НЕКОТОРЫЕ ПРОЦЕДУРЫ АНАЛИЗА И ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ НЕЧЕТКИХ МНОЖЕСТВ

При решении различных задач управления и принятии решений часто возникает необходимость выполнение различных операций над нечеткой информацией, поскольку сложность ситуаций, прогнозной оценки, а также принятие решений приводит к необходимости оперирование с нечеткими и качественными характеристиками. При этом возможности теории нечетких множеств относительно формализации лингвистических понятий представляются весьма перспективными при исследовании указанных проблем. Использование лингвистического подхода, как правило, обусловлено функциональными построениями, которые предшествуют действиями операционного характера по строению понятий базы модельных исследований.

Построение моделей в теории нечетких множеств неразрывно связано с нечеткими моделями оптимизации и принятия решений. Если под первыми из них часто понимают модели нечеткого математического программирования, основной задачей построения которой считают поиск экстремума целевой функции, то под вторыми – выбор на заданном множестве альтернатив, который предполагает использование понятий нечеткого множества, функции принадлежности лингвистической переменной, распределение возможностей и т.д. (1) Решение указанных проблем рассматривается в плоскости специфики построения указанных функций, а также реализации операций над нечеткими числами и с самими нечетными множествами, относительно принципов их сравнения, упорядочения и учета природы нечеткости исходной информации.

Следует иметь в виду, что классический подход к принятию решений предполагает применение статистических решений, методов теории ожидаемой полезности, когда неопределенность связана с невозможностью реальной оценки предпочтения альтернативы, а также выражения предпочтения в виде бинарного отношения на различных альтернативах. Последнее основывается на понимании существования личных целей и ценностей субъектов анализа, главной из которых считается цель на достижение положительного коллективного решения с использованием отдельных предпочтений. При наличии малых групп контекст определяет защита общих интересов, сводимых, в конечном счете, к цели объекта группы, различность которой обязана учитывать нечетности состояний объектов, информационных единиц, используемых функций.

Важнейшим средством решения указанных задач считается лингвистический подход, предполагающий представление критериев и бинарных отношений средствами нечеткой логики с истинностными значениями лингвистического характера. Исследования показывают, что использование указанного подхода требует решение задач, связанных с построением функций принадлежности и механизмов обеспечения реализаций прагматических операций над нечеткими множествами и числами.

Построение функций принадлежности является важнейшей задачей теории нечетких множеств, поскольку, будучи характеристической функцией, основывается на способы формализации нечеткости. При этом сама функция принадлежности может быть построена исходя из соображений адекватности сути контекста на основе методологии понимания нечеткости. Так, сложность или неточность измерения интенсивности некоторого свойства объекта непосредственно влияет на ее задание вне зависимости от того, каковы объективные причины восприятия этого свойства экспертами.

Обеспечение целесообразности конкретной методологии оценки поддерживается различными методами, например, шкалирование, когда особое значение приобретает понятие относительного превосходства значений функций принадлежностей, характеризующее некоторое свойство. Подобная предпочтительность может объясняться технологическими, экономическими и другими объективными причинами, либо же субъективизмом экспертов. Если каждому числу хϵХ функция принадлежности ставит в соответствие вполне определенное значение из интервала [0,1], которое понимается как степень принадлежности к некоторому подмножеству А возможных решений, то можно утверждать, что μ_А(x) будучи непрерывной функцией, априорно формирует понимание близости значений функций принадлежности относительно незначительно отличающихся произвольных решений множества Х. При этом функция μ_А(x) должна соответствовать отношению <, то есть μ_А(x₁) ≤ μ_А(x₂), тогда и только тогда, когда x₁< x₂.

Задание функции принадлежности основывается на ее существующие свойства, в первую очередь, монотонности, симметричности, непрерывности первой производной и т.д., а также характеристики неопределенности, показателя размытости объекта и функциональной зависимости. Во многих случаях характеристическая функция строится в условиях нехватки информации, двусмысленности и противоречивости, в других Х – задают множество ее уровня α и степени принадлежности элементов к нечетному множеству рассчитываются на основе вероятностей выборки объектов для заданный α - уровней. Функция принадлежности строится также на основе выборки и априорной информации, содержащей ограничения характеризующие ее. При недостаточности данных для обеспечения оптимальности свойств функций используются эвристические методы их определения, а их целесообразность исследуется экспериментальными подходами. Приведём соотношения для основных видов функций принадлежности.

Пусть объекты {} характеризуются свойствами {} и признаками {f_k}(i = ̅1,̅n, j = ̅1,̅m,k = ̅1,̅l имеющими операционный смысл. Введем лингвистическую переменную, ее термы: число (очень малое, малое, среднее, большое, очень большое) и их обозначения: с(с₁, с₂, …….с₅). Пусть также исходный ряд свойств является ранжированным рядом и составляет универсальное множество Х, на котором определены нечеткие подмножества. Областью значений функций принадлежности примем отрезок [0,1] и будем считать, что нечеткое множество характеризуется случаем S нечетких множеств, задаваемых парой (Х,М), где М:Х → S. Здесь в качестве конечного линейно-упорядоченного множества примем расширенный или сжатый список термов лингвистическое переменной «Число». Произведем оценку {f_k} на основе задания функций принадлежности, что может быть осуществлено, к примеру, экспоненциальными функциями вида:

М _малое (Х) = 1 – exp  ,    М _малое (Х) = 1 – exp[-5] ,

М _{большое}  (Х) = 1 – exp  ,

Следует иметь в виду, что разработанные таким образом функции принадлежности могут быть аппроксимированы с целью повышения эффективности их использования при сложных структурах лингвистических характеристик. Использование с этой целью смещение синусоиды и подхода, основанного на аппроксимации универсального множества нечеткими подмножествами позволило получить приемлемые результаты на базе знаний исследовательской экспертной системы.

Список литературы:

1. Васильев В.М., Ильясов Б.Г. Интеллектуальные системы управления. Теория и практика. «Радиотехника», Москва, 2009.
2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. Математика сегодня. Новое в зарубежной науке, 1976, 149 с.
3. Klir G.J., Yuan B. Fuzzy sets and fuzzy logic. Theory and application. London, 1999.