МАТЕМАТИКАЛЫҚ САУАТТЫЛЫҚТА ЖИЫНДАР ТЕОРИЯСЫН ҚОЛДАНУ

APPLICATION OF SET THEORY IN MATHEMATICAL LITERACY

Aigerim Tokenova

student, Department of " Mathematics" Kostanay Regional University named after Akhmet Baitursynov,

Kazakhstan, Kostanay

Galiya Asqanbaeva

scientific adviser, senior lecturer, Department of " Mathematics" Kostanay Regional University named after Akhmet Baitursynov,

Kazakhstan, Kostanay

АННОТАЦИЯ

Жиындар теориясы - жиындардың (көбінесе шексіз жиындардың) жалпы қасиеттерін зерттейтін логика мен математиканың бір бөлімі. Негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді, олар белгілі ұғымдар арқылы түсіндіріледі. Өзара әртүрлі (бөлек) заттарды қандай да бір қасиеті бойынша біріктіріп, бүтін бір зат ретінде қарастыруға болады.

Жиын теориясының әдістері қазіргі математика мен математикалық логиканың барлық салаларында кеңінен қолданылады.

Математикалық логика – логикалық қорытындыларды қатаң символикалық тілдің негізіндегі логикалық есептеулер арқылы зерттейтін логиканың тармағы. Математикалық логикада ойлау заңдылықтары талданады және оқып зерттеледі. Оқиға мен нақты түрлендіруді математикалық сипаттаудың зерттеу негізі математикалық логика болып табылады.

ABSTRACT

Set theory is a branch of logic and mathematics that studies the general properties of sets (often infinite sets). The basic concepts are not definable, they are interpreted through certain concepts. Mutually different (separate) things can be considered as a single whole, combining them by some property. Methods of set theory are widely used in all areas of modern mathematics and mathematical logic.

Mathematical logic is a branch of logic that studies logical deductions through logical calculations based on a strict symbolic language. In mathematical logic, the patterns of thinking are analyzed and studied. The study of the mathematical description of an event and a real transformation is based on mathematical logic.

Түйін сөздер: Жиындар теориясы, ішкі жиын, Эйлер-Венн диаграммасы, жиындардың бірігуі, жиындардың қиылысуы, толықтауыш жиын, математикалық құзіреттілік, математикалық сауаттылық.

Keywords: Set theory, subset, Euler-Venn diagram, merging of sets, intersection of sets, complementary set, mathematical competence, mathematical literacy.

Бұл мақалада математикалық сауаттылықта жиындар теориясын қолдану қарастырылды. Мақалада келесі сұрақтар қарастырылды:

• Жиындар теориясының анықтамалары, Эйлер-Венн диаграммалары;
• Жиындар теориясын математикалық сауаттылықта, өмірде қолдану;
• Жиындар теориясы бойынша контексттік есептерді шешу жолдары.

Жиын ұғымы математиканың негізгі ұғымдарының бірі болып табылады. Негізгі ұғымдарға анықтама берілмейді, олар белгілі ұғымдар арқылы түсіндіріледі. Шексіз жиындарды сандық түрде салыстыру мүмкіндігі туралы мәселе жиындардың шешілуге тиісті ең алғашқы мәселесі болды. Бұл мәселеге 19 ғ-дың 70-жылдары неміс математигі Г.Кантор (1845 — 1918) жауап берді. [1, 5]

Өзара әртүрлі (бөлек) заттарды қандай да бір қасиеті бойынша біріктіріп, бүтін бір зат ретінде қарастыруға болады. Алынған жаңа зат жиын деп, ал оның құрамындағы заттардың әрқайсысы жиынның элементі деп аталады.

Мысалдар. Күн жүйесіндегі (системасындағы) планеталар жиыны. Барлық натурал сандар жиыны. Координаталық жазықтықтың барлық нүктелерінің жиыны. [2,6]

Жиынды көбінесе латын алфавитінің үлкен (бас) әріптерімен, ал оның элементтерін кіші әріптермен белгілейді.

Х жиынының  элементтерінен тұратындығы  түрінде бейнеленеді.

х  заты  жиынының элементі болатыны  символымен белгіленеді («х  жиынына тиісті», «х  жиынының элементі» деп оқылады).

х заты  жиынының элементі болмайтыны  символымен белгіленеді («х  Х  жиынына тиісті емес», «х  Х  жиынының элементі емес» деп оқылады).

Анықтама. А және В жиындары берілген болсын. Егер А жиынының әрбір элементі В жиынының да элементі болса, онда А жиыны В жиынының  ішкі жиыны (жиыншасы) деп аталып, былайша белгіленеді:

  немесе  .

Анықтама.  және  жиындарының ең болмағанда біреуіне тиісті элементтерден, тек сол элементтерден ғана тұратын жиынды   және  жиындарының бірігуі деп атайды да,    символымен белгілейді. (1 сурет)

(1 сурет)

.

А мен В жиындарының ортақ элементтері жоқ болса, яғни олар қиылыспайтын болса, онда да бұл екі жиынның бірігуі анықталады. (2 сурет)

(2 сурет)

Анықтама. А және В жиындарының екеуіне де тиісті элементтерден тұратын жиынды  А  және В жиындарының қиылысуы деп атайды да,   символымен белгілейді.

(3 сурет)

Анықтама. А жиынына тиісті, ал В жиынына тиісті емес элементтерден тұратын жиынды А және В жиындарының айырмасы деп атайды да, символымен белгілейді. (4 сурет)

(4 сурет)

 жиыны  жиынының  әмбебап жиынына дейінгі толықтауыш жиыны (толықтауышы) деп аталады және  символымен белгіленеді, яғни

. (5 сурет)

Сонда, егер болса, онда

(5 сурет)

Функционалдық сауаттылық дегеніміз - адамдардың әлеуметтік, мәдени, саяси және экономикалық қызметтерге белсене араласуы, яғни бүгінгі жаһандану дәуіріндегі заман ағымына, жасына қарамай ілесіп отыруы, адамның мамандығына , жасына қарамай үнемі білімін жетілдіріп отыруы. Ондағы басты мақсат жалпы білім беретін мектептерде  Қазақстан Республикасының зияткерлік, дене және рухани тұрғысынан дамыған азаматын қалыптастыру, оның әлемде әлеуметтік бейімделуі болып табылады. [3,15]

Математикалық сауаттылық дегеніміз:

- математиканың әлемдегі рөлін анықтау және түсіну;

- әртүрлі формада берілген сандық ақпараттарды оқу, талдау, түсіндіріп беру;

- дұрыс негізделген математикалық пайымдаулар айту;

- есептерді шығарудың тиімді тәсілдерін табу, орындау, өзін-өзітексеру, өмірмен байланыстыру керек.

Математикалық сауаттылықтың қалыптасуы «математикалық құзыреттiлiктiң» даму деңгейлерімен (танымдық салалармен) сипатталады:

- білу (еске түсіру):терминдерді, сандарды қасиеттері бойынша суреттеу және есептеу; график пен кестеден мәліметтерді алу; құралдарды қолдану; классификациалау, математикалық объектілерді танып білу.

- қолдану (байланыстарды орнату): нәтижелі шешу тәсілін таңдау; математикалық ақпаратты талдау және көрсету; модельдеу; тізбекке байланысты тапсырмаларды орындау; стандартты есептерді шешу.

- ойлау (пайымдау): объектілердің арасындағы тәуелділікке талдау жасау; қорытындылау, әртүрлі шешу жолдарын синтездеу; дұрыс/бұрыс айтылғандарды дәлелдеу; стандартты емес есептерді шешу. [4,9]

Математикалық құзыреттілік – нәтижелерді түсіндіру, талдау және түрлендіру, математикалық модель құрастыру, қатынастарды анықтау, шынайы өмірде пайда болған мәселелерді шешу үшін математиканы дәлме-дәл қолдану қабілеттілігі.

Математикалық сауаттылықта жиындарды қолдану тиімділігі – жиындар тақырыбындағы математикалық тапсырмалар өмірлік мәселелерге жақын, қоршаған ортаның түрлі аспектілерімен байланысты және өз шешімдері үшін математикалық талдауды талап ететін, мектептің өмірі, қоғам, оқушының жеке өмірі, кәсіби қызмет, спорт, және тағы басқалар туралы мәлімет ұсынады.

Математикалық ойлауды дамытуға арналған есептер талдауды, мәліметтер мен ізделетін шамаларды салыстыруды, шығарылатын есепті бұрын шығарылған есептермен салыстыруды, есептің карапайым моделін   жасауды, есептің мәліметтерін синтездеуді және оларды график, таблица, сондай-ақ математикалық сөйлем түрінде өрнектеуді, табылған нәтижелерді  нақтылауды, зерттеуді талап етеді.[5]

Енді осы тақырыпты қорыта мысал келтірейік:

МЫСАЛ 1. Сыныптағы 41 оқушы көркемөнерпаздар үйірмесіне қатысады. Олардың ішінде 23 оқушы домбыра тартады, ал 30 оқушы өлең айтады.

1. Неше оқушы тек домбыра тартады?

2. Неше оқушы домбыра да тартады, өлең де айтады?

Әрбір оқушы кем дегенде бір үйірмеге қатысады

Шешімі:

(23-х)+х+(30-х)=41

х=12

Демек,

1. 11 оқушы тек қана домбыра тартады.

2. 12 оқушы домбыра да тартады, өлең де айтады.

МЫСАЛ 2. «Шапағат» фирмасында ағылшын тілін 8 жұмысшы біледі, қазақ тілін – 15, неміс тілін – 10.  Ағылшын және қазақ тілдерін 4 жұмысшы біледі, қазақ және неміс тілдерін – 6, неміс және ағылшын тілдерін – 5. Үш тілді де 3 жұмысшы біледі.

1. Неше жұмысшы тек қана қазақ тілін біледі?

2. Фирмада жалпы неше жұмысшы істейді?

*Әрбір жұмысшы кем дегенде 1 тіл біледі.

Шешімі:

Демек,

1. Тек қана қазақ тілін 8 жұмысшы біледі.

2. Фирмада 2+1+8+2+3+3+2=21 жұмысшы істейді. [6,87]

Қорытынды

Бұл жұмыста жиындар теориясы, математикалық сауаттылықтың, математикалық құзіреттіліктің негізгі анықтамалары, жиындар теориясын математикалық сауаттылықта қолдану көрсетілді.

Математикалық сауаттылықта жиындарды қолдану тиімділігі – жиындар тақырыбындағы математикалық тапсырмалар өмірлік мәселелерге жақын, қоршаған ортаның түрлі аспектілерімен байланысты және өз шешімдері үшін математикалық талдауды талап ететін, мектептің өмірі, қоғам, оқушының жеке өмірі, кәсіби қызмет, спорт, және тағы басқалар туралы мәлімет ұсынатыны табылды.

Жұмыста жиындар теориясына қолданылатын амалдар, олардың анықтамалары, математикалық сауаттылықтың сипаттамалары, жиындар теориясының сұрақтарына жауап берген математигі аталды.

Есеп шығарудың басты мақсаттарының бірі – ойлау қызметін  жандандыру. Демек, ойлау қызметін жандандыру арқылы  әр алуан түрлендірулерді, есептеулерді орындауды, математикалық  сөйлемдерді тұжырымдауды үйретумен бірге, ойлап, талқылауға, математикалық фактілерді салыстыруға, ортақ немесе айрықша қасиеттерді көрсетуге, дұрыс қорытынды жасауға баулиды.

Әдебиеттер тізімі:

1. Л.А. Калужнин «Элементы теории множеств и математической логики в школьном курсе математики», Москва «Просвещение» 1978 ж.
2. Верещагин, Шень "Начала теории множеств" 2012 ж.
3. «Творческая педагогика» Журнал №3, 2010 ж.
4. Журнал «Математика Қазақстан мектебінде» №6, 2013 ж.
5. https://infourok.ru/oushilardi-matematikali-sauattilitarin-damitu-zholdari-1502414.html
6. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. «Математическая логика». 5-ші шығарылым. — СПб., 2005 ж.