ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АППАРАТА ПРИ РАСЧЕТЕ СЛОЖНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

АННОТАЦИЯ

В данной статье представлен материал, описывающий применение матричного метода расчета электрических цепей в электротехнике. Работа включает в себя основные теоретические аспекты. В целях демонстрации практического применения матричного метода представлен наглядный пример.

Ключевые слова: матрица; схема электрической цепи; электротехника, направленный граф, матрица инциденций, матрица циклов.

Использование матричной теории получило широкое применение во многих областях наук. Возможность использования записи данных в матричной форме позволяет производить различные математические преобразования и вычисления, что дает возможность значительно оптимизировать проведение расчетов, например, сводя решение той или иной задачи к решению системы уравнений.

В совокупности с элементами теории графов, матрицы нашли применение в электроэнергетике. Их использование позволяет значительно упростить расчет энергетических систем (ЭС).

Рассмотрим основные теоретические аспекты, используемые при расчете электрических цепей (ЭЦ).

Зададим направленный связный граф  у которого помечены все ребра и вершины. Условимся обозначать количество вершин и ребер данного графа, соответственно через . Выберем в данном графе ациклический подграф, соединяющий все вершины исходного графа т.е.  выберем в исходном графе дерево, число ребер которого будет определяться, как количество вершин исходного графа без единицы  .  Основываясь на том принципе, что при соединении двух несмежных вершин ациклического графа образуется простой цикл, зададим в данном графе простых циклов, где . Исходя из выше сказанного, количество рассматриваемых простых циклов данного графа будет равно количеству ребер, не вошедших в дерево. Приведем основные эквиваленты математическим терминам из электротехники и в дальнейшем условимся называть вершины – узлами, ребра графа – ветвями, ребра, не вошедшие в дерево – хордами, а простые циклы - контурами. Данный подход позволяет выбрать  независимых контуров, каждый из который образован одной связью и несколькими ветвями дерева. Зададим в каждом контуре направление обхода таким образом, чтобы оно совпадало с направлением задающей его хорды. Пронумеруем контуры согласно возрастанию номеров хорд их образующих.

Используя все выше указанные принципы дадим определение матрицы контуров (циклов).

Матрицей контуров называется прямоугольная матрица  размерности , где , строки которой соответствуют номерам хорд, а столбцы – ветвям графа, где , если ветвь  принадлежит контуру  и совпадает с направлением его обхода;, если ветвь  принадлежит контуру , но не совпадает с направлением его обхода; , если ветвь  не принадлежит контуру .

Используя тот факт, что в связном графе отсутствуют изолированные узлы и каждой паре узлов инцидентна как минимум одна ветвь, мы можем описать данный граф используя понятие инцидентности, определяющее принадлежность узла к ветви и наоборот. Рассматривая каждую ветвь, с учетом ее направленности, на принадлежность к тому или иному узлу можно сделать вывод о том, что есть всего три варианта взаимоотношений между отдельной парой узел-ветвь, а именно: ветвь инцидентна данному узлу и направлена от него, ветвь инцидентна данному узлу и направлена к нему или  рассматриваемая ветвь вовсе не инцидентна данному узлу. Основываясь на данном принципе, дадим определение расширенной матрицы узловых соединений (матрицы инциденций).

Расширенной матрицей узловых соединений  называется прямоугольная матрица размерности , где , строки которой соответствуют номерам узлов, а столбцы - ветвям графа, где , если ветвь   инцидентна узлу  и направлена от него; , если ветвь   инцидентна узлу  и направлена к нему; , если ветвь   не инцидентна узлу . Из правил заполнения данной таблицы следует, что в каждом столбце будет только два отличных от нуля, противоположных по знаку элемента, т.е. сумма элементов по столбцам равна нулю. Данный принцип позволяет записывать только  строк матрицы, т.к.  строка всегда может быть восстановлена из предыдущих.

Впредь условимся при нумерации столбцов матриц сначала нумеровать ветви графа, а после его связи.

Приведем пример практического использования данных теоретических сведений.

Например: сформировать основные топологические матрицы исследуемой электрической цепи, изображенной на рисунке 1. Составить с их помощью систему контурных уравнений.

Рисунок 1. Схема, рассматриваемой ЭЦ

Решение:

Построим граф рассматриваемой ЭЦ:

Рисунок 2. Граф, рассматриваемой ЭЦ

Система контурных уравнений в матричной форме имеет вид:

Зададим вектор-столбец контурных токов:

Составим матрицу основных контуров  и транспонированную матрицу :

Запишем матрицу сопротивлений ветвей :

Зададим вектор-столбцы источников тока и ЭДС, соответственно 

Найдем необходимые промежуточные матрицы:

Запишем систему контурных уравнений:

Хотелось бы отметить, что применение матричного метода в электротехнике не ограничивается описанным в статье примером и имеет большое количество расчётных алгоритмов. Матричный метод является одним из основных методов, применяемых на практике, позволяющим провести комплексный анализ энергетических схем любой сложности.

Список литературы:

1. Теоретические основы электротехники: В 3-х т. Учебник для вузов. Том 1. — 4-е изд. / К. С. Демирчян, Л. Р. Нейман, Н. В. Коровкин, В. Л. Чечурин. — СПб.: Питер, 2003.— 463 с.: ил.
2. Оре О. Теория графов. – 2-е изд. – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980, 336 с.
3. Харари Ф. Теория графов М. : Мир, 1973. — 301 с.