МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ НАКЛОННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ДУГ НА ПОВЕРХНОСТЬ ВАННЫ ДСП

В ДСП ток протекает по трем параллельным графитированным электродам от одного электрода к другому, при этом направление протекания тока изменяется на 90⁰, вследствие чего возникает электродинамическое усилие и эффект выдувания дуги из-под электрода. Ось дуги θ располагается под углом к оси графитированного электрода. Средний угол наклона столба дуги  по отношению к нормали зеркала ванны колеблется для ДСП различной мощности и емкости в пределах 45‑65 градусов [1, с. 96].

Рассматривается модель падающего теплового потока от электрических дуг, расположенных под углом к тепловоспринимающей поверхности, на линию, образованную пересечением поверхности ванны и перпендикулярной ей плоскости, проходящей через ось дуг.

Рассмотрим модель теплового излучения на поверхность расплава от дуги одного электрода. На рисунке 1 показаны основные геометрические характеристики при горении электрической дуги Ι_δ длиной  между графитированным электродом и расплавом. Угол θ образован лучом ОВ, являющимся нормалью к тепловоспринимающей поверхности и лучом ОА, являющимся осью электрической дуги. Введем прямоугольную систему координат xOz, где ось z совпадает с осью дуги, а ось x находится в плоскости AOB.

Интенсивность облучения некой площадки поверхности посредством точечного цилиндрического излучателя мощностью dP можно определить как   [2, с. 39]

,                                                               (1)

где R=|AC|    — расстояние от источника излучения до центра площадки, К_э — поправочный экспериментальный коэффициент, учитывающий долю мощности дуги, идущую на излучение, φ₁ — угол между нормалью к оси дуги и направлением излучения, φ2 —  угол между нормалью к поверхности ванны и направлением излучения. Рассмотрим тепловой поток облучения dq, падающий от источника излучения  на площадку dS (рисунок 2). Видно, что , , .

Рисунок 1. К расчету плотности теплового излучения дуги на минимальную площадку dS

Заменяя x=r * cosθ, получим

.                                                              (2)

Считаем, что полная мощность излучения P дуги равномерно распределена по ее длине, поэтому в малом элементе объема дуги   выделяется мощность .

Получим, что:

,

.

Приведем полученную зависимость теплового потока от расстояния вдоль луча OC (в направлении r)

,                                                                  (3)

где ,

               .

Значение теплового потока можно выразить в зависимости от безразмерного расстояния 

,                                                    (4)

где               ,

,

.

Рассмотрим теперь тепловой поток облучения, падающий от источника dq  в точку  C' (рисунок 1). Все рассуждения по определению теплового потока остаются без изменения за исключением того, что расстояние R будет определяться как .

Так как функция sin θ нечетная, поэтому -sin θ=sin (-θ), следовательно, для площадки dS', расположенной на отрезке , имеем такое же решение (3) ‑ (4), как для отрезка OC', если подставить .

Необходимо отметить, что выражение (3) после несложных преобразований переходит в формулу, полученную для дуги, ось которой совпадает с нормалью ( θ=0)

.                                                    (5)

Рассмотрим теперь модель теплового потока на произвольно расположенную площадку dS находящуюся на поверхности ванны от электрической дуги, расположенной под углом к ней.

Введем декартову систему координат Oxyz, связанную с центром привязки дуги, причем плоскость Oxy совпадает с поверхностью ванны, а начало координат O является пересечением оси дуги OA и поверхности ванны (рисунок  2). Ось электрической дуги находится в плоскости Oxz. Положение площадки dS задается ее расстоянием r от точки O и углом ψ. Вектор  перпендикулярен площадке dS, а вектор  лежит в плоскости AOC и перпендикулярен прямой OA. В выбранной декартовой системе имеем координаты точек: C(r cos ψ, r sin ψ, 0); A(‑z₀ sin θ; 0; z₀ cos θ).

Для определения углов φ₁ и φ₂, используя векторную алгебру, напишем координаты основных векторов:

;

;

; ;

.

Найдем расстояние от источника излучения до центра dS

, упрощая, получим

.                              (6)

Определим косинусы углов

          = ,                                                   (7) 

.

Подставив в последнее выражение значение R², получим

.                                                                                      (8)

С учетом соотношений (6‑8), интегрируя, получим тепловой поток в точке С от излучения всей дуги:

 или

                                          (9)

где  ; .

Рисунок 2. К расчету плотности теплового излучения дуги на площадку dS

Иллюстрируя полученную модель, приведены зависимости теплового излучения одной дуги от угловой координаты ψ, при разных углах наклона дуги θ (рисунок 3). Видно наличие плоскости зеркальной симметрии Oxz, при этом минимальное значение теплового потока наблюдается при ψ=0⁰, а максимальное – вблизи направления ψ =180⁰.

                                               а                                                                                               б

Рисунок 3. Тепловой поток вдоль азимутальной координаты точки привязки дуги : а – линейный график; б – полярный график; угол наклона дуги: – θ=0⁰;   – θ=20⁰;  – θ=30⁰;  – θ=45⁰

Переходим к модели теплового потока при одновременном горении трех дуг. Рассмотрим декартову систему координат Oxyz, началом которой является центр распада электродов (рисунок 4). Плоскость Oxy совпадает с поверхностью ванны, ось Ox проходит через центр первого электрода, а ось электрической дуги находится в плоскости Oxz.

Рисунок 4. К расчету плотности теплового излучения дуги на площадку dS

Тогда центры привязки дуг с учетом их отклонения от нормали  имеют следующие координаты:

,

,

,

где D_p –  диаметр распада электродов.

Находим тепловой поток в точке A(acosα;:asinα), которая является центром площадки dS. Векторы, проходящие через центры привязки дуг и точку A, имеют координаты  , а их длина  , где i‑1, 2, 3.

Определим углы ψ_i, показанные на рисунке 4:

.

Зная r_i и cosψ_i, запишем суммарный тепловой поток, падающий на элементарную площадку как сумму тепловых потоков, от каждой из дуг

.                                                         (10)

Таким образом, создана математическая модель распределения теплового потока на поверхность ванны ДСП от одной и трех наклонных электрических дуг. Установлено, что, при отклонении электрической дуги от нормали к поверхности ванны падающий тепловой поток перестает быть осесимметричным; в направлениях ψ=90⁰ и ψ =270⁰ тепловой поток не зависит от угла наклона дуги θ; в распределении тепловых потоков имеет место зеркальная симметрия относительно плоскости, проходящей через ось дуги и перпендикулярной поверхности ванны.

Список литературы:

1. Макаров А.Н. Теплообмен в дуговых сталеплавильных печах. — Тверь: ТГТУ, 1998. — 184 с.
2. Макаров А.Н., Свенчанский А.Д. Оптимальные тепловые режимы дуговых сталеплавильных печей. — М.: Энергоатомиздат, 1992. — 96 с.
3. Ячиков И.М., Портнова И.В. Взаимодействие колеблющейся дуги с поверхностью расплава / И.М. Ячиков, И.В., Портнова // Наука и технологии. Том 1. Труды XXIV Российской школы по проблемам науки и технологий, посвященной 80-летию со дня рождения академика В.П. Макеева. —М., 2004. — С. 224–230.