ПРЕДЕЛЬНЫЕ ПЕРЕХОДЫ В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКОЙ СФЕРЕ

LIMIT TRANSITIONS IN THE SOCIO-ECONOMIC SPHERE

АННОТАЦИЯ

В данной статье рассматривается вопрос о применении математических методов в решении социально-экономических задач, в частности использование теории пределов в социально-экономических исследованиях.

ABSTRACT

This article discusses the use of mathematical methods in solving socio-economic problems, in particular the use of limit theory in socio-economic research.

Ключевые слова: математические методы, анализ, предел функции, предельный переход, цена товара, функция спроса, доход.

Keywords: mathematical methods, analysis, function limit, limit transition, product price, demand function, income.

Одним из основных понятий математического анализа является понятие предела функции. Пределы используются как в инженерных, так и в социально-экономических расчетах. Представление о понятии предела является очень древним, еще такие математики древности как Аристотель и Евклид, выдвигали идею существования предела. Но лишь спустя несколько столетий Ньютон обратил внимание на эту идею и ввел термин limes (предел).

Вспомним определение предела функции. Число b называется пределом функции y=f (x) в точке a, если для любого положительного числа существует такое положительное число, зависящее от , такое что для любого x из области определения функции из того, что следует выполнение неравенства

Рассмотрим применение теории пределов в задачах экономического содержания.

Пример 1. Пусть в ходе социально-экономического исследования экспериментально была установлена зависимость y=150/(x+3) между ценой какого-либо товара x и спроса на него y. Необходимо провести исследование поведения функции спроса от цены товара y=150/(x+3) при неограниченном увеличении цены (x → ∞)

Вычислим предельное значение функции спроса:

Таким образом, при неограниченном росте цен спрос приближается к нулю.

Пример 2. Рассмотрим модель групповой продуктивности. Стандартная точка зрения на связь между продуктивностью и размером группы такова: чем меньше группа, тем более она продуктивна. По мнению большинства людей уменьшение группы, ее дробление способствует большей продуктивности каждого члена группы. Однако многочисленные исследования социологов не подтверждают это мнение. Обыденное мнение верно «с точностью до наоборот». Увеличение численности групп способствует их большей продуктивности. Более того, продуктивность группы растет при ее увеличении экспоненциально. А.И. Яблонским была предложена следующая модель:

,  n

где n - число индивидов в естественно-научном коллективе; p(n) его продуктивность; p(1) – продуктивность при n=1. Найдем продуктивность коллектива при неограниченном увеличении его членов (n→ ∞):

Предел равен бесконечности. Отсюда следует, что не существует оптимального размера группы с наибольшей продуктивностью.

Пример 3. Экономические исследования показывают, что спрос y на товары первой необходимости и спрос z на предметы роскоши зависят от дохода x следующим образом:

,

,   ,

Где a₁, a₂  - уровни доходов, при которых начинается приобретение тех или иных товаров. Функции y(x) и z(x) называются функциями Л. Торнквиста.

Найдем как меняются y(x) и z(x) при x→ ∞:

,

.

Таким образом, при неограниченном увеличении доходов спрос на товары первой необходимости растет до определенного предела, равного b₁. Миллионеры не покупают для себя хлеба больше, чем съедят. Поэтому число b₁ называется уровнем насыщения. Он растет даже при неограниченном росте доходов.

Как видно из приведенных примеров, многие социально-экономические закономерности удается увидеть с помощью предельного перехода. Именно поэтому приобретение навыков вычисления пределов является необходимым и включено в программу по математике для экономистов, социологов и психологов.

Список литературы:

1. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный. -4-у изд.-М: Фйрис- пресс, 2006,- 608 с,: ил,- ( Высшееобразование).
2. Справочник по математике для научных работников и инженеров: Определения. Теоремы. Формулы / Г.Корн, Т.Корн; (Пер..И.Г.Арамановича (ред.пер.) и др.). – 2-е издание., стер. – М,: Наука, 1973.- 831 с.: ил.
3. Ахтямов А.М. Математика для социологов и экономистов: Учеб. Пособие. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004._ 464 С. _ ISBN 5-9221-0460-8.
4. Яблонский А.И. Модели и методы математического исследования науки. М.: ИНИОН АН СССР, 1977. С.89-90.