ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ИНСТРУМЕНТАРИЯ В ЭКОНОМИКЕ: «ФУНКЦИЯ ПОЛЕЗНОСТИ»

На современном этапе развития общества научный монолит математической составляющей полностью внедрился во всевозможные сферы человеческой деятельности, в том числе и в экономику.

Фундаментальный анализ деятельности хозяйствующих субъектов, их управления, проектирование и прогнозирование экономических явлений и процессов основательно базируются на математическом инструментарии.

Поскольку большое количество экономических задач, возможно, разрешить только на основании исследования зависимости различных величин от соответствующих факторов, то мы считаем необходимым, в данной статье рассмотреть, проанализировать и выявить значимость в экономике одного из таких понятий, как «функция полезности».

Впервые «функция полезности» была представлена Кнутом Викселлем, а в 1928 году данная функция была апробирована на статистических данных математиком и экономистом Чарльзом Коббом в сотрудничестве с Полом Дугласом в работе "Теория производства", на основании чего функция полезности стала, широко применятся в микроэкономической теории, под названием функция полезности Кобба-Дугласа, имеющая вид:

                                                                       (1)

где,  U(x) – функция потребительского набора двух благ,

k, c, d – const  больше нуля.

  Анализ научной экономической литературы показал, что понятие «функция полезности» широко изучается и исследуется не только отечественными, но и зарубежными ученными.

Рассмотрим различные подходы к интерпретации понятия «функция полезности».

Е.В. Савицкая считает, что функцией полезности может представляться любая функция U(x), которая удовлетворяет критерию принимать максимальные значения для такого комплекта благ, которые необходимы потребителю и равные значения для равноценных комплектов благ.

Хэл Р. Вэриан утверждает, что «функция полезности» один из способов соотнесения каждой потребительской совокупности некоего численного значения, при котором востребованную совокупность соотносят с большим численным значением, а менее востребованную совокупность с меньшим.

А Г.С. Вечканов и Г.Р. Вечканова определяют «функцию полезности» как соотношение между объемами благ и уровнем удовлетворения потребителем своих потребностей, другими словами, «…показывает предпочтения потребителей».

С.Н. Ивашковский охарактеризовал понятие "функция полезности", как функцию, которая показывает убывание полезности блага с ростом его количества...".

В экономико-математическом словаре «функция полезности» трактуется как выражение, которое показывает зависимость связности полезности как результата некоторого действия с интенсивностью этого действия, то есть посредством математического инструментарию ее можно выразить как зависимость общего уровня полезности набора благ (U) от объема потребления различных благ (x_i), входящих в данный набор:

U=f(x₁, x₂, ..., x_n)                                                                       (2)

Таким образом, на основе анализа различных подходов к рассмотрению понятия «функция полезности», мы пришли к выводу, что «функция полезности» определяет благосостояние потребителя и ее можно представить как зависимость общего уровня полезности набора благ от объема потребления различных благ входящих в данный набор.

Графическое  представление «функции полезности» можно показать в виде предпочтений на некотором множестве  альтернатив (Рис.1).

Рисунок 1 Функция полезности

Исследования зависимых составляющих функции полезности позволил нам выявит некоторые ее свойства:

- композиция функции полезности со строго возрастающей функцией представляет также функцию полезности с теми же отношениями предпочтения;

- выпуклому множеству X соответствует квазивогнутая функция полезности;

- при монотонном свойстве предпочтений, функция полезности является монотонной;

- вторая частная производная функции полезности есть величина отрицательная (функция вогнутая);

< 0                                                         (3)

- постоянное значение функции полезности трактуется как кривая безразличия, указывая, линии уровня функции полезности.

Разберемся теперь в сущности применения функции полезности.

Для этого необходимо найти ответ на вопрос: «Можно ли определить рентабельность товара, если неизвестно полезен ли он тому или иному потребителю?»

В этом случае функцию полезности рассматривают как вспомогательное средство, определяющее траекторию применения теории оптимизации при решении задач потребителя, которые с точки зрения математики решить без применения функции полезности затруднительно, несмотря на то, что не каждое предпочтение может представляться данной функцией.

Тем не менее, функция полезности является неотъемлемой частью современных экономико-математических моделей даже при ограниченном ее подходе.

Поскольку общество всегда стремилось эффективно использовать все имеющиеся ресурсы, то в определение данной эффективности, по нашему мнению, наилучшим образом справиться «функция полезности».

Исходя из ее определения мы делаем выводы, что с ее помощью можно определить набор товаров нужный потребителю для удовлетворения его потребностей, вследствие чего производители ориентируются на спрос и приходят к заключению чего и сколько производить для получения максимальной прибыли. Однако полезность достаточно субъективна, поскольку для курящего человека функция полезности сигарет будет высокой, хотя объективно они вредят здоровью, а для некурящего ее и вовсе не будет.

Рассмотрим пример применения функции полезности посредством математического инструментария.

Пример 1. Потребитель свой располагаемый доход в размере n руб. тратит на приобретение первого товара (T₁) и второго товара (T₂). Стоимость товаров T₁ =x руб., T₂ = y руб. Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности . Насколько изменится оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

а)

б)

Решение.

Оптимальный набор потребителя должен удовлетворять условию второго закона Госсена (полезность комбинации благ максимальна, когда вложение последней денежной единицы в каждое из потребленных благ приносит одинаковую полезность):

Найдем предельную полезность первого товара и второго товара как частные производные от общей полезности:

На основании формулы

получим уравнение бюджетного ограничения:

Составим и решим систему уравнений:

Оптимальный набор потребителя состоит из  ед. первого товара и ед. второго товара.

Найдём оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

Найдем предельную полезность  первого товара  и  второго товара как частные производные от общей полезности:

Данное равенство ничем не отличается от предыдущего случая, следовательно, оптимальный набор потребителя не изменится.

Найдём теперь оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

Найдем предельную полезность первого товара и второго товара как частные производные от общей полезности

Уравнение бюджетного ограничения не изменилось и равно:

Составим и решим систему уравнений:

Оптимальный набор потребителя состоит из  ед. первого товара и ед. второго товара.

Таким образом, объём потребления первого товара   возрастет на ед., а потребление второго товара снизится на  ед.

Список литературы:

1. Вечканов, Г.С., Вечканова, Г.Р. "Микроэкономика. Учебник для вузов"4-е издание, / Г.С. Ваечканов, Г.Р., Ваечканова. - 2011. - 448с.
2. Хэл Р. Вэриан, Хел Р. " Микроэкономика. Промежуточный Уровень: Современный Подход", / Хэл Р. Вэриан .- 1997 – стр. 72.
3. Ивашковский, С.И. учебник "Микроэкономика", 3-е издание / С.Н. Ивашковский.- 2002. – 416с.
4. Савицкая, Е.В. "Курс лекций по микроэкономике" /. Е.В. Савицкая, 2002 – стр. 10.