ОПТИМИЗАЦИЯ РЕКЛАМНЫХ РАСХОДОВ В МОДЕЛИ С ПРОМЕЖУТОЧНЫМ КОНТРОЛЕМ ЭФФЕКТИВНОСТИ РЕКЛАМЫ

Седых Анна Николаевна

студент кафедры «Методы оптимизации» ИМЭИ ИГУ, г. Иркутск

E-mail: Seanni_92@mail.ru

Самсонюк Ольга Николаевна

научный руководитель, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник ИДСТУ СО РАН, г. Иркутск

1.  Описание модели оптимизации рекламных расходов

В статье рассматривается модель рационального расходования средств на рекламу. В основе модели лежит известная задача оптимального управления рекламной стратегией фирмы [2], она дополнена промежуточным фазовым ограничением, имеющим смысл контроля объема продаж в заданный момент времени. Кроме того, допускается возможность проведения агрессивной рекламной компании, при которой большие рекламные расходы осуществляются в течение кратких промежутков времени, что приводит к резким, почти скачкообразным увеличениям объемов продаж. Допустимость агрессивной рекламы и наличие промежуточного фазоограничения существенно усложняют базовую модель и приводят к задаче оптимального управления с разрывными траекториями. Модель описывается следующими соотношениями:

                                                            (1)

                                         (2) 

                                                                (3)

                                                        (4)

Здесь  — доля рынка товара, которую контролирует фирма в момент ,  — текущие затраты на рекламу,  — коэффициент, характеризующий эффективность расходов на рекламу,  и  — коэффициенты дисконтирования и забывания соответственно,  — прибыль, получаемая при охвате всех потенциальных покупателей товара,  — контрольный момент времени,  — наименьший желаемый охват рынка в момент ,  — горизонт планирования.

Уравнение динамики (2) имеет следующую интерпретацию: слева стоит мгновенный прирост объема продаж товара, изменение которого обусловлено двумя факторами. Во-первых, часть населения, информированного через рекламу о продукции фирмы, забывает об этом, или отказывается от услуг фирмы, или покидает рынок по каким-то причинам с постоянным темпом забывания . Во-вторых, прирост объемов продаж пропорционален текущим рекламным вложениям, эффективность которых характеризуется коэффициентом , а также части рынка, пока не охваченной фирмой, но потенциально ей доступной.  Управление  удовлетворяет ограничениям (3), т. е. текущие рекламные расходы неотрицательны, а суммарные за весь промежуток времени не превышают заранее заданной суммы . Цель управления состоит в максимизации критерия качества (1), имеющего смысл суммарной прибыли за планируемый период времени. Промежуточное ограничение (4) задает нижнюю границу уровня продаж в контрольный момент времени .

Основная особенность задачи (1)—(4) состоит в том, что значение управление неограниченно сверху и теоретически может быть бесконечно большим. С экономической точки зрения это означает, что допускается агрессивная реклама, при которой в течение очень коротких промежутков времени осваиваются значительные суммы денег, что приводит к резкому, почти скачкообразному увеличению объема продаж. Из-за неограниченности понтрягинского множества управлений задача оптимального управления (1)—(4) не имеет решения в классе абсолютно непрерывных траекторий  и измеримых ограниченных управлений  Отметим, что произвольная последовательность траекторий системы (2), (3) будет иметь равномерно ограниченные полные вариации на отрезке [, и, следовательно, все ее частичные поточечные пределы являются функциями ограниченной вариации. Таким образом, задача (1)—(4) может быть рассмотрена в расширенной постановке с разрывными траекториями и импульсными управлениями (мерами Лебега-Стилтьеса). В дальнейшем будем предполагать, что множество моментов времени, в которых фирма проводит агрессивную рекламу, конечно, а между этими моментами может осуществляться обычная реклама, описываемая функцией  

Приведем адаптированную формулировку необходимых условий оптимальности в форме принципа максимума задачи оптимального управления с траекториями ограниченной вариации при наличии промежуточных ограничений [1].

2.Постановка задачи оптимального импульсного управления с промежуточными фазоограничениями. Принцип максимума

Приведем частную постановку задачи оптимального импульсного управления, в которой траектории являются кусочно абсолютно непрерывными функциями с конечным числом скачков. Вначале опишем множество импульсных управлений и соответствующих им траекторий.

Импульсное управление: Будем рассматривать импульсное управление следующего вида

с компонентами, удовлетворяющими условиям

                                                                                                                 (5)

Здесь

·      — конечное множество точек отрезка [, в которых сосредоточена дискретная составляющая меры ;

·      — точка импульса (точка скачка траектории);

·      — интенсивность импульса в момент ;

·     — измеримая существенно ограниченная функция, ;

·      — дельта функция Дирака, сосредоточенная в точке .

Траектория, соответствующая импульсному управлению  и начальному условию  — это кусочно абсолютно непрерывная функция , ,  которая на участках абсолютной непрерывности удовлетворяет уравнению:

                 (6)

а в точках импульса  – условию скачка

,                                                                             (7)

где функция  — решение системы дифференциальных уравнений (называемой предельной)

,            (8)

в которой функция  и число  удовлетворяют условиям:

                             (9)

.                                                                                     (10)

Заметим, что условиям (9), (10) может удовлетворять не единственная пара , следовательно, заданным управлению  и начальному условию  может соответствовать множество траекторий, причем индивидуальная траектория выделяется из этого множества при помощи набора . Обозначим этот набор через  и назовем его предельным управлением. Таким образом, управлению  и начальному условию  соответствует единственная траектория , определенная соотношениями (6)-(10).

Назовем импульсным процессом тройку , состоящую из импульсного управления, предельного управления и соответствующей траектории. Будем называть импульсный процесс  допустимым, если его траекторная компонента удовлетворяет промежуточному ограничению

в нефиксированный момент времени  и терминальному ограничению

,

где:  — заданные вектор-функции.

Обозначим через  множество всех допустимых импульсных процессов.

Рассмотрим задачу  минимизации функционала  на множестве , т. е.

Будем предполагать, что функции  непрерывно дифференцируемы, а матричная функция  непрерывно дифференцируема и удовлетворяет условию роста по переменной .

Обозначим через  исследуемый на оптимальность процесс, а через  и  —  и  соответственно. Выпишем адаптированные к постановке задачи  необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума из [1].

Функция Понтрягина:

где: .

Функция Лагранжа: ,

где:

  .

Теорема 1. Пусть оптимальный процесс задачи . Тогда найдутся такие

·        числа , ,

·        кусочно абсолютно непрерывные функции ,

·   абсолютно непрерывные функции , определенные для каждого момента ,

что выполняются условия:

1.  условия неотрицательности, нетривиальности и дополняющей нежесткости:

;

2.  функции  на интервалах абсолютной непрерывности удовлетворяют сопряженной дифференциальной системе

;

для каждого  функции  удовлетворяют сопряженным предельным системам на отрезке [

;

3.  условия скачка в точках импульса и промежуточной точке:

(а) в точках

(б) в промежуточной точке , принадлежащей ,

,

(в) в промежуточной точке , не принадлежащей ,

,

;

4.  условие трансверсальности:

;

5.  условия максимума компоненты управления :

          ;

6.  условия максимума предельного управления (и, следовательно, компонент управления ):

    ,  

7.  условия оптимальности моментов импульса и промежуточного момента:

где:

В следующем параграфе применим выписанный принцип максимума к анализу задачи оптимизации рекламных расходов. Заметим, что в данной задаче управление скалярное. Последнее упрощает условия принципа максимума, так как в этом случае вводить предельное управление необязательно (см. [2]) и в наборе  можно положить .

3.  Постановка и анализ задачи оптимизации расходов на рекламу с разрывными траекториями

Приведем постановку задачи оптимизации рекламных расходов, допускающую агрессивную рекламу, приводящую к скачку в объема продаж.  Вначале приведем задачу (1)—(4) с интегральным функционалом к задаче с терминальным, положив . Теперь опишем множество допустимых процессов с разрывными траекториями и критерий качества в расширенной постановке задачи.

Импульсное управление:

с компонентами, удовлетворяющими условиям

                                                                                                                 (11)

Здесь

·      — конечное множество точек отрезка [, в которых проводится агрессивная реклама;

·      интерпретируется как сумма денег, затраченная на агрессивную рекламу в момент времени ;

·      описывает интенсивность обычных рекламных расходов, т. е. не приводящих к скачкам продаж, ;

Интегральное ограничение в (11) интерпретируется как ограничение на общие суммарные расходы как на обычную рекламу, так и на агрессивную.

Траектория, соответствующая импульсному управлению , состоит из кусочно абсолютно непрерывных функций , возможно имеющих скачки на концах отрезка [0,T]. На участках абсолютной непрерывности они удовлетворяют дифференциальным уравнениям

а в моменты проведения агрессивной рекламы  — условиям скачка

.

Допустимые траектории удовлетворяют промежуточному условию

.

Критерий качества рекламной политики:

 (следовательно, ).

Выпишем условия принципа максимума для поставленной задачи в соответствии с п. 2.

Функция Понтрягина .

Функция Лагранжа .

Обозначим через  искомый, исследуемый на оптимальность процесс, а через  и  —  и  соответственно (для простоты в дальнейшем будем опускать черту у искомого процесса). Тогда условия теоремы 1 принимают следующий вид: найдутся такие

·     числа ,

·     кусочно абсолютно непрерывные функции ,

·     абсолютно непрерывные функции , определенные для каждого момента , что выполняются условия:

(1) условия неотрицательности, нетривиальности и дополняющей нежесткости: ;

(2) сопряженная система:

         предельная сопряженная система:

;

         (3) условия скачка сопряженных функций в моменты импульса и в промежуточной точке:

(а) в точках

,

(б) в промежуточной точке , принадлежащей ,

(в) в промежуточной точке , не принадлежащей ,

;

(4) условие трансверсальности:

;

(5) условие максимума по абсолютно непрерывной составляющей :

(6) условие максимума по дискретной составляющей управления в точках :

,                   ,

;

,                   ,

;

(7) условие оптимальности моментов импульса:

а) при  

б) если  принадлежит , то выполняется равенство

в) если  не принадлежит , то выполняется равенство

.

Анализ условий принципа максимума и обоснование существования решения в рассматриваемом классе процессов позволяют получить оптимальное решение задачи. Приведем оптимальное управление для двух наиболее интересных случаев с наличием магистрального участка. В первом случае агрессивная реклама проводится в начальный и промежуточный (контрольный) моменты времени

Во втором — только в контрольный момент, так как уровень начального объема продаж превышает магистральный

Здесь  — магистральное значение уровня продаж, определяется как решение уравнения

 — характеристическая функция множества A.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-01-31252, и ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России», соглашение 8211 от 6.08.2012.

Список литературы:

1.Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Принцип максимума для гладких задач оптимального импульсного управления с многоточечными фазоограничениями [Текст] / Дыхта В.А., Самсонюк О.Н. Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 2009. Т. 49, № 6. С. 981—997.

2.Sethi S.P., Thomsom G.L. Optimal control theory. Applications to management science USA [Текст] / S.P. Sethi, G.L. Thomsom. Boston,1981.