ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПОДХОДА ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ВЕРОЯТНОСТИ В РЕШЕНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

В древнюю эпоху геометрия занимала привилегированное положение. Она являлась основной наукой, в которой проявлялось искусство доказательства. Суть геометрического метода состоит в том, что решение задачи и доказательство направляется наглядным представлением. Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач часто используется понятие геометрической вероятности. Применение теории вероятностей во многих научных исследованиях до сих пор актуально. Теория вероятностей используется не только в математике и физике, но и в биологии, экономике и т.д. В данной статье рассмотрим возможности геометрической вероятности для решения математических задач.

Определение. Вероятность того, что наугад выбранная точка фигуры  на плоскости попадет в некоторую фигуру , содержащейся в фигуре  равна отношению площади фигуры   к площади фигуры  (рис. 1).

Рисунок 1. Схематический чертеж к определению

Задача 1. В окружность вписан квадрат (рис. 2). В круг наугад ставят точку. Какова вероятность того, что эта точка попадёт в квадрат?

Рисунок 2. Схематический чертеж к первой задаче

Решение. Пусть событие А – попадание точки в квадрат. Пусть радиус окружности равен R. Тогда площадь квадрата, вписанного в окружность, равна , а площадь круга равна . Поэтому вероятность того, что эта точка попадёт в квадрат равна

  =  =  0,637.

Задача 2. В окружность вписан квадрат (рис. 3). В круг произвольно ставят 10 точек. Найти вероятность того, что 4 точки попадут в квадрат?

Рисунок 3. Схематический чертеж ко второй задаче

Решение. Пусть событие B – попадание 4 - х точек в квадрат, а 6 не попадут. Из примера 1 мы возьмем вероятность того, что одна точка попадет в квадрат (P(A)=0,637). Из этого следует, то вероятность того, что ни одна точка не попадет в круг, равна:

Для того чтобы решить данную задачу воспользуемся формулой Бернулли:

(4)==≈0,079.

Задача 3. Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг правильного треугольника. Предполагается, что вероятность падения точки в часть круга пропорциональна площади этой части и не зависит от ее расположения относительно круга.

Решение. Сторона a правильного треугольника, вписанного в окружность с радиусом R, по теореме синусов есть:

Следовательно, площадь этого треугольника

.

Итак, вероятность попадания точки в правильный треугольник, вписанный в окружность, есть

 .

Список литературы:

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей: учебник. – Эдиториал, 2001. – 320 с.
2. Грехем Р. Конкретная математика. Основы информатики. – М. – Мир, 1998. – 703 с.
3. Емельянов Г.В. Задачник по теории вероятностей и математической статистики. – СПб. – Лань, 2007. – 336 с.
4. Репин О.А., Суханова Е.И., Ширяева Л.К. Задачи Всероссийских студенческих олимпиад по теории вероятностей и математической статистике: учебное пособие. – СПб. – Лань, 2011. – 192 с.