ПРОЕКТИРОВАНИЕ КОРОБЧАТОГО СТЕРЖНЯ МИНИМАЛЬНОЙ МАССЫ В УСЛОВИЯХ КОСОГО ИЗГИБА И КРУТЯЩЕГО МОМЕНТА

В продолжение решения задачи о выборе размеров поперечного сечения тонкостенного стержня прямоугольной формы в условиях сложного сопротивления, обеспечивающих минимальную массу конструкции [1,с.4], рассмотрим тонкостенный стержень прямоугольного сечения, нагруженный таким образом, что в его поперечных сечениях действуют изгибающие моменты  и , а также крутящий момент  (см. рис. 1). Из условия прочности требуется определить размеры поперечного сечения тонкостенного стержня (h, b), обеспечивающие его минимальную массу, при заданных значениях ,  и .

В приведенной расчетной схеме точка К является наиболее опасной. Это утверждение справедливо при наличии у стержня не острых, а закругляющихся углов, что обычно реализуется при механической обработке.

Эквивалентные напряжения для точки K по третьей гипотезе прочности

где нормальные напряжения при косом изгибе определяются по формуле

касательные напряжения при кручении определяются по формуле Бредта

где  – площадь, охватываемая срединной линией сечения (см. рис. 1),

Осевые моменты сопротивления изгибу для рассматриваемого сечения имеют выражения:

где

Касательные напряжения с учетом принятых обозначений принимают вид

Условие прочности (1) с учетом (2,3,4, 5,6) принимает вид

откуда следует

где

Так как масса пропорциональна объему, а объем пропорционален площади поперечного сечения, целевую функцию определяем как площадь поперечного сечения.

Используя для вычисления площади сечения формулу

получаем функцию, определяющую ее величину с точностью до постоянного сомножителя ,

При заданных значениях  наилучшее решение следует искать, используя минимум функции (9).

Результаты численного анализа этой зависимости представлены на рис. 2-7 и табл.1.

Рисунок 2. Изменение функции  при

С целью более наглядного представления результатов воспользуемся относительной функцией .

где  - максимальное значение функции  при выбранном соотношении моментов .

Рисунок 3. Изменение функции  при

Таблица 1.

Расчет относительной функции  при

Рисунок 4. Изменение функции  при

Рисунок 5. Изменение функции  при

Рисунок 6. Изменение функции  при

Рисунок 7. Изменение функции  при

Анализ графиков, представленных на рис. 3-7, показывает, что  преобладание крутящего момента над изгибающими смещает оптимальное значение коэффициента соотношения сторон поперечного сечения β к 0,5. Это утверждение подтверждает график, показанный на рис. 8.

Рисунок 8. Зависимость оптимального значения соотношения размеров поперечного сечения стержня от величины крутящего момента для

Для определения влияния толщины контура на площадь поперечного сечения стержня были выполнены следующие расчеты.

Для множества фиксированных значений коэффициентов γ, u и различных значений  были вычислены  – минимальная площадь и  - оптимальное соотношение сторон контура. Фрагмент таблицы расчетов представлен в табл. 2. Анализ расчетов для γ=0,6 и u=5  показывает, что  мало зависит от m. Прирост  по отношению к  составляет 3%. Поэтому можно предположить, что для вычисления минимальной площади  можно воспользоваться усредненным . Расчет показал, что прирост  по отношению к  составляет тысячные доли процента (см. табл.2). Такие результаты получены при других значениях  и .

Таблица 2.

Влияние толщины контура на площадь поперечного сечения стержня

Вывод: Сравнение площадей  и  подтверждает правомерность использования усредненного оптимального  для определения размеров поперечного сечения тонкостенного стержня, что позволяет при выборе оптимального   не брать в расчет толщину контура поперечного сечения, а ограничится только влиянием коэффициентов γ и u.

Руководствуясь графиком на рис. 9 можно выбрать коэффициент соотношения сторон β поперечного сечения стержня при заданных значениях коэффициентов γ и u, обеспечивающий минимальную массу стержня.

Рисунок 9. График определения размеров оптимального поперечного сечения стержня при заданных коэффициентах γ и u

Список литературы:

1. Баринов М.П., Фролова Г.А. Проектирование коробчатого стержня минимальной массы в условиях косого изгиба. «Научное сообщество студентов XXI столетия. Технические науки»: Электронный сборник статей по материалам XXXIX студенческой международной научно-практической конференции. - Новосибирск: Изд. АНС «СибАК». – 2016. - № 2 (38)./ [Электронный ресурс] – Режим доступа. – URL: http://www.sibac.info/archive/Technic/2(38).pdf (дата обращения 04.03.2017).