ТЕОРИЯ ИГР В ЭКОНОМИКИ НА ПРИМЕРЕ КОНКУРЕНТНОЙ БОРЬБЫ ПРОИЗВОДИТЕЛЕЙ

В настоящее время значение теории игр постоянно неуклонно возрастает. Различные разработки в области применения на практике теории игр отмечены множественными наградами, в том числе, и всем известной престижной Нобелевской премией.

Теория игр - это логико-математический метод изучения оптимальных стратегий в играх. Игровой процесс в данном случае подразумевает участие двух и более сторон, каждая из которых стремится реализовать свои интересы. Всюду, где сталкиваются интересы двух или более лиц, складывается игровая ситуация. Это в первую очередь экономика, где есть игроки — продавцы и покупатели, нанимаемые работники и работодатели и т.д. [4, с. 5] Все стороны имеют свои цели и придерживаются некоторой определенной стратегии, которые возможно ведут игрока как к выигрышу, так и к проигрышу. Это будет зависеть от различного поведения других участников игры. Теория игр призвана помочь игрокам определить наилучшие стратегии, учитывая поведение других участников, их ресурсов и стратегий.

С одной стороны, теория игр есть это математическая дисциплина, которая применяется во многих областях человеческой деятельности (экономика, военное дело, биология и др.). С другой стороны, теория игр — это раздел современной экономической теории, что подтверждается большим количеством наград в области экономики, которые присуждаются самым выдающимся представителям данной науки. [2, с. 3]

Как научная дисциплина, теория игр изучает такие важные в современном мире сферы как рыночная конкуренция, усиленное загрязнение окружающей среды, гонка вооружений, и другие. В теории игр возникающие отношения в данных сферах называются играми, так как в них, как и в играх, конечный результат напрямую зависит от принимаемых решений всеми участниками.

Теория игр была придумана венгерским математиком Джоном фон Нейманом и немецким экономистом Оскаром Моргенштерном, которые в 1940-х годах написали книгу «Теория игр и экономическое поведение». До этого, в 1928 году, Джон фон Нейман написал статью, в которой вывел теорему о минимаксе, считающуюся фундаментальной в теории игр. В Принстоне он работал с Моргенштерном над тем, чтобы применить теорию игр к экономике, а также к салонным играм вроде покера. [3, с. 1]

В своей книге фон Нейман и Моргенштерн смоделировали упрощенную версию покера и проанализировали оптимальные стратегии, которые выбирают игроки. Но спустя годы многие люди нашли их идеи полезными для экономики, биологии и в особенности для политологии. Более того, теория игр стала применяться в спорте и даже в таких дисциплинах, как философия.

В данной статье, будет рассмотрено применение теории игр в реальной экономике, в ситуации, когда исход борьбы двух компаний за рынок продукции региона зависит от выбора технологии производства с разной себестоимостью конечного товара.

Две компании занимаются производством продукции и продажей её на рынке региона. Эти компании полностью определяют региональный рынок данной продукции потому, что являются единственными поставщиками подобной продукции.

Обе компании имеют возможность производить продукцию с применением одной из трёх различных технологий производства. В зависимости от качества продукции, произведённой по каждой из технологии, компании могут установить цену единицы продукции на уровне 14, 8 и 4 денежных единиц соответственно.

При этом предприятия имеют различные затраты на производство единицы продукции (таблица №1).

Таблица 1

Затраты на производство единицы продукции, д. е.

Данные о спросе на продукцию в зависимости от цен реализации приведены в таблице 2.

Таблица 2

Спрос на продукцию, тыс. ед.

Доли товара первой компании, приобретенной на рынке, зависят от отношения цен на продукцию фирмы 1 и фирмы 2. В результате исследования маркетологов эта зависимость вычислены и ее значения установлены в таблице (см. таблицу 3).

Таблица 3

Доля приобретаемых товаров компанией 1

По условию, на рынке работают только 2 фирмы, а значит, доля потребляемых товаров второй компании, определяется как единица минус доля первой компании.

В задаче нужно определить:

1. Есть ли в данной задаче ситуация равновесия выбора технологии производства товаров двумя компаниями?

2. Существуют ли такие технологии, которые являются достаточно невыгодными для отказа от них?

3. Сколько товаров реализуют компании в ситуации равновесия? Какая окажется в выигрышном положении?

Для начала необходимо найти экономический смысл коэффициентов выигрышей в платёжной матрице задачи. Каждая фирма стремится к максимизации прибыли от производства и продажи своей продукции. Однако в контексте данной задачи, компании борются за весь рынок продукции в регионе. Поэтому выигрыш одной фирмы будет означать поражение другой. Такая задача может быть сведена к матричной игре с нулевой суммой. При этом коэффициентами выигрышей будут являться значения разницы прибыли от продажи товара компании 1 и компании 2. Если эта разница положительна, выигрывает компания 1, а в случае, если она отрицательна – компания 2.

Рассчитаем коэффициенты выигрышей платёжной матрицы. Для этого необходимо определить значения прибыли предприятия 1 и предприятия 2 от производства продукции.

Таким образом, значения разницы прибыли предприятий, соответствующие коэффициентам платёжной матрицы, необходимо определить по формуле:

D = p×(S×R1-S×C1) – (1-p) ×(S×R2-S×C2)

Где:

• D – величина разницы прибыли от продажи товаров предприятия 1 и предприятия 2;
• p - доля товаров компании 1, приобретаемой населением региона;
• S – количество товаров, приобретаемых населением;
• R1 и R2 - цены продажи единицы продукции фирмами 1 и 2;
• C1 и C2 – полная себестоимость единицы продукции, произведённой компаниями 1 и 2.

Количество товаров, которое население региона приобретёт при средней цене 14 д. е., равно 1 тыс. ед. Доля продукции, которую население купит у компании 1, составит 0.43, а у компании 2 – 0.57. Вычислим коэффициент платёжной матрицы А11 по формуле:

А11 = 0.43×(1×14-4×7) – (1-0.43)×(1×14-1×10) = 0.73 тыс. ед.,

где i=1 – номер технологии первой фирмы, а j=1 – номер технологии второй фирмы.

Аналогично вычислим все коэффициенты платёжной матрицы. В платёжной матрице стратегии A1 – A3 – представляют собой решения о технологиях производства продукции фирмой 1, стратегии B1 – B3 – решения о технологиях производства продукции фирмой 2, коэффициенты выигрышей – разницу прибыли фирмы 1 и фирмы 2.

Таблица 4

Платежная матрица

В данной матрице отсутствуют доминируемые или дублирующие стратегии. Это означает, что для обеих фирм не существует заведомо невыгодных технологий производства товаров. Найдем наименьшие элементы строк матрицы. Для компании 1 каждый из этих элементов означает минимально гарантированный выигрыш при условии выбора соответствующей стратегии. Наименьшие элементы матрицы по строкам имеют значения: 0.3; -5.04; -4.5.

Найдем наибольшие элементы столбцов матрицы. Для фирмы 2 каждый из таких элементов тоже имеет смысл наименьшего гарантированного выигрыша, если выбрать соответствующую стратегию. Наибольшие элементы матрицы по столбцам приняли значения: 1.68; 4.08; 0.3.

Нижняя цена игры в матрице равна 0,3, при этом верхняя цена игры тоже равна 0,3. Таким образом, нижняя и верхняя цены игры матрицы совпадают. Из этого следует, что существует технология производства товаров, являющаяся оптимальной для обоих фирм в условиях этой задачи. Это - технология I, соответствующая стратегиям A1 компании 1 и B3 компании 2. Стратегии A1 и B3 – чистые оптимальные стратегии для данной задаче.

Разница между прибылью первой фирмы и второй – положительна, следовательно, компания 1 является победителем в этой игре. Выигрыш фирмы 1 составит 0,3 тыс. д. е., спрос на рынке составит 3 тыс. ед. продукции. Обе компании установят цену за единицу продукции в 9 д. е. При этом для первого предприятия полная себестоимость единицы продукции составит 7 д. е., а для второго – 1 д. е. Первая компания окажется в выигрыше лишь за счёт высокой доли продукции, реализованной населению города.

На примере данной задачи о борьбе двух компаний за весь рынок потребителей определенного товара в регионе, мы можем наблюдать, что практическое применение теории игр не является трудоемким и сложным и помогает определить необходимую стратегию в конкурентной экономике.

Это лишь один пример. Использование теории игр имеет более широкое распространение как в экономике, так и в других науках, о чем было сказано ранее.

Список литературы:

1. Лапшин К. А. Методические указания для студентов экономического факультета – URL: http://lib.convdocs.org/docs/index-29218.html (дата обращения 16.05.2017)
2. Писарук Н. Н. Введение в теорию игр / Н. Н. Писарук. — Минск: БГУ, 2015. — 256 c.
3. Steven Brams, Game Theory / SERIOUS SCIENCE – URL: http://serious-science.org/game-theory-7846 (дата обращения 15.05.2017)
4. Шагин, В. Л. Теория игр: учебник и практикум для академического бакалавриата / Издательство Юрайт, 2016. — 223 с. — Серия: Авторский учебник.