МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

​АННОТАЦИЯ

Математическое моделирование является основой для интенсивно разрабатываемых автоматизированных систем проектирования, управления и обработки данных. Возможности, которые открывает математическое моделирование, являются перспективными и заслуживают детального рассмотрения. В данной статье представлен пример составления силовой схемы и составления уравнений и связей.

Ключевые слова: математическое моделирование, силовая схема, упругие связи, упруго-диссипативные связи, колебания галопирования.

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование позволяет рассмотреть возможные режимы работы системы до создания реальной системы или возникновения реальной ситуации, выбрать оптимальные управляющие воздействия, составить объективный прогноз будущих состояний системы. Вычислительные эксперименты на основе математических моделей помогают увидеть за частным общее, развивают универсальные методы анализа объектов различной физической природы, познают свойства изучаемых процессов и систем.

1 МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Под моделью обычно понимают материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе познания замещает объект — оригинал, сохраняя некоторые важные его черты [1]. Каждый изучаемый процесс можно описать различными моделями, при этом ни одна модель не может сделать это абсолютно полно и всесторонне. Однако использование упрощенной модели, отражающей отдельные черты исследуемого объекта, позволяет яснее увидеть взаимосвязь причин и следствий, входов и выходов, быстрее сделать необходимые выводы, принять правильные решения [2].

Среди целей моделирования можно выделить следующие:

• понять, как устроен конкретный объект: какова его структура, внутренние связи, основные свойства, законы развития, саморазвития и взаимодействия с окружающим миром;
• научиться управлять объектом или процессом, определить наилучшие способы управления при заданных целях и критериях;
• прогнозировать прямые и косвенные последствия реализации заданных способов и форм воздействий на объект.

Модель может быть представлена различными способами. В широком смысле модель определяют как отражение наиболее существенных свойств объекта. При этом требования к модели определяются решаемой задачей и имеющимися средствами. Существует ряд общих требований к моделям: адекватность – достаточно точное отображение свойств объекта; полнота – предоставление получателю всей необходимой информации об объекте; гибкость – возможность воспроизведения различных ситуаций во всем диапазоне изменения условий и параметров; трудоемкость разработки должна быть приемлемой для имеющегося времени и программных средств.

Математическое моделирование – процесс установления соответствия реальной системе математической модели и исследование этой модели, позволяющее получить характеристики реальной системы.

2 СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ СИЛОВОЙ СХЕМЫ

Рассмотрим пример составления силовой схемы. Она содержит конструктивно-силовые элементы, обеспечивающие требуемую прочность и жёсткость конструкции, показывает схему их расположения и взаимосвязи. Силовая схема представлена на рисунке 1.

Рисунок 1. Силовая схема

После чего составляются дифференциальные уравнения. В данном случае математическая модель состоит из 5 дифференциальных уравнений 2-го порядка. Для примера рассмотрим уравнения для тела №1.

Дифференциальное уравнение для тела № 1 в направлении координаты q₁ (колебания подпрыгивания) представлено ниже:

13. ₁₁ – P₄ – P₃ – P₂ + R₂ + R₁ = 0,                                                                         (1)

где  масса тела №1 (центр масс тела № 1);   координата, характеризующая центр масс тела № 1;  ускорение в направлении  тела № 1; реакция пружины № 4, 3 и 2;    реакция опоры на тело №1.

Дифференциальное уравнение колебаний галопирования тела №1 в направлении угловой координаты Ψ₁ представлено ниже:

1.  + R₁L₁ – R₂L₂ – P₂S₂ + P₄S₁ = 0,                                                                  (2)

где  – массовый момент инерции тела №1 (характеризует сопротивление перемещения в угловом направлении); Ψ₁ – угловая координата перемещения тела №1;  – угловая координата ускорения в направлении Ψ₁ тела №1; расстояние между центром масс тела №1 и пружиной №2;  расстояние между центром масс тела №1 и пружиной №1;   реакция опоры на тело №1; , реакция пружины №4;S₂  расстояние между пружиной №4 и №3; S₁  расстояние между пружиной №4 и №5.

В представленной схеме имеются и упругие, и упруго-диссипативные связи. Упругие связи — это податливые связи, которые не отнимают степеней свободы, но создают реакции, пропорциональные перемещениям точки присоединения этой связи в направлении этой связи. Упругие связи допускают конечные смещения вдоль упругой связи. Упруго-диссипативные связи — это связи, которые сочетают в себе как упругие элементы для смягчения динамических нагрузок, так и гасители колебаний, обеспечивающие затухание колебаний подрессоренных масс экипажа путём создания силы неупругого сопротивления перемещению и рассеиванию полученной энергии. Например, такие связи используются в системах подвешивания ходовых частей подвижного состава рельсового транспорта.

К примеру, в элементе №2 возникают упруго-диссипативные связи, которые характеризуются следующим выражением:

P₂ = С₂ Δ₂ + β_{2 2,}

где P₂ реакция упруго-диссипативного элемента №2; С₂ коэффициент жёсткости элемента №2; Δ₂  деформация элемента №2; ₂ динамический прогиб элемента №2; β₂ коэффициент вязкого трения элемента №2.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, в данной работе описано математическое моделирование и приведен пример составления реакций упругих связей, выражений для определения деформаций упругих элементов.

Список литературы:

_1.Основы математического моделирования: учебное пособие / С.В. Звонарев. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 112 с;

2.Пономарев, В.Б. Математическое моделирование технологических процессов : курс лекций / В.Б. Пономарев, А.Б. Лошкарев.— Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУУПИ, 2006.— 129 с;