ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА

Aik Arutyunyan

Postgraduate of «Tula State University», Tula

Аннотация

Разработана обобщенная динамическая модель объекта индукционного нагрева, получены динамические характеристики системы «индуктор-нагреваемое тело» с неравномерным и отличным от нуля начальным распределением тепла по сечению нагреваемого тела.

ABSTRACT

The generalized dynamic model of the object of induction heating is developed, the dynamic characteristics of the system "inductor-heated body" with uneven and different from zero initial heat distribution over the cross section of the heated body are obtained.

Ключевые слова: удельная теплоемкость, обобщенные динамические модели, удельная мощность тепловых потерь, ионистор, массогабаритные характеристики, переменные величины.

Keywords: specific heat, generalized dynamic models, specific power of heat losses, ionistor, weight and size characteristics, variable values.

Процесс индукционного нагрева стальных тел описывается системой дифференциальных уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей. Это система, описываемая нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, так как физические свойства стали зависят от температуры и напряженности магнитного поля. Для аналитического решения этой системы уравнений приходиться делить процесс нагрева на температурные интервалы, в каждом из которых физические свойства стали, принимаются постоянными. [1, с. 20] Ступенчатая аппроксимация температурной зависимости свойств стали позволяет раздельно решить уравнение теплопроводности и систему уравнений Максвелла.

В настоящее время многие задачи математической физики решаются с использованием теории обобщенных переменных. Влияние отдельных факторов, представленных различными величинами, проявляется не порознь, а совместно. Поэтому целесообразно рассматривать не эти отдельные величины, а их совокупности или комплексы, имеющие определенный физический смысл. Переход от обычных физических величин к величинам комплексного типа, которые составлены из тех же величин, но в определенных сочетаниях, создает важные преимущества. Прежде всего, происходит уменьшение числа переменных. Кроме того, новые переменные обладают и другим преимуществом. Заданное значение комплекса величин может быть получено как результат множества различных комбинаций величин, входящих в этот комплекс. Это значит, что при рассмотрении задачи в новых переменных исследуется не единичный случай, а бесчисленное множество различных случаев, объединенных некоторой общностью средств.

В теории обобщенных переменных различают безразмерные величины: критерии подобия и безразмерные переменные. Критерии подобия, состоящие из постоянных безразмерных параметров задачи, могут быть двух видов. Критерии подобия параметрического типа представляют собой отношение одноименных параметров, заданных по условию задачи. Критерии комплексного типа объединяют разнородные параметры. Относительные переменные являются отношением переменной величины к постоянному параметру или к их комбинации. Если параметр, соответствующий данной переменной, не задан, то строится комплекс, состоящий из переменной и ряда разнородных параметров. Такие переменные комплексного типа называются числами [2, с. 152].

Приведем числа, критерии подобия и относительные переменные, а также теплофизические константы, которые в последствии будут неоднократно использованы:

l - коэффициент теплопроводности;

с – удельная теплоемкость;

a - коэффициент температуропроводности;

 - критерий Кирпичева;

 - критерий Померанцева;

  - число Фурье;

  - относительный радиус цилиндра;

  - относительная температура,

где q_c - поверхностная удельная мощность;

R - внешний радиус цилиндра;

r - расстояние от оси цилиндра, изменяющееся в интервале [0;R];

w - удельная объемная мощность внутренних источников тепла;

t - время нагрева;

T(r,t) - температура в точке с радиальной координатой r в момент  времени t;

T_c - температура тела в конце нагрева;

T₀ - начальная температура тела.

Любой процесс нагрева заготовки из магнитной стали до температуры выше точки магнитных превращений (точки Кюри) можно разделить на два основных этапа: «холодный», ниже точки Кюри и «горячий», выше точки Кюри, а также один промежуточный этап, который начинается, когда поверхность изделия достигает температуры магнитных превращений и заканчивается в момент распространения ее на слой металла, лежащий на расстоянии от поверхности изделия, равном глубине проникновения электромагнитного поля в сталь, потерявшую магнитные свойства.

Каждый из этих этапов характеризуется своим законом распределения внутренних источников тепла. В холодном режиме плотность индуктированного тока уменьшается вглубь по линейному закону, при этом функция распределения внутренних источников тепла по сечению цилиндра имеет вид:

                                (1)     

где:  ;

х₁ - расстояние от поверхности цилиндра до слоя металла, где плотность  тока равна нулю;

q_c(t) - поверхностная удельная мощность.

Функция распределения внутренних источников тепла в горячем режиме имеет вид:

                                   (2)

где: D - глубина проникновения электромагнитного поля в парамагнитный металл;

ber z, bei z, ber^/z, bei^/z - функции Кельвина и их первые производные.

Из-за отражения электромагнитной энергии от слоев металла, еще сохраняющих ферромагнитные свойства, в промежуточном режиме форма кривой распределения плотности индуктированного тока близка к ступенчатой. С достаточной для теплового расчета точностью можно считать, что в промежуточном режиме источники тепла распределены с равномерной плотностью в некотором поверхностном слое толщиной ξ, а за пределами этого слоя отсутствуют. Если обозначить , то функция распределения внутренних источников тепла в промежуточном режиме имеет вид:

                                                         (3)

Как видно из выражений (1) - (3), вид функции распределения внутренних источников тепла на различных этапах нагрева заготовки из магнитной стали до температуры выше точки Кюри претерпевает существенные изменения. Следовательно, оценку динамических свойств нагреваемого тела как объекта автоматического управления нужно производить для каждого из этапов в отдельности. Особенно важно такую оценку произвести для холодного и горячего режимов нагрева, каждый из которых может иметь вполне самостоятельное значение.

Процесс распространения тепла в стальном цилиндре при нагреве в футерованном индукторе с учетом внутренних источников тепла описывается неоднородным дифференциальным уравнением Фурье

,                                                (4)

где:  g - плотность тела, а также начальными условиями в виде некоторой функции распределения тепла по сечению цилиндра в начале нагрева,

T(r, 0)=f (r)                                                                                         (5)

и граничными условиями вида:

                                                                           (6)

                                                                 (7)

где q₀(t) - удельная мощность тепловых потерь.

Совместное решение тепловой задачи при краевых условиях (5)-(6), полученное с использованием конечного интегрального преобразования Ханкеля и дифференциальных уравнений Максвелла и Фурье для электромагнитного и температурного полей получим решение задачи. При переходе к обобщенным переменным и, преобразовав данное решение по Лапласу, получаем в операторной форме связь температуры тела в точке с относительной радиальной координатой β с мощностью внутренних источников тепла, являющейся управляющим воздействием, с мощностью тепловых потерь, а также с составляющей от адиабатического выравнивания начального распределения тепла по сечению нагреваемого цилиндра, которые являются возмущающими воздействиями.

Динамическая модель представляет собой параллельное соединение интегрирующего и апериодических звеньев. В соответствии с полученным выражением были рассчитаны параметры обобщенных динамических моделей при различных распределениях внутренних источников тепла, которые позволяют производить синтез системы автоматического управления электротермическим режимом индукционных нагревательных установок с широким диапазоном габаритов нагреваемых объектов.          

Список литературы: