ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПРОСТРАНСВЕННО - ВРЕМЕННОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ В ПРОЦЕССЕ ИНДУКЦИОННОГО НАГРЕВА НА ОСНОВЕ МОДАЛЬНОГО ОПИСАНИЯ

В промышленности при нагреве заготовок из черных и цветных металлов широко используется процесс сквозного индукционного нагрева, задача которого состоит в подогреве перед дальнейшим использованием (штамповка, прессование и т.д.) изделия до требуемой температуры. Температурный фактор в этом случае играет важную роль в операциях обработки давлением металлических заготовок [2, с. 21].

Чтобы обеспечить с определенной точностью заданное распределение температур (чаще всего - равномерное) по всему объему нагреваемой заготовки, необходимо процесс индукционного нагрева рассматривать в качестве объекта управления, состояние которого однозначно определяется пространственно - временным распределением температуры нагреваемого тела [2, с. 21].

При проектировании индукционных установок или их эксплуатации часто требуется определить закон изменения удельной мощности тепловых источников по заданному ли измеренному в некоторых фиксированных точках температурному распределению.

Задача нахождения пространственно-временной мощности источников тепла может быть решена с использованием приближенного способа описания функции состояния объекта с распределенными параметрами - метода модального представления.

Для получения температурных зависимостей в конечном числе точек в процессе индукционного нагрева цилиндрической заготовки на основе базовой математической модели процесса индукционного нагрева [2, с. 18], состоящего из уравнения объекта (1) и краевых условий (2), решалась задача теплопроводности

 - температурное поле,

 - начальная температура;

 - функция распределения внутренних источников тепла;

 - тепловой поток;

- пространственная координата;

 - время.

Управляющее воздействие задано в стандартном виде (3)

- закон распределения источников тепла по объему тела, который зависит от геометрической формы заготовки и описывается известными зависимостями [2, с. 17],

- удельная мощность внутренних источников тепла, которая, в частном случае, описана экспоненциальной функцией.

В результате решения уравнения теплопроводности были получены температурные зависимости в разных точках цилиндрической заготовки (Рисунок 1).

Рисунок 1. Результаты решения задачи теплопроводности

Далее, на основании полученной информации о температурных зависимостях в заданных точках решалась задача восстановления временных мод.

Для этого была использована приближенная модель объекта с распределенными параметрами в виде разложения температуры в ряд (4) по системе собственных функций

-найденные температурные зависимости;

-временные моды;

 - собственные функции, которые находятся по формуле (5).

-корни характеристического уравнения.

Стоит отметить, что ввиду сходимости бесконечных рядов во многих случаях можно получить удовлетворительное по точности описание объектов управления с распределенными параметрами, учитывая конечное число уравнений в системе [1, с. 243].

В результате была получена матричная система уравнений, для n=0,1,2 (6)

Если определитель матрицы, составленной из собственных функций, отличен от нуля, что обеспечивается выбором соответствующих точек контроля, то решить эту систему относительно временных мод температуры можно с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Используя найденные значения временных мод температуры, возможно определить управляющие моды на основе модального представления объекта (7) в виде системы уравнений первого порядка

В частном случае, при отсутствии теплопотерь на границе тела тепловой поток q(t) равен нулю. Поэтому выражение для нахождения управляющих мод приняло следующий вид:

Заключительным этапом работы являлось нахождение пространственно-временной мощности источников тепла на основе приближенного модального описания (9).

Полученные результаты работы представлены на рисунке 2. Здесь исходная пространственно-временная функция распределения теплоисточников найдена по формуле (3), а экспериментальная пространственно-временная функция распределения теплоисточников - по формуле (9).

а) б)

Рисунок 2. Результаты работы а) Исходная пространственно-временная функция распределения теплоисточников; б) Экспериментальная пространственно-временная функция распределения теплоисточников​

Полученные результаты могут быть использованы при проектировании индукционных нагревателей и синтезе системы управления процессом индукционного нагрева, при этом точность восстановления искомой характеристики зависит от числа учитываемых мод, которое определяется количеством точек контроля температуры.

Список литературы:

1. Рапопорт, Э.Я. Структурное моделирование объектов и систем управления с распределенными параметрами М.: Высшая школа, 2003. – 299 с.
2. Рапопорт, Э.Я., Плешивцева Ю.Э., Оптимальное управление температурными режимами индукционного нагрева М.: Наука, 2012. – 309 с.