РАСЧЕТ ОСАДОК СООРУЖЕНИЙ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА SETTLE 3D КОМПАНИ

ВВЕДЕНИЕ

В настоящий момент в российской инженерной практике для расчета осадок сооружений, фундаментов и грунтов оснований используется, как правило, метод послойного суммирования [11, с. 47]. Однако данный метод не позволяет моделировать осадки оснований со сложным инженерно-геологическим строением и учитывать трехмерные эффекты от нагрузок фундаментов сложной формы.  Использование численных методов существенно расширяет возможности математического моделирования [9, с. 83]. Но для решения подобных задач, до недавнего времени, обычно использовались сложные программные комплексы, основанные на методе конечных элементов (RS3 Rocscience, Plaxis, Midas GTX и др. [14]). Однако в силу своей универсальности, и как следствие высокой стоимости, их применение для решения задач расчета осадок не всегда оправдано и часто малоэффективно.

В последние годы для моделирования осадок зданий и сооружений сложных объектов начал применятся метод граничных элементов [11, с. 73].

Техника граничных элементов – “вычислительная Золушка”, которая выросла в тени методов конечных разностей и конечных элементов [7, с. 114]. Хотя методы граничных элементов по своей природе просты в применении и очень гибки в приложениях ко многим проблемам, довольно долго они не получали того внимания, которого заслуживали. Однако, в последние годы ситуация изменилась. Дело в том, что метод граничных элементов (МГЭ), имеет ряд преимуществ, которых лишены методы конечных разностей и конечных элементов. Главным из них, является понижение геометрической размерности решаемой задачи на единицу что, как следствие, приводит к системе уравнений меньшего порядка, давая возможность, при имеющихся вычислительных средствах, рассматривать более сложные классы задач. Кроме этого, подобное понижение размерности резко уменьшает расходы на подготовку исходной информации. К достоинствам этого метода можно также отнести и то, что он позволяет сразу определить неизвестные величины на границе, не вычисляя их во всей области, как это требуется в других методах. Во многих задачах этого оказывается вполне достаточно; если же требуется найти решение в произвольной внутренней точке области, то для этого надо выполнить простое интерполирование.

Источник эффективности МГЭ выясняется при рассмотрении идейной стороны этого метода. Его суть заключается в том, что в полной мере используются фундаментальные свойства решений дифференциальных уравнений в частных производных. Эти свойства на протяжении столетий были предметом интенсивных исследований выдающихся математиков, получивших те результаты, которые легли в основу МГЭ.

Главное в идейной стороне метода - зависимость между значениями искомых функций внутри рассматриваемой области и их значениями на границе. Эта зависимость устанавливается переходом от дифференциальных уравнений к следующим из них интегральным соотношениям. Последовательное использование этой идеи приводит к замене дифференциальных уравнений, требующих нахождения неизвестных функций во всей области, на эквивалентные интегральные уравнения, которые в качестве неизвестных включают значения функций только на границе области. Такие уравнения и называются граничными интегральными уравнениями. Поэтому МГЭ, который по сути представляет собой численную реализацию решения таких уравнений, часто называют методом граничных интегральных уравнений (ГИУ).

МГЭ рекомендован СП 22.13330.2016. Основания зданий и сооружений [10]. Однако практический опыт использования МГЭ для расчета осадок у нас в стране отсутствует.

Следует отметить, что выдающийся вклад в развитие математической теории метода граничных интегральных уравнений и практических методов их решения, широко применяемых в механике сплошной среды и в инженерном деле, внесли советские ученые: Александрова А.Я. [1, с. 167], Белоцерковский С.М. [2, с. 214], Векуа Н.П. [3, с. 62], Гольдштейна Р.В. [4, с. 94], Каландия А.И. [6, с. 188], Михлин С.Г. [8, с. 171], Мусхеллишвили Н.И. [9, с. 238], и другие.

В методе нескольких слоев Settle 3D компании Rocscience [14], полное упругое решение осадки фундамента произвольной формы, опирающегося на слоистую упругую толщу грунтов вычисляется путем интегрирования функции Грина на основе эффективной вычислительной процедуры, разработанной профессором Yue, Z. Q. (1995, 1996) [16; 17, с. 143].

Точность вычислений увеличена за счет преобразования интегралов площадей в границу по методу, разработанному Vijaykumar, S., Yacoub, T.E. and Curran, J.H. [15, с. 167].

Методика исследований

В качестве тестового примера была решена следующая задача: расчет осадки фундамента размером 26х12 м при глубине его заложения от поверхности земли d₁ = 2 м и среднем давлении по подошве Р = 236 кПа.

Инженерно-геологические условия площадки.

С поверхности до неопределенной глубины залегают суглинки. Грунт имеют следующие показатели свойств: удельный вес грунта γ₁ = 18 кН/м³, модуль деформации Е₁ = 10000 кПа.

Алгоритм решения задачи методом послойного суммирования:

1. Разбиваем грунт на слои мощностью h_i = 0,2∙b = 0,2∙12 = 2,4 м.

2. Определяем природное напряжение и дополнительное давление на уровне подошвы фундамента определялось следующим образом:

σ_zg,с = γ∙d₁ = 18 кH/м³ ∙2 м = 36 кПа;

Р₀ = Р - σ_zg,о = 236 кПа – 36 кПа = 200 кПа.

где -  σ – напряжение, γ – удельный вес грунта, расположенного выше подошвы фундамента, d₁ – глубина заложения фундамента, Р₀ – дополнительное вертикальное давление на основание, Р – среднее давление под подошвой фундамента.

3. Определяем величины дополнительных напряжений σ_zр на границах выделенных слоев. Коэффициенты α принимаем согласно СП 22.13330.2016 [11, C. 58]. Результаты вычислений первичных данных для расчета осадки представлены в таблице 1.

Таблица 1.

Результаты вычислений первичных данных для расчета осадки

• Нижнюю границу сжимаемой зоны определяем из условия:
• _р/σ_zg = 0,2 ± 0,05

где - σ – напряжение.

Это условие удовлетворяется на глубинах Z = 18,8 м.

На рисунке представлен график распределения напряжения от глубины.

Рисунок 1. График распределения напряжения от глубины

Определяем осадку фундамента, расчет можно представить в виде:

S_i = (h_i β)/Е_i (σ_zр,о/2 + σ_zр,1 + σ_zр,2 +…+ σ_zр,n/2),

где - σ – напряжение, β – безмерный коэффициент, h_i и Е_i – толщина и модуль деформации i-ого слоя грунта.

Тогда:

• = ((240∙0,8)/10000) (200/2 + 195,2 + 174 + 145,4 + 118,6 + 96,2 + 78,4 + 64,2/2) = 18 см.

Алгоритм решения задачи методом граничных элементов в программе Settle 3D:

На первом этапе необходимо построить геомеханическую модель. Создание геомеханической модели включает:

• Определение технической составляющей: типа и размера фундамента, глубины его заложения и нагрузки, передаваемую на фундамент (рис.2).

Рисунок 2. Определение технической составляющей геомеханической модели.

• Определение инженерно-геологической составляющей: определение инженерно-геологического строения площадки (рис.3) и задание необходимых для расчета свойств грунтов (рис.4).

Рисунок 3. Определение инженерно-геологического строения площадки

Рисунок 4. Задание необходимых для расчета свойств грунтов

Итоговая геомеханическая модель представлена на рис. 5.

Рисунок 5. Геомеханическая модель площадки

Результаты расчета представлены на рис.6.

Рисунок 6. Результаты расчета осадки в программе Settle 3D

По результатам выполненного моделирования осадка получилась 198,2 мм (19,8 см).

Рисунок 7. График зависимости осадки с глубиной

Заключение

Проведенные исследования расчета осадки оснований зданий и сооружений методом послойного суммирования и с помощью метода граничных элементов, реализованного в программе Settle 3D компании Rocscience показали сходимость полученных результатов (18 см против 19,8 см). Это говорит о том, что использование данного подхода даст не только достаточно достоверные результаты, но и существенно упростит трудоемкость расчетов. В настоящее время дальнейшие исследования направлены на расширение возможностей расчетов осадок сооружений в программе Settle 3D.

Список литературы:

1. Александров А.Я. Решение основных трехмерных задач теории упругости для тел произвольной формы путем численной реализации метода интегральных уравнений. // Труды Новосибирского института инженеров железнодорожного транспорта, 1972, вып. 137.
2. Белоцерковский С.М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях и их применение в аэродинамике, теории упругости, электродинамике. – М.: Наука, 1985.
3. Векуа Н.П. Системы сингулярных интегральных уравнений и некоторые граничные задачи. – М.: Физматгиз, 1970.
4. Гольнштейн М.Н. Вариационный метод решения задач об устойчивости грунтов. – Киев: Сб. Вопросы геотехники, Тр. ДИИТ, 1969, №16.
5. Полуботко А.А. Методические указания для разработки курсового проекта по курсу «Механика горных пород и грунтов» / Полуботко А.А., Пендин В.В., Горобцов Д.Н. – Москва, 2016. 
6. Каландия А.И. Математические задачи двумерной упругости. – М.: Наука, 1973.
7. Крауч С. Методы граничных элементов в механике твердого тела / Крауч С., Старфилд А. – М.: Мир, 1987.
8. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные и интегральные уравнения. – М.: Физматгиз, 1962.
9. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: Наука, 1966.
10. Фоменко И. К. Методология оценки и прогноза оползневой опасности. – ЛЕНАНД Москва, 2015. – С. 320.
11. СП 22.13330.2016. Основания зданий и сооружений.
12. Фоменко И.К. Математическое моделирование напряженного состояния инженерно - геологического массива, сложенного анизотропными горными породами // дис., канд. геол.-минерал. наук: 04.00.07. – Москва. 2001. – С. 138.
13. Фоменко И.К. Современные средства в количественной оценке устойчивости склонов / Фоменко И.К., Зеркаль О.В., Горобцов Д.Н.  // Научно-практическая конференция "Инженерно-геологические задачи современности и методы их решения". – Москва, 2017.
14. RocScience, Inc. Settle 3D version 4.0. Settlement and Consolidation Analysis. Theory Manual, Toronto, Ontario, Canada, 2009.
15. Vijaykumar S. A node-centric indirect boundary element method: three-dimensional displacement discontinuity / Vijaykumar S. A., Yacoub, T.E., Curran, J.H., Comput. Struct, 2000. – 74 p.
16. Yue Z. Q. On generalized Kelvin solution in multilayered elastic medium, J. Elasticity, 1995. – 143 p.
17. Yue Z. Q. On elastostatics of multilayered solids subjected to general surface traction, Quart. J. Mech. Appl. Math, 1996 – 49 p.