ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ РОЛЬ НА УРОКАХ ФИЗИКИ

DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR ROLE IN PHYSICS LESSONS

Luiza Mukhatdinova

student, Medical college, medical institute, Belgorod State National research university,

Russia, Belgorod

Margarita Kashchuk

scientific supervisor, lecturer, Medical College, medical institute, Belgorod State National research university,

Russia, Belgorod

АННОТАЦИЯ

В статье рассмотрены проблемы изучения студентами дифференциальных уравнений. Показано, что на уроках физики можно и нужно дополнять физический опыт и демонстрационные ролики решениями дифференциальных уравнений на компьютере.

ABSTRACT

The article deals with the problems of studying differential equations by students. It is shown that in physics lessons it is possible and necessary to supplement physical experience and demonstration videos with solutions of differential equations on a computer.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, математическая модель.

Keywords: differential equations, mathematical model.

Под общим развитием человека понимают прежде всего знание основ наук о природе, обществе и человеческом мышлении, важнейших областей производства. В очень большом числе случаев законы природы, управляющие теми или иными процессами, выражаются в форме дифференциальных уравнений, а расчёт течения этих процессов сводится к решению дифференциального уравнения.

Дифференциальные уравнения встречались уже в работах И. Ньютона и Г. Лейбница; термин «дифференциальные уравнения» принадлежит Лейбницу.

Основное открытие Ньютона, то, которое он счёл нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones invenire et vice versa». В переводе на современный математический язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения». В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.

Слово «диффуры» появилось в студенческом и преподавательском сленге в незапамятные времена. Оно означает сокращенное название учебного курса по теории обыкновенных дифференциальных уравнений и систем, а также по теории устойчивости.

Часто одно лишь упоминание дифференциальных уравнений вызывает у студентов неприятное чувство. Почему так происходит? Чаще всего потому, что аналитическое решение даже самых простых дифференциальных уравнений требует знания более десятка специфических приемов и хороших навыков интегрирования, из-за которого изучение дифференциалов становиться очень сложным.

Дифференциальные уравнения имеют огромное прикладное значение. Это не абстрактная математика, которая не имеет отношения к окружающему нас миру. С помощью дифференциальных уравнений описываются многие реальные природные процессы. Например, колебания струны, движение гармонического осциллятора, посредством дифференциальных уравнений в задачах механики находят скорость и ускорение тела. Также ДУ находят широкое применение в биологии, химии, экономике и многих других науках.

С некоторыми элементами теории дифференциальных уравнений студенты и даже школьники, сами того не подозревая, встречаются довольно часто на уторах физики. Преподаватели этот факт по традиции скрывают, так как считают, что ученику полезнее заучить большое количество расчетных формул, чем понять откуда взялась та или иная формула.

Раньше на это были свои причины - недостаток иллюстрационного материала, но сейчас компьютерные технологи развиваются со стремительной скоростью. Есть уйма приложений и программ, которые помогут ученику разобраться с такой сложной, но в тоже время интересной темой.

Например, программа «Mathcad». Один из авторов этой программы проводя занятия по информатике, помимо набора стандартных тем, дал детям задание  на рассмотрение способов решения на компьютере (в программе «Mathcad») дифференциальных уравнений. Детям была представлена типичная рутинная задача, которую традиционно решают на уроках физики, — это задача о свободном полете или падении тел:

Камень сбросили с крыши высокого дома или подбросили вверх под определенным углом к горизонту. Вопрос: как будет меняться скорость камня и через какое время он упадет на землю? При этом задача предельно упрощается: не учитываются, например, сопротивление воздуха, форма камня и другие факторы.

Школьник, решая эту задачу, должен вспомнить или найти в учебнике набор готовых формул, подставить в них числа и получить ответ. Но он даже не подозревают, что эти формулы являются не чем иным, как решением дифференциальных уравнений.

Пакет Mathcad решает дифференциальные уравнения численно, а не аналитически. Это означает, что мы получаем не формулы, а набор чисел — таблицу аргументов и значений искомых функций v(t) и h(t). По умолчанию в этой таблице по 1000 значений для каждой функции. Искомые табулированные функции можно интерполировать и изобразить графически.

Современные учебные заведения оборудованы компьютерами и мультимедийными проекторами. В кабинетах физики можно демонстрировать различные опыты (изучать, например, колебание маятника), показывая на большом экране эксперимент так, чтобы всем было хорошо все видно. На этом же экране можно показывать решение дифференциального уравнения колебания маятника, сравнивать реальное физическое явление с его математической моделью, объясняя расхождения ограничениями и упрощениями модели.

Зачастую для школьников и студентов страшны методы решения алгебраических и дифференциальных уравнений, а не они сами. Но сейчас на компьютере решать такие уравнения довольно просто. Важно составить систему уравнений или уравнение, понимая физику задачи. При таком подходе к решению, уравнения могут стать не «пыткой», а удовольствием.

Список литературы:

1. Арнольд В. И. О преподавании математики // Успехи математических наук. Т. 53. Вып. 1 (319). 1998. http://www.egamath.narod.ru/Arnold2.htm
2. Очков В. Ф. Живые кинематические схемы в Mathcad //Открытое образование. 2013. № 3. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Mathcad-15/kinematic.html Очков В. Ф. Задачи по физике: новый подход к решению // Открытое образование. 2012. № 6. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Mathcad-15/Physic.pdf
3. Очков В. Ф. MCS на занятиях по математике, физике, информатике // Компьютерные учебные программы и инновации. 2008. № 3. http://twt.mpei.ac.ru/ochkov/Pendulum