ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ЗНАКОМСТВО С ФУНКЦИЯМИ И ГРАФИКАМИ

INITIAL ACQUAINTANCE WITH FUNCTIONS AND GRAPHICS

Proshchaev Nikita Vladimirovich

the student of 4 course, faculty Mathematics and information technology Sterlitamak branch of the Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

Voistinova G. H.,

сandidate of pedagogical Sciences, associate Professor Sterlitamak branch of the Bashkir State University

Russia, Sterlitamak

АННОТАЦИЯ

В данной статье приведены основные принципы изложения материала темы «Функции и графики» на школьном уроке математики.

ABSTRACT

This article describes the basic principles of the presentation of the material of the topic "Functions and Graphics" at the school lesson in mathematics.

Ключевые слова: переменная величина, функция, график, зависимость.

Keywords: variable, function, graph, dependence.

Последняя тема курса алгебры в VIII классе носит название «Функции и графики». В объяснительной записке к программе сказано: «В этой теме должна быть введена функциональная терминология, более глубоко изучена линейная и квадратная функция», т.е. систематизируются и уточняются представления, накопленные в процессе решения упражнений на функциональную зависимость [3, с. 455].

Понятие о переменных величинах дано ранее; в этой теме его надо просто повторить. Идея переменной величины появляется с введения букв, так как сами символы: a,b,c,…,x,y – переменные, в отличие от постоянных символов 5, , и др.

В VIII классе вводится термин переменная величина. Можно привести много знакомых ученикам примеров постоянных и переменных величин. Например рассмотреть следующие формулы:

1. P=4a – формула периметра квадрата со стороной a;
2. S = πr² – формула площади круга радиуса r;
3. Q = cmt – формула количества теплоты.

 Легко установить, что в этих зависимостях величины a, r, t, m, P, s, Q могут принимать различные значения, а числа 4 и π, с данного вещества (в узких пределах изменения температуры) не меняются. Также не меняется сумма внутренних углов треугольника.

Можно взять и другие примеры. В учебнике алгебры Н. А. Барсукова [1, с. 253] приведен опыт с надуваемым резиновым шаром. При этом меняются размеры шара, толщина его оболочки, вес шара, но вес оболочки остается неизменным.

Кроме того доказывается, что график линейной функции – прямая, и экспериментально устанавливают, что графики функций y =ax²+bx+c и y=ax² имеют одинаковую форму.

При введении темы желательно перечислить ряд способов задания функции: 1) табличный, 2) графический, 3) аналитический (при помощи формулы), 4) словесный.

У учеников VIII класса накопился большой запас функциональных зависимостей, которые выражены аналитически. Из алгебры VII класса им известны аналитические выражения y=ax, , y=ax+b; из геометрии известны формулы площадей и объемов, в которых зависимость выражена тоже аналитически.

Поэтому, используя опыт учеников, наиболее просто подвести их к понятию функции, рассматривая аналитические выражения известных зависимостей. Например, можно взять формулу y = 4x, где x – сторона квадрата, а y его периметр, и установить, что 4 –постоянная величина, а x и y – переменные. Подчеркнуть, что каждому значению x соответствует определенное значение y. В частности можно составить таблицу пар соответствующих значений x и y.

При таком введении функции у учеников может возникнуть представление, что функция – аналитическое выражение. Тогда стоит рассмотреть зависимости, заданные иным способом.

Например, можно взять результат наблюдения температуры воздуха (Табл. 1):

Таблица 1.

Зависимость температуры от времени

Рассматривая пары значений времени и температуры, устанавливают, что каждому значению времени наблюдения соответствует определенное значение температуры. В заключении учитель говорит, что в данном случае температура – функция времени. Термин определяют после нескольких примеров.

Далее дается определение функции в современной формулировке:

«Если каждому допустимому значению переменной величины x соответствует определенное значение переменной величины y, то x называется зависимой переменной, а y – функцией от x».

Опыт показывает, что уже в VIII классе можно ввести символ f(x).

Эту запись удобно применять, когда надо найти значение функции. Пусть надо найти значение функции f(x)= 2x² - 3 при x = 5, тогда символ f(5) показывает эту операцию.

Новым будут термины интервал, отрезок. Учитель объясняет термины, дает запись интервала a< x< b, для отрезка a≤ x≤ b. Иллюстрирует их на оси OX.

После изучения темы ученик должен уметь:

1. по данному значению x найти значение y;
2. по данному значению у найти значение х;
3. указать значение х, при которых у=0, у>0,y<0;
4. указать значения х, при которых функция возрастает, убывает, имеет наибольшее, наименьшее значение.

Целесообразно иногда менять форму вопросов, например:

Задача. Дана функция y=m(x - 2) + 1, где m  может принимать все значения, отличные от нуля.

1. Взять m = 1 и m = 2, начертить графики этих функций и найти их точку пересечения.
2. Доказать, что все графики функций вида y = m(x – 2) + 1 проходят через точку пересечения [2, с. 303].

Решение. 1) При m = 1 y = x – 1, при m = 2 y = 2x – 3.

Строим график. Точку пересечения находим, решая систему уравнений:

 отсюда 2х – 3 = х – 1;  х = 2, у = 1.

2)  Точка пересечения  M (2,1), подставим её координаты в уравнение y = m(x – 2) + 1:

1 = m(2 – 2) + 1; 1 = 1. Точка М лежит на графике функции у = m(х – 2) + 1.

Можно выделить следующие рекомендации при построении графика:

Для выполнения чертежа на доске желательно использовать цветные мелки.

В некоторых школах имеются шаблоны кривых, изготовленные из фанеры или плотного картона, что значительно ускоряет построение графиков.

Ученики сами должны изготовить шаблоны различных кривых (парабола, гипербола).

Необходимо добиваться, чтобы учащиеся умели тщательно и возможно точнее выполнять построение отдельных графиков, особенно при решении уравнений, нахождении приближенного значения квадратного корня.

Список литературы:

1. Барсуков А.Н. Алгебра: учеб. для 6-8 кл. – М.: Государственное учебно-педагогическое издательство Министерства просвещения РСФСР, 1961. – 296с.
2. Барыбин К.С. Методика преподавания алгебры: учеб. пособие для учителей восьмилетней школы – М.: Просвещение, 1965. – 345с.
3. Ляпин С.Е. Методика преподавания математики: учеб. пособие для учителей восьмилетней школы / С.А. Гастева, Б.И. Крельштейн, С.Е. Ляпин, М.М. Шидловская.  – М.: Просвещение, 1965. – 744 с.