Статья опубликована в рамках: LII Международной научно-практической конференции «Научное сообщество студентов: МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ» (Россия, г. Новосибирск, 06 сентября 2018 г.)
Наука: Экономика
Скачать книгу(-и): Сборник статей конференции
дипломов
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
Статистика в экономической науке играет фундаментальную роль. На основе фактических показателей в той или иной сфере общественных отношений строятся прогнозы изменений среды, основываясь на которые можно предугадать возможные экономические последствия.
Существуют различные методы построения прогноза численных рядов данных: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, метод наименьших квадратов. Но последний получил широкое распространение в современной науке за счет своей простоты и точности прогнозируемых данных. Теоретический анализ сущности изучаемого явления, изменение которого отображается временным рядом, служит основой для выбора кривой. Иногда принимаются во внимание соображения о характере роста уровней ряда. Так, если рост выпуска продукции ожидается в арифметической прогрессии, то сглаживание производится по прямой. Если же оказывается, что рост идет в геометрической прогрессии, то сглаживание надо производить по показательной функции.
Предположим, что дан массив статистических данных: 
, 
(i = 
). Необходимо определить функциональную зависимость y=f(x) с помощью МНК.
Алгоритм решения предполагает составление трех видов функций: квадратичную, степенную и показательную, которые имеют вид:
Затем определим коэффициенты прогнозируемых зависимостей и построим графики полученных функций 
, 
, 
и график начальной функции у в одной системе координат.
За основу возьмем статистические данные прироста численности населения в Челябинской области за последние 13 лет.
Таблица 1.
Статистическая выборка
|
xi |
1 |
1,33 |
1,67 |
2 |
2,33 |
2,67 |
3 |
3,33 |
3,67 |
4 |
4,33 |
4,67 |
5 |
|
yi |
3 |
2,83 |
2,67 |
2,5 |
2,33 |
2,17 |
2 |
1,25 |
1,50 |
1,75 |
2,00 |
2,25 |
2,5 |
Составим матрицы A и B, где n – количество элементов в выборке
А= 
В=
Получаем следующие матрицы:
А=
, В=
.
Затем вычислим коэффициенты для функциональных зависимостей и запишем их в общем виде, а также найдем погрешность от исходных данных:
b=
yкв =4,69 – 1,68x + 0,24 x2
Таблица 2.
Выборка квадратичной функции
|
xi |
1 |
1,33 |
1,67 |
2 |
2,33 |
2,67 |
3 |
3,33 |
3,67 |
4 |
4,33 |
4,67 |
5 |
yквi |
3,25 |
2,88 |
2,56 |
2,30 |
2,09 |
1,93 |
1,83 |
1,79 |
1,79 |
1,85 |
1,97 |
2,14 |
2,37 |
Вычислим погрешность
= 0,82.
Аналогично проделаем шаги ля степенной и показательной функций:
А=
, В=
а=
, b=b1. b=
.
Тогда а=2,9 и b= – 0,3
yст = 2,9x – 0,3
Таблица 3.
Выборка степенной функции
|
xi |
1 |
1,33 |
1,67 |
2 |
2,33 |
2,67 |
3 |
3,33 |
3,67 |
4 |
4,33 |
4,67 |
5 |
yстi |
2,90 |
2,66 |
2,49 |
2,36 |
2,25 |
2,16 |
2,08 |
2,02 |
1,96 |
1,91 |
1,87 |
1,82 |
1,79 |
=1,28
А=
, В=
а=, b=b1. b=
.
Тогда а=2,88 и b= – 0,1
yпок =2,88е– 0,1х
Таблица 4.
Выборка показательной функции
|
xi |
1 |
1,33 |
1,67 |
2 |
2,33 |
2,67 |
3 |
3,33 |
3,67 |
4 |
4,33 |
4,67 |
5 |
yпокi |
2,61 |
2,53 |
2,45 |
2,37 |
2,30 |
2,22 |
2,15 |
2,08 |
2,02 |
1,95 |
1,89 |
1,83 |
1,77 |
=1,43.
Для анализа получившихся выборок построим графики по полученным данным в единой системе координат.
Рисунок 1. Сравнение линий трендов
По полученному графику мы можем наблюдать, что начальная выборка максимально совпадает с данными, изменяемыми по квадратичному закону.
Таким образом, полученные результаты позволяют спрогнозировать дальнейшие изменения в демографии региона с политикой государства в вопросах увеличения численности населения.
Список литературы:
1.Бурмистров, Г. А. Основы способа наименьших квадратов / Г.А. Бурмистров. - М.: Государственное научно-техническое издательство литературы по геологии и охране недр, 1975. - 392 c.
2.Гаусс, К.Ф. Избранные геодезические сочинения. Том 1. Способ наименьших квадратов / К.Ф. Гаусс. - М.: ЁЁ Медиа, 1996. - 902 c.
3.Любимова, Н. А. От приема к методу. Как пройти этот путь с наименьшими потерями / Н.А. Любимова, Е.В. Бузальская. - М.: Златоуст, 2016. - 868 c.
дипломов
Оставить комментарий