ЗАДАЧИ ЕДИНОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ НА НАХОЖДЕНИЕ РАССТОЯНИЯ ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ

Единый государственный экзамен по математике в нашей стране проводится уже более пятнадцати лет. За эти годы он претерпел отдельные трансформации, связанные как с наполняемостью экзаменационной работы, так и с содержательными аспектами: стала более прозрачной типизация задач; в последние годы экзамен представлен на двух уровнях – базовом и профильном.  В профильном уровне имеются задачи на нахождение расстояния от точки до плоскости. Эти задачи относятся к стереометрии. Стереометрия – раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Стереометрия или геометрия в пространстве – это раздел геометрии, изучающий положение, форму, размеры и свойства различных пространственных фигур [1]. 

Систематический курс изучения стереометрии изучается в 10-11 классах, и у многих учеников возникают трудности при решении подобных задач. Стереометрия требует не только знание теории, но и умение строить правильно пространственные фигуры. Есть много методов решений задач на данную тему, каждый ребенок может найти себе свой метод, который окажется для него самым простым. В данной статье мы рассмотрим решения задач «Методом объемов». Чтобы решить задачи, которые рассмотрены в нашей статье, вспомним теорию.

Определение 1.  n-угольной призмой называется многогранник , составленный из двух равных n-угольников , – оснований призмы и n – параллелограммов  – боковых граней призмы. Отрезки  называются боковыми ребрами призмы. Все они равны и параллельны друг другу [2, с. 63].

Определение 2. Если все боковые ребра призмы перпендикулярны к плоскостям ее оснований, то призма называется прямой; в противном случае призма называется наклонной. Прямая призма, основаниями которой являются правильные многоугольники, называется правильной [3, с. 311]. 

Определение 3. Расстояние от точки до плоскости, не содержащей эту точку, есть длина отрезка перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость [4, с. 54]. 

Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Для решения задач рассмотрим «Метод объемов» для нахождения расстояния от точки до плоскости. Задачу данного типа можно свести к задаче о вычислении высоты пирамиды, где высота пирамиды является искомым расстоянием от точки до плоскости.  Для этого необходимо доказать, что эта высота является искомым расстоянием; далее найти объём этой пирамиды двумя способами и выразить эту высоту. Отметим, что при данном методе нет необходимости в построении перпендикуляра из данной точки к данной плоскости. Исходя из равенства объёмов одной и той же фигуры, в нашем случае пирамид, рассмотренные с разных вершин, можно выразить искомое расстояние.

Рассмотрим использование этого метода для решения задач.

Задача 1. В правильной треугольной призме  . Стороны основания равны 6, боковые ребра равны 8, точка  середина . Найдите расстояние от вершины   до плоскости .

Рисунок 1. Чертеж для решения первой задачи

Решение. Найдем расстояние от точки  до плоскости  через объем пирамиды . Так как призма правильная, то боковые грани – равные прямоугольники. Следовательно, так как , то . Откуда   – высота, медиана и биссектриса треугольника , т.е. .  Пусть  середина . Тогда ., то. Отсюда  перпендикулярна двум пересекающимся прямым  в плоскости .  Т.е.  – высота пирамиды из точки  на плоскость .

Напишем объем пирамиды  двумя способами, приравняем и получим уравнение относительно ,искомое расстояние от точки  до плоскости .

,

,

1) .

2) .

3) .

4) .

Ответ: .

Задача 2. В правильной треугольной призме стороны основания равны 1, боковые рёбра равны 3, точка D – середина ребра . Найдите расстояние от вершины C  до плоскости .

Рисунок 2. Чертеж для решения второй задачи

Решение. Найдем расстояние от точки  до плоскости  через объем пирамиды  (рис. 2). Так как призма правильная, то боковые грани – равные прямоугольники. Пусть  середина .    высота, медиана и биссектриса равностороннего треугольника .   перпендикулярна плоскости . Т.е.  высота пирамида  .

Напишем объем пирамиды  двумя способами, приравняем и получим уравнение относительно ,искомое расстояние от точки  до плоскости  .

,

,

1) .

2) .

4) .

5) .

6) .

Ответ:

«Метод объемов» при решении задач на нахождение расстояния от точки до плоскости позволяет избежать громоздких вычислений и конфигураций в построении чертежа.

Список литературы:

1. История стереометрии [Электронный ресурс]. URL: https://sites.google.com/site/stereometriasaitinf/ucenikam/velikie-ucenye (дата обращения 10.11.2018).
2. Геометрия. 10 – 11 классы: учебник для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [ Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др.]. – 22-е изд. – М. : Просвещение, 2013. – 255 с.
3. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – 20-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 384 с.
4. Ганеева А.Р. Задачи С2 и С4 единого государственного экзамена по математике. Учебное пособие. – Елабуга: Изд-во Елабужского института КФУ, 2013. – 100с.