МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

METHODS FOR SOLVING PLANIMETRIC PROBLEMS

Galiakbarova Elmira Khamidullovna

The student of 4 course, faculty Mathematics and information technology Sterlitamak branch of the BashkirState University

Russia, Sterlitamak

Voistinova Gyuzel Khamitovna,

candidate of pedagogical Sciences, associate Professor faculty Mathematics and information technology Sterlitamak branch of the BashkirState University

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

Решение геометрических задач вызывает сложности у многих обучающихся. Это связано с обилием различных типов задач, а также с разнообразием приемов и методов их решения. Данная статья посвящена методам решения планиметрических задач.

ABSTRACT

Solving geometric problems is difficult for many students. This is due to the abundance of different types of problems, as well as a variety of techniques and methods for solving them. This article is devoted to methods for solving planimetric problems.

Ключевые слова: методы решения задач, планиметрические задачи, аналитический и синтетический методы.

Keywords: methods for solving problems, planimetric problems, analytical and synthetic methods.

Чтобы школьников научить решать планиметрические задачи, необходимо познакомить их с различными методами их решения. В научно-методической литературе выделяются различные классификации методов решения задач. В данной статье рассмотрим классификацию методов решения планиметрических задач, предложенную В.А. Гусевым [2, с.156].

В зависимости от преобладания в рассуждениях приемов «синтез» или «анализ» выделяют, соответственно, синтетический или аналитический методы решения геометрических задач.

Часто при решении составной задачи многие ученики берут любое данное из условия задачи и к нему присоединяют какое-либо из остальных данных. Если эти данные образуют простую задачу, то ее решают, если простой задачи не получилось, образуют другую пару данных и в результате решения первой простой задачи получают первое вспомогательное данное. Используя вспомогательное данное и какое-либо из остальных данных основной задачи, решают вторую простую задачу и получают второе вспомогательное данное и т. д., до тех пор, пока не получат такую простую задачу, результат которой является искомым основной задачи. Это и есть синтетический метод решения задач.

В синтетическом методе решения математических задач можно условно выделить:

а) непосредственное синтетическое решение несложных задач;

б) запись в виде синтетического решения более сложных задач, где появление вспомогательных суждений часто связано с использованием нестандартных математических идей – анализа. Важно, чтобы эти идеи были подготовлены и учащиеся самостоятельно к ним приходили.

Сущность аналитических методов решения геометрических задач состоит в том, что исходным пунктом обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному как истинное.

В научно-методической литературе, посвященной аналитическим методам решения геометрических задач [1, 2], выделяют следующие основные его разновидности: восходящий анализ; нисходящий анализ; алгебраический метод.

Сущность метода восходящего анализа заключается в том, что исходным моментом решения задачи является ее заключение, преобразование которого происходит путем отыскания достаточных условий его справедливости, т. е. таких, из верности которых неизбежно следует справедливость заключения задачи (теоремы).

При решении задач методом нисходящего анализа за исходное берется заключение задачи. Преобразование заключения происходит путем отыскания необходимых условий справедливости его в предположении, что заключение задачи (теоремы) верно, т. е. несовершенный анализ сводится к отысканию следствий, вытекающих из предположения справедливости заключения, что приводит к получению верных следствий.

Алгебраический метод решения задачи – это такая форма аналитического метода, при которой связи между искомыми и данными величинами устанавливаются с помощью уравнений или систем уравнений (реже неравенств).

Сущность этих методов лучше всего уяснить при решении следующих задач.

Задача 1. Треугольники BCD и АКЕ равны. В треугольнике АКЕ

АК = 20 см, угол K = 54°, угол E = 60°. Найдите соответствующие стороны и углы треугольника BCD [2, c.157].

Рисунок 1. Равные треугольники AKE и BCD

Решение синтетическим методом

Дано: BCD=AKE (Рис. 1), АК = 20 см, , <K = 54°  и <E = 60°.

Обычно в следующем пункте мы выписываем то, что следует найти (доказать). В данной задаче это и есть главная часть решения – увидеть соответствующие элементы. Это можно сделать, если знать определение равенства двух треугольников. Нам нужно найти ВС, <С, <D.

Из равенства треугольников следует, что ВС =АК = 20 см, угол C = угол K= 54°, угол D = угол B = 60°.

Задача 2. В равнобокой трапеции большее основание равно 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними 60°. Найдите меньшее основание [4, c. 90].

Рисунок 2. Равнобедренная трапеция ABCD

Решение алгебраическим методом:

Дано: ABCD – равнобедренная трапеция (Рис. 2), AD = 2,7 см, АВ = CD - 2ВС, <BAD = 60°, BC =? (требуется найти).

Для нахождения длины ВС целесообразно обозначить ее через неизвестное х. Тогда по условию: АВ = CD = 2х.

Одним из ориентиров при составлении плана решения является вопрос: нельзя ли сторону AD разбить на отрезки, выражающиеся через х? Оказывается, можно. Построим BE || CD (Рис. 3)

Рисунок 3. Построение в равнобедренной трапеции

 < CDA = 60° (равнобедренная трапеция), <CDA = <BEА (свойство параллельных прямых), треугольник АВЕ – равносторонний (теорема о сумме углов треугольника), DCBE – параллелограмм (признак параллелограмма), ED = x, тогда 2х + х = 2,7 см, х = 0,9 см. Значит, ВС = 0,9 см.

В практике решения задач методы анализа и синтеза полностью разделить, изолировать друг от друга невозможно. Они полезно сочетаются. При аналитическом методе имеют место скрытые элементы синтеза. Например, преобразуя требование основной задачи в требования первой серии вспомогательных задач, мы неявно проверяем правильность этого преобразования, возможность синтезирования из искомых чисел задач первой серии искомого основной задачи.

Хотя путь поиска на основе аналитического метода решения не всегда однозначен, однако он все же менее многозначен и более определенен, чем путь поиска при синтетическом методе решения. Аналитический метод удобен для поиска пути решения новой для учащихся задачи, он опирается на определенное умение школьника рассуждать и эффективно способствует развитию его продуктивного, логического и функционального мышления. В результате систематического применения аналитического метода решения у учащихся быстрее формируется умение самостоятельно решать новые для него задачи, чем при пользовании синтетическим методом. Аналитический метод решения задач на вычисление должен найти достаточно широкое применение и рациональное сочетание с другими методами.

Список литературы:

1. Воистинова Г.Х. Обучение учащихся методам доказательства // Современные проблемы физико-математического и методического образования: Труды Всероссийской научной конференции (16-17 сентября 2004 г., г. Стерлитамак). – Уфа: Гилем, 2004. – Т.3. – С. 102-111.
2. Гусев В. А. Практикум по элементарной математике: Геометрия: учеб. пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. институтов и учителей / В. А. Гусев, В. Н. Литвиненко, А. Г Мордкович. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Просвещение, 1992. – 352 с.
3. Репьев А.В. Общая методика преподавания математики. – М.: Просвещение, 1967. – 224 с.
4. Погорелов А. В. Геометрия. 7-9 классы. Учебник для общеобразовательных учреждений. – 2-е издание. – М.: Просвещение, 2017. – 240 с.