ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ НА ДВИЖЕНИЕ МАНИПУЛЯЦИОННОГО РОБОТА

Модель однозвенного манипулятора

Рассмотрим модель жестко-связного шарнирного манипулятора, представленного на рисунке 1.

Рисунок 1. Модель однозвенного манипулятора

Рассмотрим систему:

где  - момент инерции двигателя;

 - момент инерции звена;

 - масса звена;

 - длина звена;

 - коэффициент затухания;

 - жесткость;

 - угол поворота звена;

 - угол поворота вала двигателя;

 – управление.

Задача управления состоит из задачи слежения с обратной связью, в которой желательно, чтобы координата  следовала за переменной по времени и ограничила желаемую траекторию  так, что , при  [20].

Если переписать исходную систему в виде

Используя малый параметр  и следующие новые переменные

Исходя из этих вычислений систему можно привести к следующему виду:

Данная система является сингулярно возмущенной с медленной подсистемой (2.17) и быстрой подсистемой (2.18). Пренебрегая всеми членами порядка  в правой части последнего уравнения, получим независимую подсистему:

Решения этой системы характеризуются достаточно высокой частотой  и относительно малой постоянной затухания , поскольку эта дифференциальная система имеет характеристический полином

который обладает комплексными нулями

Так как вещественная часть является отрицательной, для анализа модели рассматриваемого манипулятора можно использовать медленное инвариантное многообразие [22].

Функция управления

Пусть  является желаемой траекторией движения манипулятора, то есть цель контролируемого движения  при .

В отличие от работ [3, 7] в данной работе не используется быстрая составляющая функции управления, которая позволяет гарантировать асимптотическую устойчивость быстрой подсистемы и быстрое затухание переменных, .

В данной работе берется медленная составляющая функции управления , которая представляется в виде суммы

.

где

Возьмем , и  и , получим с точностью до порядка ,

для разности , поскольку  на медленном интегральном многообразии.

Данное уравнение позволяет выбрать коэффициенты в функции управления  таким образом, чтобы соответствующее управление позволяло достичь желаемой траектории.

Так как

где,

то получаем систему уравнений:

Например:

, при этом , .

Желаемая траектория будет иметь вид , тогда получим следующий закон управления для исходных переменных

Предположим, что однозвенный манипулятор находится на морском корабле. Из-за волн, манипулятор изменяет свою траекторию. Для того чтобы проверить, как себя будет вести траектория движения однозвенного манипулятора, под воздействием факторов влияющих на точность робота, будем изменять коэффициент естественного трения, а также коэффициент диссипации и проанализируем изменения.

На рисунках 2-3 изображено изменение коэффициента естественного трения:

Синяя кривая – желаемая траектория движения однозвенного манипулятора, зелёная кривая – заданная траектория движения однозвенного манипулятора, красная кривая – физические факторы (шум)

Рисунок 2. Траектория движения манипулятора с коэффициентом естественного трения равным 2.

синяя кривая – желаемая траектория движения однозвенного манипулятора, зелёная кривая – заданная траектория движения однозвенного манипулятора, красная кривая – физические факторы (шум)

Рисунок 3. Траектория движения манипулятора с коэффициентом естественного трения равным 3.

Из графиков выше видно, что как бы мы не изменяли коэффициент естественного трения, траектория движения манипулятора не становится близкой к желаемой. Чем больше мы изменяем коэффициент естественного трения, тем хуже проходит траектория движения манипулятора. Теперь будем изменять коэффициент диссипации (рисунки 7 – 8):

Синяя кривая – желаемая траектория движения однозвенного манипулятора, зелёная кривая – заданная траектория движения однозвенного манипулятора, красная кривая – физические факторы (шум)

Рисунок 7. Траектория движения манипулятора с коэффициентом диссипации равным 6.

Синяя кривая – желаемая траектория движения однозвенного манипулятора, зелёная кривая – заданная траектория движения однозвенного манипулятора, красная кривая – физические факторы (шум)

Рисунок 8. Траектория движения манипулятора с коэффициентом диссипации равным 18.

Мы видим, что при коэффициенте, который отвечает за диссипацию энергии за счет выбора управления, равным 18, траектория движения манипулятора под воздействием шума проходит близко к желаемой.

Исходя из полученных результатов, можно прийти к выводу, что увеличение естественного трения в системе (коэффициент c) практически не изменяет ситуацию, а увеличение коэффициента, который отвечает за диссипацию энергии за счет выбора управления, выводит траекторию движения манипулятора близко к желаемой.

Список литературы:

1. A yeast heterogeneous nuclear ribonucleoprotein complex associated with RNA polymerase II [Text] / N.K. Conrad [et al.] // Genetics. – 2000. – Vol. 154(2). – P. 557-571.
2. Aksenova, N.K. Control of a one rigit-link manipulator in the case of nonsmooth trajectory [Text] / N.K Aksenova, Vladimir A. Sobolev // CEUR Workshop Proceedings. – 2016. – Vol. 1638. – P. 493-497.
3. Ghorbel, F. Integral manifolds of singularly perturbed systems with application to rigid-link flexible-joint multibody systems [Text] / F. Ghorbel, M.W. Spong // Int. J. of Non-Linear Mechanics. – 2000. –Vol. 35. – P. 133-155.
4. Ghorbel, F. Integral manifolds of singularly perturbed systems with application to rigid-link flexible-joint multibody systems [Text] / F. Ghorbel, M.W. Spong // Int. J. of Non-Linear Mechanics. – 2000. – Vol. 35. – P. 133-155.
5. Karan, B. Calibration and accuracy of manipulation robot models [Text] / B Karan, M. Vukobratović // Mechanism and Machine Theory. – 1994.– Vol. 29(3). – P. 479-500.
6. Lagerstrom, P.A. Matched Asymptotic Expansions: Ideas and Techniques [Text] / P.A. Lagerstrom. – New York.: Springer, 1988. – 241 p.
7. Mikheev, Yu.V. Asymptotic analysis of digital control systems [Text] / Yu.V. Mikheev, V.A. Sobolev, E.M. Fridman // Automation and Remote Control. –1988. –Vol. 49(9). – P. 1175-1180.
8. Pokrovskii, A. Canard doublet in a Lotka-Volterra type model [Text]/ A. Pokrovskii, E. Shchepakina, V. Sobolev // Journal of Physics: Conference Series. – 2008. – Vol.138. – P. 12-19.
9. Shchepakina, Elena. Singular Perturbations Introduction to system order reduction methods with applications [Text] / Elena Shchepakina, Vladimir Sobolev, Michael P. Mortell. Singular Perturbations. –  Springer,  2014. – 121 p.
10. Smetannikova, E. Regularization of cheap periodic control problems [Text] / E. Smetannikova, V. Sobolev // Automation and Remote Control. – 2005. – Vol. 66(6). – P. 903-916.
11. Sobolev, V.A. Asymptotic expansions of slow invariant manifolds and reduction of chemical kinetics models [Text] / V.A. Sobolev, E.A. Tropkina // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2012. – Vol.52. – P. 75-89.