МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОЛЕВОГО ТРАНЗИСТОРА С УПРАВЛЯЮ-ЩИМ P-N ПЕРЕХОДОМ ДЛЯ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОННЫХ УСТРОЙСТВ С ПО-МОЩЬЮ ПК

Построение математических моделей электронных приборов является весьма актуальной задачей, поскольку позволяет производить расчеты типовых устройств электроники с помощью современных программных пакетов, существенно уменьшая время, затрачиваемое на получение опытного образца проектируемого устройства. Кроме того, адекватные математические модели типовых электронных узлов позволяют получить алгоритмы проверки работоспособности всего устройства или диагностики его отдельных узлов. Все вышесказанное объясняет активный интерес к исследованию возможностей для математического описания современных электронных приборов при помощи программных пакетов [1-5] и делает их востребованными в самых различных областях современной электроники.

В связи с вышесказанным полученная в настоящей работе математическая модель полевого транзистора с управляющим p-n переходом может быть востребована как в области прикладной математики, так и в области проектирования устройств диагностики самого широкого спекта электронной аппаратуры.

Целью настоящей работы является создание математического алгоритма, позволяющего определять силу тока стока полевого транзистора с управляющим p-n переходом при заданных напряжениях затвор – исток и сток – исток как функции от двух переменных I_С(U_ЗИ,U_СИ) для всего рабочего диапазона напряжений и токов данного транзистора.

Как известно, стоковые характеристики полевых транзисторов имеют две области: начальную, в которой ток стока имеет квадратичную зависимость от напряжения сток – исток, и линейную, в которой величина тока определяется величиной дифференциального сопротивления канала R_ДИФси [6,7]. При этом величина R_ДИФси является функцией от напряжения затвор – исток, поскольку угол наклона линейных участков стоковых характеристик повышается при отпирании транзистора.

Таким образом, искомая функция I_С(U_ЗИ,U_СИ) должна состоять из двух участков, описываемых следующими математическими выражениями:

В выражениях (1) и (2) коэффициенты A₀ и A₁, а также величина R_ДИФси являются функциями от напряжения затвор – исток, характер которых будет установлен позже.

Для определения искомых функций I_{С (1)} и I_{С (2)} был выбран широко известный в прикладной математике метод математической регресси, позволяющий осуществлять поиск непрерывных аналитических функций по известным массивам экспериментальных данных [8.

Как известно из [8], если некий набор точек y_{k экс}(x_k), полученный экспериментальным способом, можно представить с допустимой для инженерных расчетов точностью в виде полинома n-й степени вида

то искомые коэффициенты A₀,…A_N могут быть определены методом наименьших квадратов путем решения следующей СЛАУ:

где K – объем массива экспериментальных данных.

В результате применения метода математической регрессии к экспериментально измеренным стоковым характеристикам нескольких транзисторов была получена следующая математическая модель.

Для нелинейных участков, для различных значений U_ЗИk было установлены следующие закономерности для коэффициентов A₀, A₁, A₂: коэффициент A₀ пренебрежимо мал и может быть не включен в искомую функциональную зависимость; коэффициент A₁ имеет линейную зависимость от напряжения U_ЗИ; коэффициент A₂ практически не изменяется и может быть принят константой для конкретного типа транзистора.

На основании полученных закономерностей кривые для нелинейных участков стоковых характеристик имеют вид:

где коэффициенты a₁ и a₂ были определены методом математической регрессии в предположении линейной зависимости A₁(U_ЗИ) в соответствии с СЛАУ, представленной в выражении (4), для N = 1.

Для линейных участков кривые имеют вид:

Как видно из (6), дифференциальное сопротивление канала само является функцией от напряжения затвор – исток. Проведенные с этой зависимостью компьютерные эксперименты показали, что адекватное представление этой функции возможно только полиномом 4-й степени. Вид функции R_СИдиф(U_ЗИ) показан на рис. 1.

Таким образом, функция R_СИдиф(U_ЗИ) может быть представлена в следующем виде:

Напряжение U_Снач и соответсвующий ему ток I_Снач берутся на границе 1-го и 2-го участков и их значения могут быть определены из (5) при замене U_СИ = U_отс – U_ЗИ в начальной точке линейного участка:

Программа расчета функции I_С(U_ЗИ,U_СИ), выполненная в приложении MathCad для транзистора NDF9410, приведена на рис. 2.

Рис. 1 Экспериментально определенная зависимость R_СИдиф (U_ЗИ)

Рис. 2 Программа расчета функции I_С(U_ЗИ,U_СИ), выполненная в приложении MathCad для транзистора NDF9410 (z – ток стока; x и y – напряжения затвор – исток и сток – исток соответственно).

На рис. 2 показаны кривые стоковых характеристик, полученные с помощью приведенного алгоритма для некоторых значений напряжений затвор – исток.

Рис. 2 Кривые стоковых характеристик, полученные с помощью разработанного алгоритма для некоторых значений напряжений затвор – исток (переменные z, x, y имеют тот же смысл, что и для рис. 1).

Таким образом, поставленная в работе прикладная математическая задача решена.

В качестве апробации полученной математической модели были решены две практические задачи, часто встречающиеся в аналоговой электронике: расчет сопротивления в цепи истока R_И для создания заданного напряжения смещения U_СИ0 в схеме с общим истоком (при этом напряжение питания U_П и сопротивление в цепи стока R_С считаются известными) и задача об отыскании напряжения на выходе электронно-управляемого делителя напряжения, собранного на полевом транзисторе по схеме с общим истоком. Соответствующие этим задачам электрические схемы приведены на рис. 3.а и 4.б.

Первая из приведенных задач сводится к решению нелинейного уравнения относительно напряжения U_ЗИ. Эта задача была решена при помощи программного пакета MathCad методом дихотомии [9]. Решение второй задачи сводится к решению системы двух нелинейных уравнений относительно напряжений U_ЗИ и U_СИ. Эта задача была решена методом Ньютона [9]. Листинги этих программ показаны на рис. 4 и 5 соответственно.

Полученные решения показали хорошее совпадение с экспериментом: погрешности напряжений U_СИ составляли не более 0,1 В, а напряжений U_ЗИ – не более 0,02 В, что говорит в пользу применимости полученной модели для решения практических задач электроники.

Рис. 3 Электрические схемы, соответствующие задачам о расчете цепи автоматического смещения (а) и напряжения на выходе элеткронно-управляемого делителя напряжения.

Рис. 4 Программа поиска величны напряжения смещения, реализованная методом дихотомии

Рис. 5 Программа для вычисления выходного напряжения электронно-управляемого делителя напряжения, реализованная методом Ньютона

Полученная математическая модель показывает возможность описания поведения нелинейных электронных приборов при помощи метода математической регрессии, основанного на сериях экспериментальных измерений статических характеристик данных приборов при достаточно больших массивах данных. Таким образом, получение численных значений для коэффициентов выбранного типа прибора может быть автоматизировано на всех этапах, включающих в себя автоматизированное электронное устройство, осуществляющее снятие серии статических характеристик и описанный алгоритм подбора коэффициентов полиномов, позволяющий составить необходимый набор математических функций.

Список литературы:

1. Калиенко И.В. Аппроксимация вольтамперных характеристик полевых транзисторов на основе кубических сглаживающих сплайнов // Измерительная техника. Май, 2001. с. 60-63.
2. В.Л. Чечурин, Н.В. Коровкин, А.С. Адалев. Идентификация и оптимизация электромагнитных параметров электротехнических устройств: учеб.-метод. пособие / В. Л. Чечурин [и др.] – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. – 202 с.
3. А.С. Адалев, Н.В. Коровкин, О.В. Фролов, В.С. Чудный. Свойства и методы решения обратных задач электротехники и электроэнергетики: учеб. пособие / А.С. Адалев [и др.] – СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2010. 217 с.
4. Воржев В.Б., Калиенко И.В. Применение математической регрессии для определения параметров трехфазного асинхронного двигателя // Вестник ДГТУ. -  2013. - № 5/6 (74).
5. Воржев В.Б., Балдин О.В., Рогов И.Е. Аппроксимация вольт-амперных характеристик полевых транзисторов экспоненциальными кривыми с полиномиальными показателями // Современные проблемы науки и образования [Электронный ресурс]: электрон. науч. журн. – 2015. - №2. Режим доступа: http://www.science-education.ru/129-21621.
6. Дьюб Динеш С. Электроника: схемы и анализ. Москва: Техносфера, 2008. – 432 с.
7. М.Х. Джонс. Электроника – практический курс. Москва: Постмаркет, 1999. – 528 с.
8. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. Пособие. – 12-е изд., перераб. – М.: Высшее образование, 2006. – 479 с.
9. Численные методы. Сборник задач: учеб. пособие для вузов / В. Ю. Гидаспов, И. Э. Иванов, Д. Л. Ревизников и др.; под. ред. У. Г. Пирумова. – М.: Дрофа, 2007. – 144 с.