параметров реактора [3]. В рамках работы пренебрежем некоторыми из них и запишем функцию следующим образом:

,                                      (1.4)

где   — реактивность реактора в момент времени ;

 и  — коэффициенты реактивности теплоносителя и топлива соответственно, К^-1;

 и  — температуры теплоносителя и топлива соответственно, К.

Если реактивность, это функция от температур топлива и теплоносителя, тогда чтобы решить систему (1.3), требуется связать мощность реактора с его параметрами.

Уравнение связи температуры топлива с мощностью реактора [4]:

.                                                                      (1.5)

где  — общая масса топлива в рассматриваемом объеме реактора, кг;

 — удельная теплоемкость топлива ;

 — коэффициент теплообмена, .

Уравнение связи температуры теплоносителя с мощностью реактора:

.                                                    (1.6)

где  — общая масса теплоносителя в рассматриваемом объеме реакторе, кг;

 — удельная теплоемкость теплоносителя ;

 — массовый расход теплоносителя, ;

, — температуры теплоносителя на выходе и на входе в реактор, К.

Очевидно, что массы и удельные теплоемкости не постоянны и в данном случае зависят от температуры топлива и теплоносителя, кроме того, масса топлива зависит и от материального состава, и ввиду выгорания урана, меняется в процессе работы реактора. Массовый расход теплоносителя зависит от его плотности, которая меняется ввиду изменения температуры в реакторе, а коэффициент теплообмена определяется индивидуально для каждого реактора и зависит от геометрии, материального состава и характера течения теплоносителя. Все это приводит к тому, что решение задачи динамики реактора с достаточной точностью – задача трудоемкая и требует определенных вычислительных мощностей, однако, если часть переменных условно принять константами, то совместное решений системы (1.3) и уравнений связи (1.5) и (1.6) позволить проанализировать направление изменения мощности реактора, температуры топлива и температуры теплоносителя при оказании внешнего воздействия [5].

Рассмотрим пример, стоит задача найти во сколько раз измениться мощность реактора при введении определенного количества реактивности, допустим, что реактивность вводится мгновенно, коэффициенты реактивности постоянны во времени, а температура топлива и теплоносителя изменяется равномерно. Мощность реактора на момент введения реактивности равна 1% от номинального значения. Изменение мощности во времени для поставленной задачи представлено на рисунке 1.

Рисунок 1. Изменение мощности реактора при введении внешнего воздействии величиной 0.2/0.1β

Представленная математическая модель позволяет осуществлять анализ характера изменения параметров реактора при оказании внешнего воздействия. Для более точного описания переходных процессов в реакторе, в первую очередь, необходимо охарактеризовать геометрию и материальный состав реактора, что делается посредством записи коэффициента теплообмена. Определение коэффициента теплообмена – отдельная задача, которая решается для каждого типа реактора индивидуально.

Таким образом, в данной работе была разработана обобщенная математическая модель реактора, способная описывать изменения его параметров под воздействием внешних факторов. В дальнейшем такая модель может быть применена в частных случаях для реакторов известной конфигурации, служа верификацией предложенных методов управления. Кроме того, модель может использоваться в образовательных целях, помогая студентам лучше понять переходные процессы, происходящие в реакторе.

Список литературы:

1. Ватульян А. О. Математические модели и обратные задачи //Соровский образовательный журнал. – 1998. – Т. 11. – С. 143-148.
2. Демченко В. А. Автоматизация и моделирование технологических процессов АЭС и ТЭС //Одесса: Астропринт. – 2001. – Т. 305.
3. Казанский Ю. А., Слекеничс Я. В. Кинетика ядерных реакторов. Коэффициенты реактивности. Введение в динамику: учеб. пособие для студ. вузов //М.: НИЯУ МИФИ. – 2012.
4. Селезнев Е. Ф. и др. Кинетика реакторов на быстрых нейтронах //Ядерная физика и инжиниринг. – 2012. – Т. 3. – №. 1. – С. 28-28.
5. Семенов В. К., Вольман М. А. Обоснование математической модели теплообмена для реактора с сосредоточенными параметрами //Глобальная ядерная безопасность. – 2015. – №. 4 (17). – С. 35-42.