ТРАЕКТОРИИ ЖИДКИХ ЧАСТИЦ ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЖИДКОСТИ В НЕЛИНЕЙНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

В работе рассматривается распространение поверхности волн в поляризующейся жидкости конечной толщины. Получено выражение для траектории частицы диэлектрической жидкости. Найдено выражение для переносной скорости Стокса и фазовой скорости волн. Показано, что наибольшее значение переносной скорости достигается на свободной поверхности жидкости, а наименьшее – на твердой нижней обкладке конденсатора. Исследована переносная скорость для данной краевой задачи. Показано, что переносная скорость убывает при возрастании электрического поля.

Уравнение движения диэлектрических сред, взаимодействующих с электрическим полем, приводят в работах [2, 3, 5]. Вывод граничных условий для электрических величин и исследование поверхностных явлений в диэлектрических средах приводят в [2, 4, 5, 6,7]. Работа [1] посвящена электрогидродинамическому распылению как диэлектрических, так и электропроводящих жидкостей при помощи электрического поля, а также она содержит краткий теоретических анализ проблем и подробный обзор методов распыления жидкости, применяемой в современных технических устройствах и технологических процессах.

Исследование волновых процессов на поверхности жидкости в приложенном электрическом поле представляет интерес с точки зрения технических и технологических использований диэлектрических и электропроводящих струй. Здесь важно предотвратить преждевременное разрушение струй и создать способы их стабилизации. Всестороннее исследование струйных течений проведено в работах [9, 10].

Примером практического использования теории волновых процессов на поверхности жидкости в электрическом поле служит анализ явлений на линиях высокого напряжения при неблагоприятных погодных условиях. На поверхности пленки жидкости, обволакивающей провод, возникают волны, неустойчивость которых приводит и разрыву пленки электрическими силами. Острие вершины, образуемые возмущениями на поверхности жидкости, становятся местами разряда.

Рассматривается распространение поверхностных волн в поляризующейся жидкой среде, находившейся в электрическом поле конденсатора, к обкладкам которого приложена разность потенциалов. Слой жидкости конечной толщины граничит с атмосферой. Из уравнений движения жидкости, уравнений Максвелла для электрического поля в жидкости и в атмосфере, а также граничных условий для кинематических, динамических и электрических величин на свободной поверхности жидкости и на обкладках конденсатора получим выражения для скорости частиц жидкости, фазовой скорости волн [8].

Определим траекторию частиц поляризующейся жидкости при распространении волны. Обозначим x*(t*), z*(t*). Координаты частиц жидкости, которые удовлетворяют уравнениям

                              ,  .                                           (1)

Вводя безразмерное время ,  получаем следующие уравнения

                              ,      ,                                   (2)

, ,

где  - частота колебаний частицы жидкости, c – фазовая скорость,  - волновое число, λ – длина волны.

В выражениях для компонент скорости принимаем . Подставляя следующие ряды (3)

                                       ;

                                         ;                                          (3)

в уравнения (2) и учитывая разложение функций в ряды Тейлора

,

,

а также разложения cos x  и sin x будем иметь

 ,  ,      ,    ,

,

,

,

.

Решая систему уравнений (4) с учетом периодичности  (i =1,2,3), находим

            ;                                                                        

,

,   ;                                                 (5)

,

,

;

,

.

Собирая все приближения, записываем  безразмерный кинематический закон движения частицы жидкости, имевшей в состоянии покоя безразмерные координаты a, b:

,                                             (6)

.

Переход к размерным выражениям осуществляется посредством соотношений    .

Выражение для переносной скорости Стокса имеет вид

,                                             (7)

.

Наибольшего значения достигается на свободной плоскости при

         ,

наименьшего – на твердой поверхности при  или нижней обкладке конденсатора  .

Наличие поверхностного натяжения приводит к увеличению , по сравнению с его отсутствием. При увеличении электрического поля  убывает и обращается в нуль при значении ,  для которого

при этом поле в атмосфере  находится из равенства

Введем два безразмерных параметра взаимодействия, характеризующих относительную величину капиллярных и электрических сил по сравнению с гравитационными

                       ,            .                            (8)

При , что соответствует коротким волнам выражение (7) принимает вид . При , когда волны длинные, выражение (7) принимает вид

,

где g - ускорение свободного падения.

В нелинейных волнах период колебаний частицы  превышает период волны , так как .

Это различие периодов не зависит от поверхностного натяжения и электрического поля, и определяется исключительно высотой волны δ, глубиной частицы жидкости . В линейном приближении .

В нелинейном приближении траектория частицы разомкнутая, что приводит к наличию переносной скорости. Однако в линейном приближении траектория замкнута. Найдем ее вид. Запишем в линейном приближении координаты частицы жидкости в виде:

,

.

В размерных обозначениях имеем

,                 (9)

,

,

,  ,

где  - максимальная амплитуда.

Из (9) следует, что частица движется по эллипсу с полуосями А и В, отношение которых равно

Отношение А/В минимально при  или на свободной поверхности.  при . Таким образом, на твердой поверхности эллипс вырождается в отрезок прямой, параллельной дну. Полуоси А и В не зависят от поверхностного натяжения, электрического поля и других параметров среды. Однако скорость движения частицы жидкости по траектории зависит от поверхностного натяжения и электрического поля, поскольку . Отсюда следует, что при увеличении поверхностного натяжения скорость частицы увеличивается, а при увеличении электрического поля - уменьшается и обращается в нуль при том же значении , при котором . Таким образом, изменяя величину электрического поля  можно регулировать интенсивность движения частиц жидкости. Электрическое поле дает возможность регулировать интенсивность протекания процессов в жидкостях, в том числе и в состоянии невесомости при .

Список литературы:

1. Кожевников В.И., Фукс Н.Ф. Электрогидродинамическое распыление жидкости. Успехи химии. 1976. Т. 45, Вып. 12.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1982.
3. Левич В.Г. Физико-химическая гидродинамика. М.: ГИМФЛ, 1959.
4. Мелчер Дж., Тейлор Дж. Электрогидродинамика: обзор роли межфазных касательных напряжений. Механика: Сб. переводов. 1971.
5. Мелчер Дж. Электрогидродинамика. Магнитная гидродинамика 1974
6. Орешкин П.Т. Физика полупроводников в диэлектриков. М.: Высшая школа, 1977.
7. Рубашов И.Б., Бортников Ю.С. Электрогазодинамика. М.: Атомиздат, 1971.
8. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1976
9. Kant R., Malik S.K. Nonlinear electrodydrodynamic instability of a get. Quart. Appl. Math. 1986
10. Taylor G. Electrically driven gets. Proc. Roy. Soc. Lond. 1969.