МОДЕЛИРОВАНИЕ КЛАССИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ РЕАКТИВНОГО ДВИЖЕНИЯ С УЧЕТОМ НЕКОТОРЫХ РЕАЛЬНЫХ ОБСТОЯТЕЛЬСТВ

​THE CLASSICAL JET PROPULSION PROBLEM MODELING TAKING INTO ACCOUNT SOME REAL CIRCUMSTANCES

Vladislav Abramov

military student, 9 faculty, Training and Research Center of the Air Force "Air Force Academy Named After Professor N.Ye. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin",

Russia, Voronezh

Elena Khukhryanskaya

Candidate of Technical Sciences, associate professor, Military Training and Research Center of the Air Force "Air Force Academy Named After Professor N.Ye. Zhukovsky and Yu.A. Gagarin",

Russia, Voronezh

АННОТАЦИЯ

В работе рассматривается решение задачи реактивного движения, рассматриваемой в курсе общей физики. Показано, как учет реальных условий приводит к усложнению математической модели.

ABSTRACT

The paper considers the jet propulsion problem solution considered in the course of general physics. It is shown how taking into account real conditions leads to the mathematical model complication.

Ключевые слова: моделирование; общая физика; реактивное движение.

Keywords: modeling; general physics; jet propulsion.

Среди общеобразовательных предметов физику по праву считают одним из сложных на всех уровнях образования, поскольку требует не только знания и понимания математических закономерностей, но и обобщающих философских идей мультидисциплинарного характера, т.е. знание математики является необходимым, но не достаточным. Как показывает практика, традиционный вузовский курс математики приучает курсантов несколько формально подходить к изучаемому предмету, без глубокого понимания его инструментального приложения, на уровне выхолощенных абстрактных сущностей. Что касается физики, изучаемой параллельно на младших курсах, то и здесь зачастую декларированные на лекциях связи той или иной темы с последующим использованием ее выводов никак не впечатляют обучаемых.

Покажем на примере классической задачи реактивного движения ракеты, как изменится решение с учетом некоторых реальных обстоятельств. Отправной точкой возьмем известное уравнение И.В. Мещерского движения точки переменной массы под действием только реактивной силы [1]:

записав его в виде

,

где υ - скорость ракеты, m – масса, u - скорость истечения газов относительно ракеты.

Интегрируя это уравнение при u= const, получим

,                                                                               (1)

где m₀ – начальная масса ракеты, a υ₀ – ее скорость в момент времени t=0. Результат показывает, что изменение скорости ракеты зависит только от двух величин: скорости и истечения газов относительно ракеты (и = const) и отношения массы ракеты во время t=0 к ее массе во время t.

Несколько усложним задачу. Рассмотрим ракету массы m₀, состоящую из «полезного груза», имеющего массу т_P, топлива массы m_F, структурной массы (массы топливного бака и двигателей) m_S. Пусть в простейшей модели сгорает все топливо, тогда оставшаяся масса равна m_P+m_s. Топливный бак и двигатель в процессе подъема отделяются от ракеты, оставляя полезный груз, движущийся со скоростью, определяемой соотношением (1):

.                                                                              (2)

Это выражение представляет собой формулу К.Э. Циолковского. Введем постоянную l, определяемую

,

представляющую отношение структурной массы к сумме структурной массы и массы топлива. На практике двигатель и топливные баки по общей массе составляют 10-12% массы топлива. Тогда формула (2) запишется как

.

Это сразу приводит к следующему важному результату: при заданной и максимальная скорость, которая может быть развита ракетой, достигается, если масса полезного груза равна нулю и равна

.

Если положить u=3 км/с, λ=10%, то υ≈7 км/с.

Поскольку спутник движется по орбите со скоростью около 8 км/с, а найденное максимальное значение скорости получено при пренебрежении сопротивлением воздуха, тяготением и в предположении, что ракета не несет полезного груза, ясно, что ракета такого типа не может использоваться для выведения спутника на орбиту. Следовательно, для более эффективной работы двигателя нужно сбрасывать бесполезный вес по мере выгорания топлива, т.е. рассмотрим опять идеализированную, но более реальную, ступенчатую ракету.

Предположим, что между моментами времени t и t+Δt изменение отношения масс λ обусловлено только отделяемой структурной массой, а (1-λ) есть доля массы, сгоревшей и в виде газа выброшенной со скоростью и.

Запишем закон сохранения импульса

.

Проводя необходимые преобразования при Δt→0 к нулю, получим уравнение

,

интегрируя, найдем

.                                                                             (3)

По виду (3) напоминает формулу, полученную ранее, но есть и одно существенное отличие, состоящее в том, что конечная масса, остающаяся после полностью использованного топливо, представляет просто массу полезного груза, поскольку ко времени сгорания топлива вся структурная масса отделяется. Тогда конечная скорость равна

.

При заданных значениях величин u, λ и m₀ полезный груз может быть ускорен до любой нужной скорости, и чем больше требуемая скорость, тем меньше будет допустимый полезный груз.

Предположим, что с учетом таких факторов, как сопротивление воздуха, гравитация и т.д., наша идеализированная ракета должна быть сконструирована так, чтобы она могла достичь конечной скорости 10,5 км/сек, т.е. будет превышать первую космическую (вместо полученных ранее 7,6 км/сек). Пусть, как и ранее, u=3 км/с и λ=0,1. Тогда , т.е. полезный груз в рассмотренном примере составляет одну пятидесятую начальной массы всей системы.

Приведенные математические расчеты, конечно, далеки от решения проблем, с которыми сталкиваются конструкторы. Тем не менее, показан путь моделирования реальных современных объектов «от простого к сложному», что соответствует диалектическому пути познания с соблюдением принципа преемственности.

Список литературы:

1. Трофимова Т.И. Курс физики: учеб. пособие для вузов / Т. И. Трофимова. — 15-е изд., стер. — М.: Издательский центр «Академия», 2012. — 560 с.