МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ В ФИЗИКЕ И МАТЕМАТИКЕ

METHODS FOR SOLVING PROBLEMS IN PHYSICS AND MATHEMATICS

Elmira Galiakbarova

4th year student, faculty mathematics and information technology, Sterlitamak branch of Bashkirstate University,

Russia, Sterlitamak

Guzel Voistinova

сandidate of pedagogical Sciences, associate Professor, Sterlitamak branch of Bashkirstate University,

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматриваются задачи по математике и физике и их связь при решении.

ABSTRACT

This article discusses problems in mathematics and physics and their relationship in solving them.

Ключевые слова: решение задач, геометрическая модель, зависимость.

Keywords: problem solving, geometric model, dependency.

Трудности при решении задач по физике связаны не только с недостаточным знанием и пониманием физических явлений и законов, но и с недостатком у учащихся математических средств (методов, моделей и др.). Первая часть работы посвящена задачам на прямо и обратно пропорциональные зависимости, предлагаются нестандартные математические модели. Во второй части рассматриваются задачи на наименьшие и наибольшие значения, обращается внимание на использование широкоизвестных в математике теорем и выбор различных способов решения.

I. Прямо пропорциональная зависимость

(y = kx, где k = const)

В качестве геометрической модели в этом случае можно использовать ряд подобных треугольников и пропорциональных отрезков:

 и т.п.

, или  и т.п.

Задача 1. Поезд проехал с постоянной скоростью мимо светофора за t = 5 с, а мимо платформы длиной L = 150 м за T = 15 с. Каковы длина поезда l и его скорость ?

Решение

1-й способ (подобие треугольников):

2-й способ (пропорциональность отрезков):

Задача 2. Нагревательный элемент электрического чайника имеет две секции. При включении первой секции вода в чайнике закипает за t₁ = 10 мин, а при включении второй секции – за t₂ = 40 мин. Через какое время закипит вода, если обе секции включить последовательно? параллельно?

Решение

где  – коэффициент пропорциональности.

 R₂ = 4R₁.

При последовательном соединении

 t₁' – 10 = 40 (мин); t₁' = 50 мин.

При параллельном соединении

 t₂' = 8 мин.

Задача 3. Когда груз, совершавший колебания на вертикальной пружине, имел массу m1, период его колебаний был равен T₁ = 4 с, а когда его масса стала равной m₂, период увеличился до T₂ = 5 с. Каким будет период T, если масса груза будет равна m = m₁ + m₂? Массы m₁ и m₂ неизвестны.

Решение

где  – коэффициент пропорциональности.

II. Обратно пропорциональная зависимость

(y = , или x • y = k, где k = const)

Графиком обратной пропорциональности является гипербола. Из равенства xy = k имеем

x₁y₁ = x₂y₂ = x_ny_n, а геометрически – ряд равновеликих прямоугольников.

Если x₁y₁ = x₂ y₂, то (x₂ – x₁)y₂ = x₁(y₁ – y₂) (заштрихована общая часть двух площадей S, при этом S₁ = S₂).

Задача 4. За одинаковое время один математический маятник делает N₁=50 колебаний, а второй N₂=25 колебаний. Найдите их длины l₁ и l₂, если один короче второго на l = 33 см.

Решение

Видно, что квадрат числа колебаний обратно пропорционален длине маятника.

(502 – 252)l1 = 252 • 0,33; 75 • 25 • l1 = 252 • 0,33; l =   = 0,11 (м).

Аналогично находим l₂ = 0,44 м.

Задачи на наименьшие и наибольшие значения

Рассмотрим несколько математических теорем и примеры их использования при решении задач по физике.

Теорема 1. Произведение двух положительных сомножителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей.

Теорема 2. Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равенстве слагаемых.

Обе теоремы рассматриваются в виде задач (иногда доказываются) при изучении производной в старших классах. Они несложно доказываются средствами элементарной математики несколькими способами. Приведём одно из них для теоремы 1.

Пусть данное число равно a, одно слагаемое x, другое a – x. Сравним произведения  и x • (a – x):

 – x(a – x) =  – ax + x2 =  

Итак,   x (a – x).

Простейший пример из физики.

Два точечных электрических заряда q₁ = 4 мкКл и q₂ = 10 мкКл находятся на расстоянии r. Как перераспределить заряды, чтобы сила взаимодействия между ними была наибольшей?

Решение

F = k; q1 + q2 = 14 мкКл = const.

Fmax будет при равенстве зарядов, следовательно, нужно от заряда q₂ отнять 2 мкКл и передать заряду q₁.

Таким образом, мы видим, что математика помогает физике. Знание простейших математических приёмов облегчает решение физических задач.

Список литературы:

1. Пойа Д. Как решать задачу: Пособие для учителей. – М.: Учпедгиз, 1961.
2. Спажакин В.А., Пересторонина Е.Б. Согласованное преподавание физики и математики. Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий: Материалы международной конференции и Российской научной школы. Ч. 8, кн. 3. – М.: Радио и связь, 2002.