ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСКРЫТИИ ТРЕЩИНЫ РАЗРЫВА С ЛИНЕЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ НОРМАЛЬНЫХ СМЕЩЕНИЙ БЕРЕГОВ В СМЕШАННОЙ ПОСТАНОВКЕ

Введение. Известно, что трещина возникает вследствие разрушения горных пород, то есть отрыва, сдвига, скалывания и среза. При растяжении, материалы разрушаются в результате отрыва, а при сжатии – в результате скалывания. Расклинивание характеризуется смещением берегов трещины и при достаточных усилиях приводит к разрушению материала. Главной причиной разрушения материала может являться природный дефект - это неоднородность материала, поры, трещины, надрезы, повреждения поверхности. В данной работе трещина понимается как поверхность разрыва смещений. В последнее время проблемам прочности материалов уделяют большое внимание, такие проблемы очень важны и имеют огромное значение в развитии научно-технического прогресса. Некоторые задачи теории трещин невозможно решить аналитическими методами, поэтому разработка численных методов решения этих задач является актуальным вопросом.

Целью данной работы является численное решение задачи о раскрытии трещины разрыва с линейными функциями нормальных смещений берегов основной части в смешанной постановке.

Известно аналитическое решение для задачи о расклинивании трещины, представленное в виде:

                            (1)

которое именуется как аналитическое решение Черепанова и опубликовано в работе[5], где – нормальное раскрытие берегов трещины; – нормальное смещение берегов трещины; L– длина зияющей части трещины.

Постановка задачи и метод решения.  На рисунке 1 приведена модель раскрытия трещины AB с линейными функциями нормальных смещений берегов в смешанной постановке, где 0≤ a≤ h.

Рисунок 1. Геометрическая модель трещины смешанного типа

На основную часть трещины АО действуют нормальные смещения u_n, а зияющая часть трещины ОВ находится под действием нормальных напряжений σ_n  на границе тела. Краевые условия для данной задачи имеют вид:

– на участке АО:  при y = 0,АО=0,1 м,

                                                        (2)

– на участке ОВ: МПа, при y = 0,,

мкм,

где a – заданная величина, h– величина нормального смещения, q – величина нормально напряжения.

Граничные интегральные уравнения представлены в виде системы линейных уравнений [2]:

,  ,                         (3)

,   ,                     (4)

,  ,               (5)

где N – количество всех граничных элементов трещины;

M – количество граничных элементов, на которые разбивается участок АО;

N-M – количество граничных элементов, на которые разбивается участок ОВ;

 –компоненты разрывов смещений j-ого отрезка трещины в нормальном и касательном направлениях соответственно;

 – касательные смещения; – нормальные смещения;

 – касательные напряжения; – нормальные напряжения;

– граничные коэффициенты влияния [4].

 Для поставленной задачи рассмотрим следующие случаи:   

Граничные интегральные уравнения метода разрывных смещений, при переходе к конечным суммам образуют систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), детально рассмотрены в [2]. Решение системы реализовывалось двумя методами – методом Гаусса и методом QR-разложения. В процессе решения задачи получены результаты, свидетельствующие о том, что для всех решений СЛАУ обоими методами, решения идентичны. Таким образом, решать систему рекомендуется в работе [4] методом Гаусса, так как в отличие от других методов решения СЛАУ, метод Гаусса не требует итераций и определяет обычно хорошо обусловленную СЛАУ. Недостатком этого метода является то, что все операции производятся со всеми элементами матрицы.

Для решения краевых задач теории трещин одним из наиболее предпочтительных методов является метод разрывных смещений, являющийся одним из разновидностей метода граничных элементов.

Численное решение задачи. Решение задачи осуществлялось при следующих входных значениях: L=0,01 м – длина трещины ОВ, МПа – нормальные напряжения, – касательные напряжения, – нормальное смещение, мкм – входная величина нормального смещения,  – модуль Юнга,  АО=0,1 м – длина трещины АО, –коэффициент Пуассона, K – количество граничных элементов, на которые разбивалась трещина. В работе [4] было установлено, что величиной разреза ОА, не теряя точности, можно ограничиться и принять равной 0,1 м.

Схемы, моделирующие развитие трещины нормального разрыва изображены на рисунках 2 и 3.

Рисунок 2. Схема раскрытия трещины нормального разрыва при растяжении (МПа)

Рисунок 3. Схема раскрытия трещины нормального разрыва при сжатии (МПа)

Результаты численного решения представлены в таблицах 1-2 для случаев: 1)M=10,N=20; 2)M=10,N=60. Знак «минус» перед D_n соответствует раскрытию трещины. Графики функций  численного решения для трех случаев изображены на рисунках 4-6.

Таблица 1.

Численные значения нормальных раскрытий трещины, когда зияющая часть разбивалась на 10 граничных элементов

Рисунок 4. Нормальные раскрытия трещины

при растяжении (пунктир) и при сжатии (сплошной)

Таблица 2.

Численные значения нормальных раскрытий трещины, когда зияющая часть разбивалась на 50 граничных элементов

Рисунок 5. Нормальные раскрытия трещины

при растяжении (пунктир) и при сжатии (сплошной)

Заключение. В работе рассмотрена задача о раскрытии трещины разрыва с линейными функциями нормальных смещений берегов основной части в смешанной постановке. Приведено численное решение задачи о раскрытии трещины разрыва. Решение осуществлялось одним из методов граничных элементов – методом разрывных смещений. В результате расчетов было показано, что при действии растягивающих нормальных напряжений (т.е. при ) на зияющую часть трещины, значения нормального раскрытия трещины больше по абсолютной величине, чем значения, при сжимающих действиях (т.е. при ).

При увеличении количества граничных элементов трещины, численные решения при растяжении отличаются от численных решений при сжатии в среднем на 3% и при дальнейшем увеличении количества граничных элементов трещины нормальные раскрытия трещины могут совпасть.

Список литературы:

1. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / С. Крауч, А. Старфилд.  М.: Мир, 1987. – 328 с.
2. Линьков, А.М. Комплексный метод граничных интегральных урав-нений теории упругости / А. М. Линьков. – СПб.: Наука, 1999. – 382 с.
3. Морозов Е.М. Метод конечных элементов в механике разрушения / Е. М. Морозов, Г. П. Никишков – М. : УРСС : Издательство ЛКИ, 2008. – 254 с.
4. Спиридонова Е.В. Численно-аналитическое решение плоских задач теории трещин со смешанными краевыми условиями: дисс. Е.В.Спиридонова, канд. физ-мат. наук. – Оренбург. 2015.  – 157 с.
5. Черепанов Г.П. Механика разрушения горных пород в процессе бурения. М.: Недра, 1987. – 308с.