МОДЕЛИРОВАНИЕ ТРАНСПОРТА ПОВЕРХНОСТНЫХ ПЛЕНОК В ВОДНОЙ СРЕДЕ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПАКЕТА FREEFEM++

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлен метод математического моделирования транспорта поверхностных пленок в водной среде на заданной геометрии. Была смоделирована область, на которой происходил расчет. В качестве источника был выбран остров, из которого вытекала примесь в водную среду. Получена математическая модель на основе законов сохранения сплошной среды, позволяющая применить метод конечных. Для решения данной задачи использовался программный пакет FreeFEM++.

Ключевые слова: полный поток скорости течения; «мелкая вода»; перенос и диффузия пассивной примеси, вариационная постановка, регуляризационная задача, конвективный оператор.

В ходе решения задача обезрамеривалась. Выписывалась вариационная постановка для уравнений компонент скоростей течения и регуляризационной задачи, которая вводилась из-за рельефного дна.

Рисунок 1. Геометрия прибрежной зоны

Рисунок 2. Геометрия дна

Система уравнений «мелкой воды», учитывающая осреднение по времени и по глубине, полученные из законов сохранения сплошной среды

 – объем воды, поступающий из внутренних источников за единицу времени;

 – коэффициент горизонтального турбулентного обмена;

 – плотность воздуха ;

 – плотность воздуха ;

 – коэффициент трения;

 – коэффициент придонного трения;

 – параметр Кореолиса;

Уравнение переноса и диффузии пассивной примеси на мелкой воде

 – функция, описывающая источники и стоки;

 – параметр неконсервативности смеси;

 – коэффициент горизонтальной турбулентности.

Распишем вариационную постановку задачи.

1. Уравнение движения «мелкой воды» для первой компоненты скорости

2. Уравнение движения «мелкой воды» для второй компоненты скорости

3. Уравнение переноса и диффузии пассивной примеси на мелкой воде

4. Уравнение толщины слоя жидкости регуляризационной задачи

Запишем вариационное уравнение для равенства 1

Пусть  Полную производную по времени аппроксимируем в следующем виде:

Используя формулу Гаусса-Остроградского, учитывая граничные условия и выделяя билинейную часть получим

Аналогично получим вариационные уравнения для равенств 2 и 3

Запишем вариационное уравнение для равенства 4

Пусть  Использовав оператор конвекции, формулу Гаусса-Остроградского и выделяя билинейную часть получим

Далее будут представлены графики двумерного вектора скорости.

Рисунок 3. Вектор скорости в начальный момент времени

Рисунок 4. Вектор скорости в конечный момент времени

В начальный момент направление ветра не сильно влияет на поведение движения течения, но в конечный момент уже видно, что течение движется по направлению ветра. Также скорости течения принимают максимальные значения в более глубоких местах. Из-за трения в конечный момент времени скорости течения уменьшились.

Также были проведены такие же процедуры, но с другими геометриями для тестов. Для первого и второго теста убирается остров и изменяется дно.

Графики для первого теста:

Рисунок 5. Вектор скорости в начальный момент времени

Рисунок 6. Вектор скорости в конечный момент времени

Помимо таких же изменений, как и в исходной геометрии, между графиками с начальным и конечным моментом. В конечный момент времени в этом тесте из-за отсутствия островка, на входе скорости течения принимают относительно большие значения. Также как и на сужении, собственно, это происходит из-за самого этого сужения и небольшого углубления в этом месте.

Во втором тесте помимо изменений из выше, сказанных также изменяется направление ветра в обратную сторону.

Графики для второго теста:

Рисунок 7. Вектор скорости в начальный момент времени

Рисунок 8. Вектор скорости в конечный момент времени

Этот тест отличается от первого тем, что в конечный момент времени поведение движения течения меняется из-за изменения направления ветра.

Третий тест будет отличаться от исходной задачи только тем, что дно будет плоское.

Графики для третьего теста:

Рисунок 9. Вектор скорости в начальный момент времени

Рисунок 10. Вектор скорости в конечный момент времени

В этом тесте скорости сильно не меняются из-за плоского дна. Также стоит отметить из-за островка идет резкое понижение скорости течения.

В данной работе строится модель, благодаря которой можно будет предсказать поведение и скорость распространения нефти в водной среде. Можно будет составить план действий в чрезвычайных ситуациях для очистки и предотвращения распространения нефти. Построенная модель поможет в исследовании какой-нибудь местности, где будет похожая проблема. Таким образом можно будет спрогнозировать скорость и последствия загрязнения. А также снизить угрозы для жизни в этой области исследования.

Список литературы:

1. Василенко Е. К. Проблема загрязнения Мирового океана как составляющая часть глобальной экологической политики // МГИМО МИД России. – 2017. – 1 января. – 18 с.
2. Исмагилов, Р. Р. Проблема загрязнения водной среды и пути ее решения // Молодой ученый. – 2012. – № 46. – С. 127-129.
3. Леонов А. В. Моделирование природных процессов на основе имитационной гидроэкологической модели трансформации соединений C, N, P, Si / А. В. Леонов. – Южно-Сахалинск: Издательство СахГУ, 2012. – 1-148 c.
4. МАКОСКО А. А. Теоретические основы защиты окружающей среды: Конспект лекций. - М.: МИИТ, 2002. – 1-88 с.
5. Li D., Tang X., Li Y., Wang X., Zhang H. Mathematical Modeling of Marine Oil Spills in the Luanjiakou District, near the Port of Yantai // Hindawi. Discrete Dynamics in Nature and Society, 2018. P.1-22.
6. Pinho J. L. S., Antunes do carmo J. S., Vieira J. M. P. Mathematical Modelling Of Oil Spills In The Atlantic Iberian Coastal Waters // WIT Press. 2004. Vol. 68. P.1-11.