"МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ НАНОСПУТНИКА НА СОЛНЕЧНО-СИНХРОННОЙ КРУГОВОЙ ОРБИТЕ".

MATHEMATICAL MODEL OF MOTION NANO-SATELLITES INTO SUN-SYNCHRONOUS CIRCULAR ORBIT

Chebotarev Viktor

Doctor of Engineering Sciences, associate Professor, Siberian Federal University

Russia, Krasnoyarsk region, Zheleznogorsk

Nadezhda Kuzmina

Undergraduate, Siberian Federal University,

Russia, Krasnoyarsk region, Zheleznogorsk

АННОТАЦИЯ

В статье приведена уточненная математическая модель движения нано-спутника на солнечно-синхронной круговой орбите, представленная как движение его центра масс и движение относительно центра масс, смоделированное с помощью углов Эйлера; матрицы направляющих косинусов; кватернионов.

ABSTRACT

The article presents the refined mathematical model of the motion of nano-satellites into sun-synchronous circular orbit, represented as the motion of its center of mass and motion about center of mass, described using Euler angles; matrix of direction cosines; quaternions.

Ключевые слова: наноспутник, модель движения, солнечно-синхронная орбита, стартовая система координат, координаты наноспутника; кватернион.

Keywords:  nanosatellite, the motion model, sun-synchronous orbit, the starting coordinate system, the coordinates of the nanosatellite; quaternion.

Солнечно-синхронная орбита представляет собой орбиту с такими параметрами, что спутник проходит над любой точкой земной поверхности приблизительно в одно и то же местное солнечное время [1, 2].

Движение наноспутника на орбите можно рассматривать как движение его центра масс и движение относительно центра масс.

Рассмотрим движение центра масс наноспутника. Предположим, что наноспутник движется в абсолютной декартовой системе координат OXYZ с началом в произвольной неподвижной точке O и неизменным направлением осей по солнечно-синхронной орбите.

Т.к. орбита круговая и эксцентриситет e = 0, то положение перицентра не определено. Поэтому можно сказать, что аргумент перигея w = 0 и круговая орбита будет характеризоваться следующими элементами (рисунок 1): радиусом (r), наклонением (i), долготой восходящего узла (Ω), средней аномалией в эпоху(M).

Рисунок 1. Движение наноспутника по солнечно-синхронной орбите

Так как движение круговое, то [1, 2]:

                                               (1)

где u - аргумент широты;

v - угловая скорость;

E - эксцентрическая аномалия;

M - средняя аномалия.

M = n(t -t₀ ) + M₀                                              (2)

где M₀ - средняя аномалия в эпоху;

t₀ - начальный момент времени;

 t - заданный момент времени

Тогда координаты наноспутника можно вычислить по формуле:

где r - радиус;

Ω - долгота узла;

i - наклонение.

Движение космического аппарата относительно центра масс можно моделировать с помощью:

•     углов Эйлера;

•     матрицы направляющих косинусов;  

•     кватернионов.

         Углы Эйлера φ, θ, ψ определяют положение прямоугольной декартовой системы координат OXYZ относительно другой прямоугольной декартовой системы координат Oxyz с той же ориентацией (рис. 2).

Рисунок 2. К определению углов Эйлера

Пусть ОК - ось, совпадающая с линией пересечения координатной плоскости Oxyz первой системы координатной плоскостью OXYZ второй системы и направленная так, что оси Oz, OZ, OK образуют тройку той же ориентации.

Матрица направляющих косинусов представляет собой прямоугольную таблицу 3х3, элементами которой являются косинусы углов между осями исходной и подвижной систем координат (направляющие косинусы):

где a_ij – направляющие косинусы, представляют собой тригонометрические функции углов Эйлера.

Матрицу, определяющую переход от стартовой системы координат к связанной, можно найти, используя матрицы элементарных поворотов (рис. 3):

где γ  - угол собственного вращения, θ - угол нутации,  ψ - угол прецессии.

Рисунок 3. Повороты при получении матрицы направляющих косинусов

Кватернионы предоставляют удобное математическое обозначение положения и вращения объектов в пространстве. В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершенного вращения по другим осям. В сравнении с матрицами они обладают большей вычислительной устойчивостью и могут быть более эффективными [3].

Кватернион задает поворот не вокруг осей x, y, z, а вокруг любой, произвольной оси. Если повернуть космический аппарат на некоторый вектор с координатами (x, y, z) на угол φ, то кватернион, осуществляющий такой поворот, можно вычислить так:

где φ - угол поворота КА, относительно заданной оси поворота;

x, y, z - косинусы углов между осью поворота и осями исходной системы координат.

Тогда кватернион поворота на угол φ примет вид:

где - Q кватернион поворота на угол φ.

Допустим космический аппарат нужно повернуть вокруг оси x на угол φ. Тогда кватернион задающий вращение можно представить в виде:

Аналогично можно представить поворот космического аппарата вокруг осей y и z.

Кватернион поворота космического аппарата вокруг оси x в зависимости от времени t можно представить в виде:    

В завершении можно отметить, что в работе были показаны различные подходы к моделированию движения космического аппарата.

Усовершенствованная модель расчета движения наноспутника  может быть использована при изучении особенностей функционирования источников электроэнергии космического назначения, при моделировании различных источников энергии космического аппарата, а также при составлении алгоритма расчете энергобаланса космического аппарата. 

Список литературы:

1. Алексеев К.Б, Бебенин Г.Г. Управление космическими летательными аппаратами. - М.: Машиностроение. 1974. - 340 с.
2. Аксенов Е.П. Теория движения искусственных спутников земли. - М.: Наука. 1977. - 360 с.
3. Петровичев М.А. Система энергоснабжения бортового комплекса космических аппаратов: учеб. пособие / М.А. Петровичев, А.С. Гуртов. - Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та. - 88 с.